7-MOMENT-TORK M.Feridun Dengizek

MOMENT-TORK Bir cisme ağırlık merkezinden geçmeyen bir kuvvet etki ederse o kuvvet o cismi ağırlık ekseni etrafında döndürmeye çalışır. Bu etkiye Moment veya Tork denir. (Türkiye de genellikle bu etki yapı elemanları üzerinde ise Moment, makina elemanları üzerinde ise Tork olarak adlandırılır. Biz derslerimizde Moment terimini kullanacağız)

Eğer kuvvet belli bir açı ile uygulanıyorsa Bkz. Şekil2 MOMENTİN BÜYÜKLÜĞÜ Moment esas olarak kuvvetin dönme eksenine olan dik mesafesi ile çarpımı olarak tanımlanır. Bkz şekil 1 Eğer kuvvet belli bir açı ile uygulanıyorsa Bkz. Şekil2 Eğer uygulanan kuvvet dönme noktasından geçiyorsa M= d*F*sin 0  M=0 Bkz Şekil 3 M=F*d F 7.1 M=F*d*sinϴ F 7.2

MOMENTİN YÖNÜ Momentin yönü sağ el kuralı ile belirlenir. Sağ elin baş parmağı yukarıyı gösteriyor ve diğer parmaklar kapalı durumda iken, parmaklar kuvvetin yönünü, baş parmak ise momentin yönünü gösterir. Bkz. Şekil 4 Diğer bir tanım; İki boyutlu bir düzlemde kuvvet cismi saat yelkovanı istikametinin tersi yönünde döndürmeye çalışıyorsa moment iki boyutlu düzleme bakana (dışa) doğru olur. Bkz şekil 5 İki boyutlu düzlemde momentin yönü dışa doğru ise yuvarlak içinde nokta, içe doğru ise yuvarlak içinde X olarak da gösterilir. Bkz şekil 6 İki boyutlu düzlemde saat yelkovanının tersi yönde döndürmeye çalışan momentler pozitif (+) Saat yelkovanı yönünde döndürmeye çalışan momentler ise negatif (-) kabul edilir. (+) Moment (-) Moment

Şekil 8 M= 1*sin45*60  M= 42.4 kN-m ÖRNEK PROBLEM 7.1 Yandaki elemanlarda ortaya çıkacak moment büyüklüklerini bulunuz. Şekil 6 M= -0.75*50N  M= -37.5 N-m Şekil 6 Şekil 7 M= 7*(4-1)  M= 21 kN-m Şekil 7 Şekil 8 M= 1*sin45*60  M= 42.4 kN-m Şekil 8

Önce O noktasından kuvvet doğrultusuna dik mesafe d bulunmalıdır. ÖRNEK PROBLEM 7.2 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında 50N kuvvetin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.2 Bu problemin çözümü için gerekli bilgi mühendislik mekaniğinden çok geometridir Önce O noktasından kuvvet doğrultusuna dik mesafe d bulunmalıdır. d=y*sin60 y=u-v u=100+200*cos45+100 = 341.42 mm v = 200*sin45 / tan60 =81.65 mm y=341.42-81.65=259.7 mm d=259.7*sin60 d=224.9 mm=0.225m M=F*d M=50*(-0.225)  M=-11.25N-m Kuvvet boruyu O noktası etrafında saat yelkovanı yönünde döndürmeye çalıştığı için moment negatif değer alır Şekil 9 Şekil 10

MOMENTLERİN TOPLANMASI Düzlemsel planda aynı eksen etrafında etkin momentler cebirsel olarak toplanabilirler. ΣMo=ΣFd Yandaki şekil için ΣMo= - F1d1 + F2d2 +F3d3 Toplama işleminin sonucu pozitif çıkarsa toplam moment saat yelkovanı istikametinin tersi yönünde, negatif çıkarsa moment saat yelkovanı yönünde etkin demektir. Şekil 11

ΣM=500*(1+2+2.5*cos45)-(300*(2.5*sin45)-(600*1)  ΣM= -1253.5 N-m ÖRNEK PROBLEM 7.3 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetlerinin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.2 O noktasına her kuvvet doğrultusuna dik mesafeler bulunmalı ve kuvvetler ile çarpımları toplanmalıdır ΣM=ΣF*d ΣM=500*(1+2+2.5*cos45)-(300*(2.5*sin45)-(600*1)  ΣM= -1253.5 N-m Şekil 12

VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMI (CROSS PRODUCT) Konum vektörleri konusunu işlerken vektörlerin nokta çapımını anlatmıştık. Nokta çarpımında iki vektörün çarpılması ile skalar bir büyüklük elde edildiğini görmüştük. Bu derste ise vektörlerin çapraz çarpımı ile nasıl bir başka vektörel değer elde edildiğini anlatacağız. F 7.3 Çapraz vektör çarpımında çıkan vektörün büyüklüğü her iki vektörün skalar büyüklüklerinin aradaki açının sinüsü ile çarpımı kadar, yönü ise sağ el kuralına uygun olarak iki vektörün aralarında oluşturduğu düzleme dik olan ve kesiştikleri noktadan başlayan birim vektör doğrultusundadır. Şekil 13 F 7.4

ÇAPRAZ ÇARPIM KANUNLARI Çapraz çarpım kanunlarının nokta çarpım kanunlarından en önemli farkı çapraz çarpımın değişme özelliğinin bulunmamasıdır. ÇAPRAZ ÇARPIM KANUNLARI Değişme özelliği  AXB= - BXA Çarpma özelliği  a(AXB)= (a*A)XB = AX(a*B) = (AXB)*a Dağıtım özelliği AX(B+C)= (AXB)+(AXC) Yandaki resimde görüldüğü gibi A vektörü B vektörü ile çapraz çarpıldığında C vektörünün yönü yukarı doğru olurken, B vektörü A ile çarpılırsa C vektörünün yönü ters tarafa doğru gerçekleşir. Şekil 14

KARTEZYEN VEKTOR FORMÜLASYONU ϴ=900  Sin90=1 Kartezyen vektör formülleri yukarıdaki tanımın sağ el kuralına göre çapraz çarpımı ile elde edilebilir. i x j = k j x i = -k j x k = i k x j = -i k x i = j i x k = -j Şekil 15 Aynı yöndeki vektörlerin çapraz çarpımı ise her zaman sıfırdır. i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 DİKKAT: Vektörlerin nokta çapımında ise aynı notasyonlu vektörler çarpımı 1 diğerleri ise sıfırdır

 C=AXB= i(AyBz-AzBy) - j(AxBz- AzBx) + k(AxBy- AyBx) F 7.5  C=(Axi +Ay j + Azk) X (Bxi + By j +Bzk) C= (Axi Bxi +Axi Byj +Axi Bzk ) + (Ayj Bxi + Ayj Byj + Ayj Bzk) + (Azk Bxi +Azk Byj +Azk Bz k) C= AxBx (ixi) + AxBy(ixj) + AxBz(ixk) + AyBx(jxi) + AyBy(jxj) + AyBz(jxk) + AzBx(kxi) + AzBy(kxj) + AzBz(kxk) Bir önceki slaytta belirtilen kartezyen vektör çapraz çarpım kurallarını uygularsak  C= AxBx (0) + AxBy(k) + AxBz(-j) + AyBx(-k) + AyBy(0) + AyBz(i) + AzBx(j) + AzBy(-i) + AzBz(0) C=i(AyBz-AzBy) + j(AzBx- AxBz) + k(AxBy- AyBx) y eksenindeki (j notasyonlu) terimlerin yerini değiştirirsek  C=AXB= i(AyBz-AzBy) - j(AxBz- AzBx) + k(AxBy- AyBx) F 7.5

HATIRLATMA Bu noktada Matrixlerin determinantını bulmayı hatırlayalım 3X3 lik bir matrix determinantı

3X3 lik matrix determinantı F 7.5 de bulmuş olduğumuz. C=AXB= i(AyBz-AzBy) - j(AxBz- AzBx) + k(AxBy- AyBx) Çapraz çarpım vektörünü ifade için uygundur. Böylece iki vektörün çapraz çarpımının daha kolay algılanabilir olmasını sağlamak için determinant form kullanılmaktadır. F 7.6

VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMININ MOMENT BULUNMASI İÇİN UYGULANMASI Moment büyüklüğünün kuvvet ile kuvvete dik uzaklığın çarpımı, yönünün ise sağ el kuralına göre saat yelkovanı yönünün tersi yön için pozitif yön olarak değerlendirildiğinden bahsetmiştik. M=F*r*sinϴ= F*d Eğer r vektörü moment eksenine dik bir düzlemde değil ise böyle problemlerin çözümünde çapraz çarpım uygulanmalıdır. AKTARILMA PRENSİBİ Bir eksen etrafında etkin kuvvetin eksene uzaklığı birden fazla gözükebilir. Bkz. Yan şekil. Ancak O eksenine dik bir düzlemde bu uzaklıkların dikey bileşenleri aynı olduğundan Moment sabit kalır. Böylece Mo= r1*F = r2*F= r3*F Bu özelliğe bir kuvvetin aktarılma prensibi denilir

VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMININ MOMENT BULUNMASI İÇİN UYGULANMASI Üç boyutlu düzlemde etkin kuvvet vektörü F ile kuvvet kolu vektörü r değerlerinin (Bkz şekil 16) çapraz çarpım yolu ile bu iki vektörün oluşturduğu düzleme dik olan O ekseni etrafında oluşan momentin bulunması için önce r ve F vektörleri kartezyen bileşenlerine ayrılmalıdır. (Bkz. Şekil 17) Sonra matrix formatında yerleştirilerek determinant formatından yararlanılarak Moment bulunur Şekil 16 F 7.6 Şekil 17 F 7.5 Eğer bir nokta etrafında birden fazla kuvvet ve kuvvet kolu etkin ise (Bkz şekil 18) toplam moment Mo=Σ(rXF) olur F 7.7 Şekil 18

Önce kuvvet kartezyen koordinatlarda yazılmalıdır. ÖRNEK PROBLEM 7.4 Yandaki borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.4 Önce kuvvet kartezyen koordinatlarda yazılmalıdır. O(0,0,0) A(1,4,0) B(1,4,2) C(5,0,0) Şekil 19

Aynı problemi rB üzerinden çözersek ÇÖZÜM 7.4 Devamı Şekil 19 Aynı problemi rB üzerinden çözersek Aynı sonuca ulaşılır

ÖRNEK PROBLEM 7.5 F1=(100i-120j+75k)lb F2=(-200i +250j+100k)lb Olarak verilmiş sistemde borunun duvardan çıktığı O noktasında yandaki şekilde belirtilen kuvvetlerin etkisi ile meydana çıkacak moment büyüklüğünü bulunuz. ÇÖZÜM 7.5 Önce kuvvetlerin etki ettiği noktanın konum vektörü yazılır Kuvvetler aynı noktadan etki ettiği için kuvvetler toplanarak tek bir kuvvete dönüştürülür Şekil 20

VARIGNON PRENSİBİ Daha önce düzlemsel vektörlerde moment büyüklüğünün (M) kuvvet (F)X kuvvet doğrultusuna dik mesafenin (d) çarpımı olduğunu görmüştük. (Bkz. Şekil 21) M=F*d Waringon isimli fizikçi göstermişdir ki bu aynı zamanda kuvvetin dik bileşenlerinin x ve y eksenlerine olan uzaklıkları çarpımlarının farkına eşittir. F 7.8 Bu formülasyon ile kuvvet doğrultusuna dik mesafenin belirlenmesi zorluğu ortadan kalktığı için M=F*d yerine kullanılabilir

PROBLEM 7.2 NİN WARIGNON METODUNA GÖRE ÇÖZÜMÜ Warignon metoduna göre kuvvete dik mesafenin bulunmasına gerek yoktur Fx=F*cosϴ  Fx= 50*cos60  Fx=25N Fy=F*sinϴ  Fy= 50*sin60  Fy=43.3N X=100 + 200*Cos45 +100  x=341.42 mm Y=200*sin45  141.42 mm M=25*141.42 - 43.3*341.42 M= -11,250 N-mm M= -11.25 N-m