Çizge Algoritmaları

Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü

Königsberg Köprüleri Problemi A B C D 

Çizge örneği 4 öğrenci: A, B, C, D 4 iş: FF, SC, W, BS Soru:Tüm öğrenciler arzu ettikleri bir işe girebilirler mi? Cevap: Hayır Ch1-4

Çizge tanımı G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur. Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir (elemanlarına köşe denir) E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır ( elemanlarına eğer varsa kiriş denir). V(G) : G nin köşeler kümesi E(G) : kirişler kümesi Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu) G yönlü ise (digraf denir) Ch1-5

Örnek G=(V,E) olsun V={u, v, w, x, y, z} E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}} E={uv, uw, wx, xy, xz} G diagram v u w z x y Ch1-6

Komşu ve Bağlı u, v : G nin köşeleri u ve v köşeleri G de komşudur eğer if uv  E(G) ise ( u v ye ve v u ya komşudur) e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile baülıdır, e v ile bağlıdır) u v e Ch1-7

Çizge çeşitleri Yönsüz çizge: Yönlü çizge: döngü Katlı kiriş, parallel kiriş Yönsüz çizge: (basit) çizge: döngü (), katlı kiriş () Katlı çizge: döngü (), katlı kiriş () Pseudograph: döngü (), katlı kiriş () Yönlü çizge: Yönlü çizge: döngü (), katlı kiriş () Yönlü katlı çizge : döngü (), katlı kiriş () döngü Katlı kiriş değil Katlı kiriş Ch1-8

Mertebe(order) ve boyut(size) G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi denir (|V(G)| ile gösterilir). Kirişlerin sayısına boyut (|E(G)| ile gösterilir ). Önerme 1: Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise (p, q) çizgesi denir Ch1-9

Çizgelerin uygulanması Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar. Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar.  Tanışlık çizgesi: Ali Ahmet Ayşe Fatma Mehmet Ch1-10

Köşelerin derecesi Tanım. G çizgesinin v köşesi için N(v) = { u  V(G) | v u  E(G) } kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin derecesi deg(v) = | N(v) | sayısına denir y u v w x N(u) = {x, w, v}, N(y)={ } deg(u) = 3, deg(y) =0 Ch1-11

Not Eğer |V(G)| = p ise 0  deg(v)  p-1,  v  V(G) dir. deg(v) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe denir. v ye tek köşe denir eğer deg(v) tekse. v ye çift köşe denir eğer deg(v) çiftse. Ch1-12

El sıkışma teoremi Theorem G bir çizge ise, Örnek 2 3 1 u v w x Ch1-13

El sıkışma teoremi Özellik Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift sayıdır. ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı, çizgenin toplam derecesi tek olurdu.  Ch1-14

Düzgün çizge Tanım. G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir Örnek Not. mertebesi 5 olan 3-düzgün çizge yoktur (Özellik) 2-düzgün Ch1-15

Tümleyen Tanım. G çizgesinin tümleyeni G çizgesidir eğer V(G) = V(G) ve uv E(G) eğer uv  E(G). u v w x G u v w x G Ch1-16

Derece uygulaması Soru: n kişi var (n  2) Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir birinden farklıdır. Bu mümkün mü? ( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor) Ch1-17

Örnek 1 Mertebesi n  2 olan çizgenin dereceleri bir birine eşit olan en az 2 köşesinin olduğunu gösteriniz. (ipucu. Önceki sayfadaki problem.) ispat. deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz Ch1-18

Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? Örnek 2. G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu 25 tir. Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir. Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun, 14-x köşenin derecesi 5 olur. |E(G)| =25  dereceler toplamı=50 3x + 5(14-x) = 50  x = 10 Ch1-19

Örnek 3. G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10 dur Örnek 3. G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10 dur. 6 köşenin derecesi a ve bir köşenin derecesi b dir. b kaçtır? sol. 6a + b = 20 (a, b) = (0, 20) () (1, 14) () (2, 8) () (3, 2) ()  a=3, b=2. Ch1-20

Isomorf(denk) çizgeler u1 v2 v1 u3 u4 u5 v3 v5 v2 v4 u2 G1 ve G2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra). Ch1-21

Isomorf (denk çizgeler) Tanım. Eğer V(G1) kümesinden V(G2) kümesine öyle bir 1-1 ve örten  fonksiyonu varsa ve uv  E(G1) ancak ve ancak f (u) f (v)  E(G2) koşulu sağlanıyorsa G1 ve G2 çizgeleri izomorfdur denir(G1  G2 ile gösterilir)  fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki sayfada f (vi) = ui her i için Ch1-22

Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz çizge denir Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge bulunuz . Sol. G1 G2 Üçgen var Üçgen yok Ch1-23

Örnek 5 Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin izomorf olup olmadıklarını araştırınız. Üçgensiz Üçgen var Cevap: hayır Ch1-24

1.4 Altçizgeler Tanım. Eğer V(H)  V(G) ve E(H)  E(G) ise H çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H  G) Örnek G u v w x y H v w x y v w x y F  G  G Ch1-25

Üretilmiş Altçizge Tanım. S  V(G), S   olsun. G nin köşeleri S olan en büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge denir( <S> ile gösterilir) G u v w x y v w x y H H G nin üretilmiş altçizgesi değil H ∪{xw} Ch1-26

Köşelerin silinmesi Tanım.S  V(G) olsun. G-S = <V(G)-S> olarak tanımlanır Eğer S={v} ise G-v yazılır. G u v w x y G-S v w S={x,u} ise  u x y Ch1-27

Kiriş üretilmiş alt çizge Tanım. X  E(G), X   olsun. X den üretilmiş alt çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir ( <X> ile gösterilir) G u v w x y <X> u v w Let X={uv,vw}  Ch1-28

Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? Tanım. H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a örten altçizge denir. Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı E(H) = E(G) ∪ {uv, uw} , burada uv, uwE(G). Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? G u v w H v w Hayır  Ch1-29

Örnek G =(p, q) çizge olsun Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır? Not. Kiriş üretilmiş alt çizge cevap. 2q-1 ( X  E(G) X , 2q-1 X ) Ch1-30

Dereceler dizisi Tanım. G=(V, E), V={v1, v2, …, vp} olsun. s: deg(v1), deg(v2), …, deg(vp) dizisine G nin dereceler dizisi denir (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) G 3 2 1 s: 3, 3, 2, 1, 1, 0 maximum derece : D(G) minimum derece : d(G) Ch1-31

Not Eğer d1, d2, …, dp bir çizgenin dereceler dizisi ise 0  d i  p-1 i. ve çifttir. s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisi ve 0  d i  p-1 i, ve ise s in dereceler dizisi olduğunun kanıtı yoktur. örnek. s: 5, 5, 3, 2, 1, 0 ( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar) Daha fazlası, d1 p imkansızdır. ) Ch1-32

Olsun. s in grafikseldir ancak be ancak t grafikseldir. Tanım. Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun. Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan bir çizge varsa bu diziye grafiksel dizi denir Theorem 2 (Havel-Hakimi) s dizisi: d1, d2, …, dp, burada di N, i. olsun. t dizisi : Olsun. s in grafikseldir ancak be ancak t grafikseldir. Ch1-33

(  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir İspat : (  ) Eğer s1 : grafikselse   G1 de s1 dereceler dizisidir G1 … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2-1 d3-1 vp dd1+1-1 dd1+2 dp d1 köşeler  dd1+1 dd1+2 d2 d3 dp G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 vp … v1  s : d1, d2, …, dp grafikseldir Ch1-34

iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) İspat devam (  ) Eğer s : d1, d2, …, dp grafikselse   G çizgesi var yani s dereceler dizisidir G ve deg(vi) = di for 1  i  p, ve maximumdur iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) v1 G … v2 v3 vd1+1 vd1+2 d2 d3 vp dd1+1 dd1+2 dp d1 i.e., : : Bu iddia doğru ise, bu durumda G-v1 çizgedir dereceler dizisi s1  s1 grafikseldir Ch1-35

İddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G) ispat: doğru değilse öyle iki vj ve vk (j < k) köşeleri vardır ki dj > dk yani v1vk  E(G) ama v1vj  E(G). v1 G vj vk vn dj > dk olduğundan  vnV(G) yani vjvn  E(G), vkvn  E(G). G2 = G - {v1vk, vjvn} + {v1vj, vkvn} G2 nin derece dizisi s ama büyük ,  Ch1-36

Algoritma s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisidr s grafiksel midir?: (1) Eğer di=0, i, ise s grafikseldir. Eğer  di<0 bir i için ise s grafikseldir. Aksi durumda, (2). Addıma git (2) s i artmayan şekilde sırala (3) s = s1 olsun(s1 Thm ), (1) e dön Ch1-37

Örnek 1 s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 ( 4 ü sil) s1: 3, 2, 2, 2, 1 (sırala) s2: 1, 1, 1, 1 (3 ü sil) s3’: 0, 1, 1 (ilk biri sil 1) s3: 1, 1, 0 (sırala) s4: 0, 0 (ilk1 i sil)  s grafiksledir Ch1-38

Çizge çizimi s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1’: 3, 2, 2, 1, 2 s1: 3, 2, 2, 2, 1 s2: 1, 1, 1, 1 s3’: 0, 1, 1 s3: 1, 1, 0 s4: 0, 0  s grafikseldir G 4 2 3 Ch1-39

Örnek 2 s: 5, 4, 3, 2, 1, 1 s1: 3, 2, 1, 0, 0 (5 i sil) s2: 1, 0, -1, 0 (3 ü sil)  s grafiksel değil Ch1-40