Dr. Can ÜLKER Deprem Mühendisliği ve Afet Yönetimi Enstitüsü 2011 – 2012 BAHAR YARIYILI MUSTAFA İNAN TATBİKİ MEKANİK SEMİNERLERİ Suya Tam ve Kısmen Doygun Poroz Ortamların Dinamik Davranışlarının Modellenmesi Dr. Can ÜLKER Deprem Mühendisliği ve Afet Yönetimi Enstitüsü

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri SUNUM PLANI Giriş Poroz Ortamın Dinamiği Doygun Durum için Denklemler ve İlgili Formülasyonlar Analitik Çözümler Genel ve Özel Çözümler Formülasyonların Geçerli Olduğu Sınır Durumlar Nümerik Çözümler Sonlu Elemanlar Formülasyonu Analitik Sonuçlarla Karşılaştırma Dalga Yükü Altında Ani Sıvılaşma Potansiyeli Zeminin Tekrarlı Elasto-Plastik Davranışının Modellenmesi Sınırlayan Yüzey Modeli İlk Çalışmalar Suya Doygun Olmayan Poroz Ortamın Dinamiği Kısa ve Uzun Dönem için Araştırma Planları İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Giriş Poroz Ortamın Dinamiği Geomekanikten (örn. zemin mekaniği, geoteknik müh., deprem müh.) Biomekaniğe kadar birçok problem 1-D Yarı-Statik problemden 3-D Tam Dinamik İkili akım ve deformasyon problemi (coupled flow and deformation) PDE Doygun Durumda (Biot 1941; Biot 1955, 1962) Doygun Olmayan Durumda (Zienkiewicz ve diğ. 1990; Ravichandran 2009) Denklemlerin Modifiye Edilmesiyle Türetilen Farklı Formülasyonlar Drenaj Durumuna Göre Atalet Kuvvetlerine Göre (Inertia Effect) Boşluk Akışkanı Katı Faz İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Poroz Ortamın Dinamiği Yasalar Bünye Denklemleri Momentumun Korunumu Kütlenin Korunumu Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi Denge Denklemleri Süreklilik Denklemi İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Diferansiyel Denklemler (PDE) Suya Doygun Durumda Diferansiyel Denklemler (PDE) Bünye Denklemleri Çekme pozitif alınmıştır. İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Suya Doygun Durumda Diferansiyel Denklemler (PDE) Momentumun Korunumu 2 Fazlı (Katı ve Sıvı) Ortamın Toplam Dengesi Sıvı Fazın Dengesi İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Suya Doygun Durumda Diferansiyel Denklemler (PDE) Kütlenin Korunumu Yaklaşık S=0.95’e kadar bu denklemler geçerli kabul edilebilir. İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Farklı Formülasyonlar Tam Dinamik Form (FD) u-w Formu u-U Formu Peki boşluk suyu basıncına ne oldu? İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Farklı Formülasyonlar Kısmi Dinamik Form (PD) ihmal İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Farklı Formülasyonlar Yarı-Statik Form (QS) Tüm ivmeler ihmal İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Analitik Çözümler İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Sabit Adım Yükü Altında 1-D Poroz Ortamın Tepkisi 1-D QS Form cv Sıkışamaz Boşluk Akışkanı İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Sabit Harmonik Yük Altında 1-D Poroz Ortamın Tepkisi QS PD FD İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İlerleyen Dalga Yükü Altında 2-D Poroz Ortamın Tepkisi Harmonik yük altında tepki de harmonik Boyutsuz ama fiziksel anlam taşıyan parametreler tanıtılır, P1, P2 , m vb. Integral sabitlerini bulabilmek için sınır koşulları uygulanır. Katı fazın deformasyonu lineer-elastik f (x, z, t) f(z) İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

2-D Çözüm: Boyutsuzlaştırma İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri 2-D Genel Çözüm Efektif Düşey Normal Gerilme aj, bj, cj, dj are entries of the eigenvectors are the eigenvalues Kayma Gerilmesi Boşluk Suyu Basıncı İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri p/q z/h İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

2-D Çözüm: Formülasyonların Geçerlilik Bölgeleri Boyutsuz Büyüklükler Uzayı Herhangi bir yükleme frekansı ve poroz ortamın doğal frekansı için! i.e. Geomechanics, Earthquake Engineering, Biomechanics etc.         PD-QS Farkı >3% FD-PD Farkı >3% PD-QS Farkı <3% FD-PD Farkı <3% İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

2-D Çözüm: Formülasyonların Geçerlilik Bölgeleri Boyutsuz Büyüklükler Uzayı         PD-QS Farkı <3% PD-QS Farkı >3% FD-PD Farkı >3% FD-PD Farkı <3% İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Soru: Spesifik mühendislik problemleri nereye düşer? Cevap: Yük ve poroz ortamın parametrelerine bağlı m=10 S=1 İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Nümerik Çözümler İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Sonlu Elemanlar Formülasyonu Değişkenler FD için u-w veya u-U , QS ve PD için u-p Diskretizasyonla Yaklaşık Çözüm Matrisler FD PD QS Sıkışamaz Akışkan, Kf İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri 1-D Zemin Kolonu Analytical - - - - - FEM q=q0 eiwt İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İlerleyen Harmonik Yük Altında 2-D ‘Plane Strain’ Çözüm 𝑢 𝑤 𝑝 1 𝑢 𝑤 𝑝 2 QS ve PD’de, u ve p düğüm noktası DOFs, Gerilmeler integrasyon noktası değişkenleridir. FD’de, u ve w (veya U) düğüm noktası DOFs, p ve Gerilmeler de integrasyon noktası değişkenleri. Q8 elemanı 2x2 Gauss Integrasyonu Implicit Newmark temporal integrasyonu Kenarlarda periyodik sınır koşulu 𝑢(𝑡) 𝑤(𝑡) 𝑝(𝑡) 1= 𝑢(𝑡) 𝑤(𝑡) 𝑝(𝑡) 2 İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

2-D Çözüm için Sonuçların Karşılaştırılması Boşluk Suyu Basıncı Efektif Düşey Gerilme Kayma Gerilmesi FD FD FD PD PD PD QS QS QS İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Dalga Yükü Altında Ani Sıvılaşma Potansiyeli Düzlem Şekil Değiştirme için Toplam Ortalama Efektif Gerilme In-situ Ortalama Efektif Gerilme Dalga Yükü Ortalama Efektif Gerilme Primer Kons. Tekrarlı Dalga Yükü HidroStatik HidroDinamik İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Ani Sıvılaşma Potansiyeli Lineer Dalga QS PD FD T=5s T=15s İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Ani Sıvılaşma Potansiyeli T=15s Lineer Dalga Nonlineer Dalga QS FD İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Granüler Zeminlerin Tekrarlı Yükler Altındaki Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi Ön Değerlendirmeler Model kaba daneli granüler zeminlerin tekrarlı yükler altındaki inelastik davranışını açıklayabilmelidir Özellikle tekrarlı boşluk suyu basıncı artışları ve plastik deformasyonları doğru hesaplamalıdır Poorooshasb ve Pietruszczak (1986)’ın tekrarlı plastisite modeli iyi bir örnektir (bounding surface plasticity) Birleşik izotropik-kinematik sertleşme/pekleşme modeli (w/ non- associated flow rule) Deprem yükleri altında gevşek kumlarda sıvılaşmaları doğru modellemiştir (Pietruszczak ve Stolle 1987) İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli Tanımlar Sınır Yüzeyi Akma Yüzeyi After Poorooshasb and Pietruszczak (1986) = constant << h dairesel kesit kabulü İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli Yükleme Durumu Birincil (Bakir Yükleme) Bakir Olmayan (Yük Çevrimleri) İlk boşaltmadan sonraki yükleme- boşaltma çevrimlerinde F genleşir veya daralır (izotrop pekleşme) ve f , F içerisinde geometrik bir kuralla ötelenir (kinematik pekleşme). Eğer f, F’e teğet olur veya keserse malzeme yük hafızası silinir ve tekrar bakir duruma döner. Başlangıçta gerilme vektörü F üzerinde Bu sırada f, F’e teğet Boşaltma olmazsa F malzeme göçene kadar genleşiyor (izotrop pekleşme) After Poorooshasb and Pietruszczak (1986) İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli Akma Kuralı Bakir Yükleme İkincil Yükleme Plastik Çarpan Plastik Çarpan Global Plastik Potansiyel Fonksiyonu Not: Zeminlerde ‘non-associated flow rule’ geçerli. Lokal Plastik Potansiyel Fonksiyonu İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Elasto-Plastik Malzeme Matrisi Bakir Yükleme İkincil Yükleme Consistency Condition Bakir Yükleme İkincil Yükleme İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Kinematik Pekleşme Kuralı Boşaltmadan önce F’e teğet olan f ‘in yeri belirlenmelidir. Sadece f hareket eder, F sabittir! f in F içinde hareketi F üzerindeki karşılıklı iki noktayla belirlenir, Conjugate ve Datum gerilme noktaları. F=0 d f=0 d0 After Pietruszczak and Stolle (1987) İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Drenajsız Tekrarlı Üç Eksenli Kesme Deneyi Gerilme Kontrollü Poorooshasb ve Pietruszczak (1986) Bu çalışma G0=15000 kPa K0=30000 kPa (p0’=100 kPa) A=0.0035 g=2 hf=0.52 hc=0.43 h'=0.02 İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Tekrarlı Drenajsız Üç Eksenli Kesme Deneyi Şekil Değiştirme Kontrollü Pietruszczak ve Poorooshasb (1985) G0=20000 kPa K0=30000 kPa A=0.0025 g=2.0 hf=0.52 hc=0.43 h'=0.02 İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İlk Nonlineer Dinamik FE Analizleri Step Load G0=20833 kPa K0=27777 kPa A=0.0042 g=6 ff=440 fc=40.50 h'=0.026 A0=435 rt=1.54 t/m3 n=0.3 Kf=105 kPa PD Formülasyonu İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Harmonik Yük G=20.8 MPa K0=27.7 MPa A=0.0042, g=6 ff=450, fc=40.50 h'=0.026 A0=435 rt=1.54 t/m3, n=0.3 Kf=102 MPa İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Doygun Olmayan Poroz Ortamın Dinamik Davranışı İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Denklemler gaz fazın (hava) etkisiyle değişir. Nonlineer karakterdedir. Net Gerilme Emme Gerilmesi (Matric Suction) Denge Denklemleri 𝑛 𝑤 =nSw 𝑛 𝑎 =nSa Süreklilik Denklemleri İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Boşluk Basınçları ve 3 Fazın Denklemleri Burada Q’lar bünye ilişkileriyle belirlenmelidir ve çok önemlidir !! 𝑃 𝑆𝑤𝑤 = 𝑛 𝑤 𝐾 𝑤 −𝑛 𝜕 𝑆 𝑤 𝜕 𝑆 𝑚 𝑝 𝑤 İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Sonuçlar ve Tartışma Analitik çözümler geomekanikte hangi mühendislik probleminde hangi denklemlerin kullanılması gerektiğini belirtir. Boyutsuz büyüklük uzayı herhangi bir yükleme ve poroz ortam için geçerlidir. Davranışın tahmininde kullanılır. QS ve PD formülasyonları çoğunlukla benzer sonuçlar verirken ortamın permeabilitesi ve yükün frekansı arttıkça FD formülasyonu ya da ivme terimlerinin önemi artar. Granüler zeminlerde sıvılaşmanın doğru modellenebilmesi ancak bir tekrarlı plastisite modeli ile mümkündür. Suya doygun olmayan zeminlerin modellenmesi klasik suya doygun zemin mekaniğine göre daha komplikedir. Malzeme nonlineeritesi olmaksızın sistem kendi içinde (matrik emmeden dolayı) nonlineerdir. University of Toledo

Kısa ve Uzun Vadede Araştırma Planı Kısa Dönem Uzun Dönem Hesaplamalı Geomekanik Comp. Geomech Multi-Scale Modeling Biomechanics Sistem Boyutu Malzeme Boyutu (Elemental Behavior) Teorik ve Deneysel Malzeme Modeli Suya doygun olan ve olmayan poroz ortamın lineer ve nonlineer statik ve dinamik analizi Akışkan-Zemin-Yapı etkileşimi ve sistemin deprem etkisi altındaki davranışı İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

10th International Conference of Numerical Analysis and Applied Math. ICNAAM 2012 at Kos-Greece www.icnaam.org Symposium: Analysis of Wave-Induced Seabed Response and Instability İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri Teşekkürler! İTÜ İnşaat Mekanik Semineri