SAYISAL YÖNTEMLER DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Prof.Dr.Aydın ULUCAN

Karar Modellerinin Temel Bileşenleri Karar Değişkenleri: Amaca ulaşmak için kontrol edilen faktörler. Amaç Fonksiyonu: Ulaşılmak istenen hedefin karar değişkenlerinin fonksiyonu olarak matematiksel ifadesi. Kısıtlar: Karar değişkenlerinin alabileceği değerler üzerindeki sınırlama ya da gereksinimler. Kısıtlar da amaç fonksiyonu gibi karar değişkenlerinin içerildiği matematiksel fonksiyonlar olarak ifade edilir. Parametreler: Modeli etkileyen ancak karar vericinin kontrol edemediği faktörler. Varsayımlar: Model oluşturulurken doğru oldukları kabul edilen olgular.

Modellemede hesap tablolarını kullanmak karar vericiye önemli avantajlar sağlamaktadır Modeli oluşturan parametrelerdeki olası değişmelere karşı modelin nasıl davrandığı anında gözlenebilir. Bu da karar vericiye farklı durumlar için senaryo analizleri (what-if analysis) sağlar. Büyük ölçekli modeller, hesap tabloları altında çalışan model çözücülerle hızlı ve etkin şekilde çözülebilmektedir. Belli bir mantık zinciri dahilinde hesap tablosu üzerinde oluşturulan matematiksel modeller, problemin daha iyi anlaşılıp yorumlanması, üst yönetime daha anlaşılabilir şekilde gösterilmesine olanak sağlamaktadır. Oluşturulan modeller, karar vericinin gelecekte karşılaşabileceği potansiyel karar süreçlerinde de modifiye edilerek kullanılabilir. Tüm örgütte problem çözme sürecine standart bir yaklaşım sağlayarak, kişisel önyargıları ortadan kaldırır. Etkili raporlama özellikleriyle, profesyonel raporlar ve intranet sunumları oluşturmak oldukça sıradan bir işlem haline dönüşmüştür.

Doğrusal Programlama Doğrusal Programlama yaklaşımı, doğrusal bir yapıdaki kısıtları ihlal etmeden, doğrusal formdaki amaç fonksiyonunu en iyilemeyi (maksimize yada minimize etmeyi) sağlayan, bu eniyileme sonucunda karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulan bir yaklaşımdır. Her doğrusal programlama modelinin üç temel bileşeni vardır: karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlar. Doğrusal programlama, kısıtlı bir optimizasyon yaklaşımı olmasından dolayı, kıt kaynakların ilgilenilen amacı optimize edecek şekilde dağıtılması olarak da tanımlanabilir.

Doğrusal Programlama Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 kısıtlar

Doğrusal Programlama Modellerinin Grafik Çözüm Yöntemi ile Çözülmesi Maks. 5x1 + 4x2 (amaç fonksiyonu) kısıtlar 1x1 < 12 (1) 1x2 < 10 (2) 4x1 + 6x2 < 72 (3) x1, x2 > 0

Şekil 2.1.i. Grafik Çözüm Aşamaları  x1 <12 (1)  i Şekil 2.1.i. Grafik Çözüm Aşamaları  x2 <10 ii (2) Şekil 2.1.ii. Grafik Çözüm Aşamaları

A A B B C C D D  iv iii Şekil 2.1.iii. Grafik Çözüm Aşamaları Şekil 2.1.iv. Grafik Çözüm Aşamaları B iii D C (3)  4x1+6x2 <72 A Şekil 2.1.iii. Grafik Çözüm Aşamaları

A A B B C C D D vi v Şekil 2.1.vi. Grafik Çözüm Aşamaları Şekil 2.1.v. Grafik Çözüm Aşamaları A D B Optimal Çözüm vi (1) (2) C (3) Şekil 2.1.vi. Grafik Çözüm Aşamaları

Amaç fonksiyonunu paralel olarak kuzeydoğu yönünde kaydırmaya devam edersek, amaç fonksiyonunun değeri de sürekli olarak artacaktır. Modelde amacımız tüm kısıtları sağlayan karar değişkenlerinin maksimum değerini bulmak olduğu için, amaç fonksiyonunu uygun çözüm bölgesine temas ettiği en son noktaya kadar kuzeybatı yönünde kaydırırız. Şekil 2.1.vi’de bunun bir nokta olduğu (C noktası) görülmektedir. Bu noktadaki x1 ve x2 değerleri karar değişkenlerinin optimal değerleridir (x1=12, x2=4). Bu değerleri amaç fonksiyonunda yerine koyduğumuzda 76 değerini elde ederiz. Bu değer de optimal çözümdür.

Şekil 2.1.vi dikkatle incelendiğinde optimal çözüm olan C noktasının (1) ve (3) no.lu kısıtların kesişim noktası olduğu görülecektir. Dolayısıyla optimal çözüm olan C noktasındaki x1 ve x2 değerlerini bulmak için (1) ve (3) no.lu kısıtların eşitlik haline getirilip eşanlı olarak çözülmesi yeterlidir. x1 = 12 ve 4x1 + 6x2 = 72 den x1*=12 ve x2*=4 optimal değerleri kolayca elde edilir. (x1 ve x2’nin sonundaki * işareti bu x1 ve x2 değerlerinin optimal çözüm değerleri olduğunu göstermek için kullanılmıştır.) Bu değerler amaç fonksiyonunda yerine konulduğunda da optimal çözüm olan 5(12) + 4(4)=76 değerine ulaşılır.

Bu noktaya kadar elde ettiklerimizi gözden geçirdiğimizde bazı önemli sonuçlara ulaşabiliriz: Optimal çözümün bulunduğu noktadan geçen kısıtlar bağlayıcı kısıtlardır. Bizim örneğimizde (1) ve (3) no.lu kısıtlar bağlayıcı kısıtlardır. Optimal çözümün bulunduğu noktadan geçmeyen kısıtlar ise bağlayıcı olmayan kısıtlardır. Bizim örneğimizde (2) no.lu kısıt bağlayıcı değildir. Optimal çözüm hiçbir zaman uygun bölgenin içinde bir nokta olamaz. Optimal çözüm uygun bölgenin sınırları üstünde olmak zorundadır. Uygun bölgenin sınırları üstündeki köşe noktaları uç noktalar olarak adlandırılır. Bizim örneğimizde optimal çözüm C uç noktasında bulunmuştur. Uç noktalar doğrusal programlamada optimal çözümün elde edilmesinde önemli kavramlardır. Örneğimizde x2’nin amaç fonksiyonundaki katsayısı 4 yerine 10 alınırsa ve diğer tüm parametreler ve kısıtlar aynen bırakılırsa, amaç fonksiyonunun yeni eğimi ve optimal çözüm Şekil 2.2’de görüleceği gibi değişecek ve optimal çözüm C uç noktası yerine B uç noktasında oluşacaktır. x1 ve x2’nin yeni değerleri 3 ve 10, amaç fonksiyonunun da yeni değeri 115 olacaktır. Ayrıca bağlayıcı kısıtlar da (2) ve (3) no.lu kısıtlar olacaktır.

A B C D

Örnek SüperPlast şirketi bilgisayarlar için 3 farklı modelde bilgisayar kasası üretmektedir; Standart, Performa ve Ultra. Her bir kasanın üretimi için iki ayrı makinada işlem gerekmekte ve her bir makina haftada 6000 dakika çalışabilmektedir. Bilgisayar kasalarının üretimi için makinalarda harcanan süre (dakika) aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Depolama alanı kısıtı nedeniyle haftada 1500’den fazla bilgisayar kasası üretilememektedir. Şirket yaptığı bir anlaşma nedeniyle her hafta en az 300 adet Standart kasa üretmek zorundadır. SüperPlast ürettiği tüm bilgisayar kasalarını satabilmekte herbir kasadan aşağıdaki miktarda kar (milyon TL.) elde etmektedir.

SüperPlast şu anda Standart’dan haftada 750 tane üretmekte, Perfoma ve Ultra’dan ise üretmemektedir. Şirket yönetimi şu anki üretim politikalarının iyileştirilme olasılığını araştırmaktadır. SüperPlast haftalık karını maksimize etmek için herbir üründen kaçar adet üretmelidir?

Çözüm Bu örnekte şirket yönetimi Optimal Üretim Planını elde etmek istemektedir. Optimal Üretim Planını elde etmek için yönetimin vermesi gereken karar, hangi üründen kaçar adet üretilmesi gerektiğidir. Bu kararı vermek için ilk olarak, karar değişkenleri şu şekilde tanımlanmalıdır: x1: Standart modelden her hafta üretilecek miktar. x2: Performa modelinden her hafta üretilecek miktar. x3: Ultra modelinden her hafta üretilecek miktar.

Amaç Fonksiyonu İkinci aşamada, Optimal Üretim Planını elde etmek için hangi performans kriterinin baz alınacağı belirlenmeli ve bu kriter doğrultusunda amaç fonksiyonu oluşturulmalıdır. Max. 12x1 + 9x2 + 6x3 Amaç fonksiyonunda yukarıdaki örnekte de olduğu gibi kar maksimize edilebilir. Ancak, maliyet, süre ya da işgücü gibi kavramlar için ise minimizasyon şeklinde amaç fonksiyonları da oluşturulabilir.

Kısıtlar Üçüncü aşamada ise amaca ulaşmada engel teşkil edebilecek kısıtlar, matematiksel eşit(siz)likler olarak ifade edilmelidir. Makina 1’in haftalık kapasitesi bir kısıttır ve matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: 8x1 + 4x2 + 5x3 < 6000 Bu ifadenin, değişkenlerin alacağı değere bağlı olan sol tarafı (SolT), kısıt fonksiyonu olarak adlandırılır. < sembolü kısıtı bir eşitsizlik kısıtı yapar. Makina kapasitesini gösteren 6000 sabiti ise sağ taraf (SağT) olarak adlandırılır. Doğrusal programlama modeli kısıtlarında değişkenler eşit(siz)liğin sol tarafında, sabitler ise sağ tarafında gösterilir.

Kısıtlar Makina 2’nin haftalık kapasite kısıtı da şu şekilde ifade edilir: 1x1 + 5x2 + 4x3 < 6000 Depolama alanı sınırlaması nedeniyle haftada en fazla 1500 adet bilgisayar kasası üretilebileceği de bir kısıttır ve şu şekilde gösterilir. x1 + x2 + x3 < 1500

Kısıtlar Her hafta en az 300 adet Standart kasa üretme kısıtı ise > şeklinde bir eşitsizliktir. x1 > 300 Herhangi bir modelden negatif sayıda üretim yapılması fiziksel olarak imkansız olduğu için, bu durum negatif olamama şartı şeklinde ifade edilmelidir. x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

Standart:750 Performa:0 Ultra:0 Yukarıdaki kısıtları ihlal etmeden üretim planını oluşturabilecek sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu çözümler uygun çözüm olarak adlandırılır. 8750 + 40 + 50 < 6000  6000 < 6000  1750 + 50 + 40 < 6000  750 < 6000  750 + 0 + 0 < 1500  750 < 1500  750 > 300  750 > 300  Şirketin haftalık karı ise; 12750 + 90 + 60 = 9000 (milyon TL.) dir.

Standart:500 Performa:500 Ultra:0 Ancak, şu anki üretim planının uygun bir çözüm olması, optimal çözüm olmasını da gerektirmemektedir. 8500 + 4500 + 50 < 6000 6000 < 6000  1500 + 5500 + 40 < 6000 3000 < 6000  500 + 500 + 0 < 1500 1000 < 1500  500 > 300  500 > 300  Şirketin haftalık karı; 12500 + 9500 + 60 = 10.500 (milyonTL.) ye yükselecektir.

Standart:600 Performa:400 Ultra:0 Haftalık kar daha da artarak; 12600 + 9400 + 60 = 10.800 (milyon TL.) ye yükselecektir. Ancak bu üretim planı daha yüksek kar getirmesine karşın uygun bir çözüm değildir. Karşılanamayan kısıt vardır. 8600 + 4400 + 50 < 6000 6400 < 6000  1600 + 5400 + 40 < 6000 2600 < 6000  600 + 400 + 0 < 1500 1000 < 1500  600 > 300  600 > 300 

Doğrusal Programlama Modeli Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 kısıtlar 8x1 + 4x2 + 5x3 < 6000 1x1 + 5x2 + 4x3 < 6000 x1 + x2 + x3 < 1500 x1 > 300 x1, x2, x3 > 0 Bu model çözülerek elde edilecek x1, x2, x3 karar değişkenlerinin değeri optimal çözüm olarak adlandırılır.

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Öncelikle değişken değerlerine karşılık gelen hücreler ayrılır. Bizim örneğimizdeki değişkenler; x1, x2, x3 için C5, D5, E5 hücreleri ayrılmıştır. Kuracağımız model Solver’da çözüldükten sonra bu hücrelerde karar değişkenlerinin optimal değerleri hesaplanacak ve görünecektir.

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Bu aşamanın ardından, karar değişkenlerinin isimleri tanımlanır. B5 hücresine ‘Üretim Miktarı’ yazılmıştır. C4:E4 aralığına ise modellerin adları olan, Standart, Performa ve Ultra yazılmıştır

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Bu noktada artık amaç fonksiyonunu hazırlayabiliriz. Amaç fonksiyonu olan Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 ün katsayılarını Excel tablosundaki C6:E6 aralığına yazdık.

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Amaç fonksiyonunun değerinin hesaplanması için F6 hücresi hazırlanır. Bu hücreye 12x1 + 9x2 + 6x3 ifadesinin girilmesi gereklidir. =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C6:E6)

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Bu aşamada kısıtları yazmaya başlayabiliriz. Önce kısıtların katsayılarını ve başlıklarını amaç fonksiyonunun katsayılarını yazdığımız gibi yazabiliriz. Bu kısıtlardaki herbir değişkenin katsayısını, o kısıtın sütununa yazıyoruz.

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Tüm kısıtların matematiksel ifadelerini =SUMPRODUCT kullanarak her kısıtın katsayılarının sağındaki hücreye yazacağız. F9: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C9:E9) (8x1+4x2+5x3’e karşılık geliyor) F10: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C10:E10) (1x1+5x2+4x3’e karşılık geliyor) F11: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C11:E11) (1x1+1x2+1x3’e karşılık geliyor) F13: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C13:E13) (1x1’e karşılık geliyor)

LP Modellerinin Excel’de Formülasyonu Son olarak H6:H13 aralığına kısıtların sağ taraf sabitleri yazılacak.

Standart:750 Performa:0 Ultra:0

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü Öncelikle Excel üzerinde bir önceki kısımda hazırladığımız gibi model hazırlanmalıdır. Ardından Solver çalıştırılır. Solver’a Excel’in Tools (Araçlar) menüsünün altında erişilir.

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü Amaç fonksiyonu, ‘Set Target Cell’ bölümünde belirtilecektir. Ardından amaç fonksiyonunun tipi ‘Equal To’ kısmında Max yada Min seçeneklerinden birisi seçilerek belirtilir.

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü Amaç fonksiyonunun tanımlanmasının ardından karar değişkenleri Solver’a tanıtılmalıdır. Bunun için Solver diyalog penceresinin ‘By Changing Cells’ bölümüne gidilmesi gerekir.

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü Bu aşamada modelin kısıtları Solver’a tanıtılacaktır. Yeni bir kısıt girmek için ‘Subject to the Constraints’ kısmında Add düğmesine basmak gerekmektedir. Add düğmesine bastıktan sonra karşımıza ‘Add Constraint’ penceresi çıkacaktır.

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü ‘Solve’ düğmesine basarak optimal çözümü elde ederiz.

LP Modelinin SOLVER ile Çözümü

Answer Report

Yatırım Planlaması Uygulaması EkonoBank yatırım uzmanı, elindeki 1.5 trilyon TL’lik fonu aylık getiriyi maksimize edecek şekilde aşağıdaki yatırım enstrümanlarına yatırmak istemektedir.

Yatırım Planlaması Uygulaması Uzman elindeki fonun en azından %60’ını kısa vadeli enstrümanlara yatırmak istemekte ve paranın %40’ından fazlasını yüksek riskli enstrümanlara yatırmak istememektedir. Elindeki fonun en azından %40’ı vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmalıdır. Bu problem için aylık getiriyi maksimize edecek doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel’e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz.

Karar Değişkenleri: Yatırım planlaması probleminde, her biri çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktara karşılık gelen 5 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılacak miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılacak miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılacak miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılacak miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılacak miktar

Amaç Fonksiyonu Problemin amacı çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarla elde edilecek getiriyi maksimize etmektir. Dolayısıyla, karar değişkenleri ile o karar değişkenine karşılık gelen aylık getiri değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edlir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E

Kısıtlar Problemdeki ilk kısıt, toplam yatırılacak fonun 1.5 trilyon TL olmasını sağlayan aşağıdaki kısıttır. A + B + C + D + E = 1500 Yatırım yapılacak fonun en azından %60’ını kısa vadeli enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt ta şu şekilde yazılır. B + E  900 Yatırımın %40’ından fazlasının yüksek riskli enstrümanlara yatırılmamasını sağlayan kısıt ise aşağıdaki şekilde oluşturulur. A + D + E  600

Kısıtlar Yatırımın en azından %40’ının vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt aşağıda görülmektedir. A + B + D  600 Son olarak karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları da aşağıda gösterildiği gibi modele eklenmelidir. A, B, C, D, E  0

Matematiksel Model Maks. 0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E Kısıtlar A + B + C + D + E = 1500 B + E  900 A + D + E  600 A + B + D  600 A, B, C, D, E  0

Excel’de Modelleme

Solver Parametreleri

Optimal Çözüm Bu çözüme göre EkonoBank A enstrümanına 236.6 milyar TL, B enstrümanına 536.6 milyar TL, C enstrümanına 363.4 milyar TL, D enstrümanına 0 TL ve E enstrümanına 363.4 milyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı ile 1.5 trilyon TL’lik yatırımı ile 65.4 milyar TL (yada %4.36) getiri elde edecektir.

Uygulama 1 Elindeki 100 milyar TL’lik birikimini çeşitli yatırım enstrümanlarına dağıtmak isteyen Mert Bey hesabı olan aracı kurumdaki yatırım danışmanı ile görüşerek aşağıda tabloda risk ve beklenen getiri yapıları görülen yatırım enstrümanların yatırım yapmak üzere belirlemiştir.

Uygulama 1 Elindeki fonu yukarıdaki enstrümanlara nasıl dağıtacağı ile ilgili stratejiler ise aşağıda listelenmiştir. Tüm para yukarıdaki yatırım enstrümanlarına dağıtılacaktır. Yatırım yapılacak tutarın en azından %15’i gecelik repoda tutulacaktır. Hisse senetlerine yatırılan tutarın ortalama risk derecesi 3’ün altında olacaktır. Hiçbir hisse senedine toplam portföyün %10’undan fazlası yatırılamayacaktır. Hazine bonosuna en azından hisse senetlerine yatırılan miktar kadar yatırım yapılacaktır. Beklenen aylık getirisi %5’in altında olan enstrümanlara toplam portföyün en fazla %80’i yatırılabilecektir. Mert Beyin toplam aylık getirisini maksimize edecek şekilde hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırması gerektiğini bulan doğrusal programlama modelini formüle edip Excel’de çözünüz. Tüm portföyün aylık beklenen getirisi ne kadar olacaktır?

Uygulama 2 Güven Bankası 5 farklı kredi vermektedir. Bu kredilerin tipleri ve aylık faiz oranları aşağıda verilmiştir

Uygulama 2 Bankanın 100 trilyon TL. kredi verebileceği kaynağı vardır. Amacı ise faiz gelirini maksimize etmektir. Ancak verebileceği kredilerle ilgili bazı zorunlulukları vardır: C kredisi, B kredisinin %25 inden fazla olamaz. A kredisi en fazla D kredisi kadar verilebilir. Banka kredilerinin en azından %50'sini B ve D tiplerinden vermelidir. B kredisi, D kredisinin en azından 1.5 katı olmalıdır. E tipi kredi 10 trilyon TL’yi aşamaz. Bankanın kredi dağıtım planını bulunuz.

Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Bu yapıdaki problemlerde genellikle planlama dönemi sonundaki getiri maksimize edilir. Karar verici yatırım enstrümanlarını karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırım yapması gerektiğini belirler. Dönemler içinde nakit akışının korunumu ve yatırım enstrümanlarına yapılabilecek yatırımların alt-üst limiteri modeldeki kısıtları oluşturur.

Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Çevre Koruma Derneğinin bağışlardan topladığı ve doğal hayatı ve çevreyi koruma faaliyetlerinde kullandığı fonlarında 500 binTL birikimi vardır ve bu birikimi yatırımlara dağıtmak istemektedir. Dernek yatırım yapabileceği enstrümanları beş adete indirgemiştir. Bu enstrümanların nakit akış planı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Dernek A yatırım enstrümanına eğer 2009 başında 1 TL yatırırsa, 2010 başında 1 TL ve 2005 başında da 0,7 TL alacaktır. Öte yandan, eğer 1 TL’sini 2010 başında B’ye yatırırsa, 2012 yılı başında 1,80 TL kazanacaktır. Tablodaki “-” işaretleri nakit akışının olmadığı yatırım dönemlerini göstermektedir. Her yıl başında derneğin elindeki parasını yıllık %25 getiri ile para piyasalarında değerlendirme şansı da bulunmaktadır. Dernek, likiditesini korumak için en azından 50 bin TL’yi sürekli olarak para piyasalarında tutmak istemekte ve risklerden kaçınmak için de herhangi bir yatırım enstrümanına ve para piyasalarına 300 bin TL’den fazla yatırmak istememektedir. Dernek 2012 yılı başındaki toplam parasını maksimize etmek için yatırımlarını nasıl oluşturmalıdır? Bu problem için doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel’e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz.

Karar Değişkenleri Çok dönemli nakit akışı probleminde, her biri çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktara karşılık gelen 8 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılan miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılan miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılan miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılan miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılan miktar P2009 = 2009’da para piyasasına yatırılan miktar P2010 = 2010’da para piyasasına yatırılan miktar P2011 = 2011’de para piyasasına yatırılan miktar

Amaç Fonksiyonu Problemin amacı çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarla 2011 yılı sonunda elde edilecek getiriyi maksimize etmektir. Dolayısıyla, 2011 yılında getiri getiren karar değişkenleri ile o karar değişkenine karşılık gelen yıllık getiri değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edlir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 1.80 B + 2.10 C + 1.25 P2011

Kısıtlar Problemdeki ilk kısıt grubu, önümüzdeki 3 yıl boyunca yıllık nakit girdileri ile nakit çıkışlarını birbirine eşitleyerek nakit akışının korunumunu sağlayan kısıtlardır. A + C + D + E + P2009 = 500 A + 1.25 P2009 - B - P2010 = 0 0.7 A + 1.85 D + 1.70 E + 1.25 P2010 - P2011 = 0

Kısıtlar Problemdeki ikinci grup kısıtlar da, yatırım enstrümanlarına yatırılabilecek miktarların alt-üst sınırlarını sağlayan aşağıdaki kısıtlardır. A  300 P2009  50 P2009  300 B  300 P2010  50 P2010  300 C  300 P2011  50 P2011  300 D  300 E  300 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları, A, B, C, D, E, P2009, P2010, P2011  0

Matematiksel Model Maks. 1.80 B + 2.10 C + 1.25 P2011 Kısıtlar A + C + D + E + P2009 = 500 A + 1.25 P2009 - B - P2010 = 0 0.7 A + 1.85 D + 1.70 E + 1.25 P2010 - P2011 = 0 A  300 P2009  50 P2009  300 B  300 P2010  50 P2010  300 C  300 P2011  50 P2011  300 D  300 E  300 A, B, C, D, E, P2009, P2010, P2011  0

Excel’de Modelleme

Solver Parametreleri

Optimal Çözüm Bu çözüme göre Çevre Koruma derneği A enstrümanına 300 bin TL, B enstrümanına 300 bin TL, C enstrümanına 144 bin TL, D enstrümanına 6 bin TL, 2009’da para piyasalarına 50 binTl, 2010’da para piyasalarına 63 binTL ve 2011’de para piyasalarına 300 bin TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı ile 3 yılın sonunda 500 bin TL’lik yatırmının değeri 1.217.000 TL’ye çıkacaktır.

Uygulama 3 Bankacı Ayşe hanım 5 yıl sonra ünversiteye başlayacak olan kızı Aylin’in 4 yıllık üniversite harcamaları için şimdiden tasarruf yapmaya başlamak istemektedir. Ayşe hanım üniversitenin ilk yılı olan bu günden sonraki 6. yılda yıllık harcamasının 12 milyar TL olacağını ve bu miktarın her yıl 2 milyar TL artacağını tahmin etmektedir. Ayşe hanımın önümüzdeki dönemlerde yatırım yapabileceği aşağıdaki yatırım enstrümanları bulunmaktadır.

Uygulama 3 Ayşe Hanım bu günden başlayacağı tasarruf miktarını minimize edecek şekilde yatırımlarını planlamak istemektedir. Doğrusal programlama modelini kurup Excel’de çözünüz.

Üretim Alanında Doğrusal Programlama Kullanımı CepCom Elektronik şirketi 2 model cep telefonu üretmektedir: C303 ve C309. CepCom büyük bir süpermarket zinciri ile önümüzdeki ay için 3000 adet C303 ve 1500 adet C309 teslim etmek üzere sözleşme imzalamıştır. CepCom telefon üretimini 3 ayrı üretim departmanında gerçekleştirmektedir: Üretim, Montaj ve Paketleme. Bu departmanların aylık üretim kapasiteleri ve herbir cep telefonu için departmanlarda üretim için harcanan süreler aşağıdaki tabloda verilmiştir: C303’ün ve C309’un üretim maliyetleri sırasıyla; 80 ve 130 milyon TL’dir. Ayrıca üretemediği telefonları bir taşeron firmadan sırasıyla 100 ve 150 milyon TL ödeyerek satın alabilmektedir. CepCom imzaladığı sözleşme koşullarını yerine getirmek için herbir modelden kaç tane cep telefounu üretmeli ve eğer gerekiyorsa kaç tane de satın almalıdır? Bu problem için aylık maliyeti minimize edecek doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel’e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. Üretim Süreleri C303 C309 Aylık Kapasite Üretim 0.25 0.45 1100 Montaj 0.55 1600 Paketleme 0.15 0.10 900

Üretim Alanında Doğrusal Programlama Kullanımı Ü1= C303 modelinden üretilecek cep telefonu sayısı Ü2= C309 modelinden üretilecek cep telefonu sayısı S1= C303 modelinden satın alınacak cep telefonu sayısı S2= C309 modelinden satın alınacak cep telefonu sayısı

Üretim Alanında Doğrusal Programlama Kullanımı

Çok Dönemli Üretim Planlaması Mobaş, stokta kalan her bir kitaplığın bir aylık stok maliyetini yaklaşık 2 milyon TL olarak tahmin etmektedir(aylık stok miktarı, dönem başı ve dönem sonu stoklarının ortalaması olarak alınmaktadır). Şu anda stokta 25 adet kitaplık bulunmaktadır. İşgücü düzeyini dengeli tutmak için, şirket her ay en az 50 kitaplık üretmek istemektedir. Ayrıca beklenmeyen talepleri karşılamak için de her ay 12 adet güvence stoğu bulundurulması istenmektedir. Mobaş önümüzdeki altı ay boyunca en az maliyetle talebi karşılayacak şekilde her ay ne kadar kitaplık üretmesi gerektiğini bulmak istemektedir. Bu problem için doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel’e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. Bu kısımda çok dönemli üretim planlaması örneği üzerinde dinamik modelleri inceleyeceğiz. Bu yapıdaki problemlerde toplam üretim ve stok maliyetleri minimize edilir. Karar verici her dönem üreteceği ve stoklayacağı miktarları karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi dönemde ne kadar üretim ve stok yapması gerektiğini belirler. Her dönem üretilen, stoklanan ve talep edilen ürünlerin birbirini sağlaması ile üretim alt-üst sınırları ve stoklanabilecek maksimum miktar modeldeki kısıtları oluşturur. Mobaş Mobilya şirketi modüler mobilyalar üretmektedir. Ürünlerinden birisi olan kitaplık için önümüzdeki altı ay boyunca tahmin edilen talep ve üretim maliyetleri ile kapasitesi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Çok Dönemli Üretim Planlaması Pi = i ayında üretilecek kitaplık sayısı Ii = i ayının sonunda eldeki stok miktarı

Çok Dönemli Üretim Planlaması

Nakit Dengelemesi Uygulaması Bir işletme 2011 yılı için aylık nakit giriş-çıkışlarını şu şekilde öngörmektedir. Ay Nakit Girişi (bin TL) Ocak -120 Temmuz -70 Şubat -100 Ağustos -20 Mart -80 Eylül 150 Nisan Ekim 120 Mayıs -40 Kasım Haziran 50 Aralık 450

Nakit Dengelemesi Uygulaması Şirket ödemelerini gerçekleştirebilmek için 2011 başında kredi almak zorundadır. İki kredi tipi var: Uzun ve Kısa dönemli Uzun dönemli kredi 2011 Ocak başında alınabilir, her ay %1 faiz ödenir, 2012 Ocak başında kapatılır. Kısa dönemli kredi her ay başında alınabilir. Aylık faiz oranı %1.5. Her ay sonunda eldeki fazla nakit %0.5 faiz kazanmaktadır.

Nakit Dengelemesi Uygulaması Şirket doğrusal programlama kullanarak 2012 Ocak ayı başındaki nakit düzeyini maksimize etmek istemektedir. Yönetim toplam ödeyeceği faizi minimize edecek modeli de kurmak istemektedir. Şirketin kasasında şu anda 65000 TL bulunmakta ve her ay sonunda kasada en az 50000 TL olması istenmektedir.

Nakit Dengelemesi Uygulaması ND(t)= ND(t-1)+ FaizGeliri(t-1) +AlınanBorç(t) + NakitGirişi(t) – UDönemBorçFaiziÖdeme(t) - KDönemBorçFaiziÖdeme(t-1) – UDönemKrediGeriÖdemesi (Ocak2005) – KDönemKrediGeriÖdemesi(t-1)

Nakit Dengelemesi Modeli

Şebeke Modelleri Bir şebeke düğümler ve yaylardan oluşur. Düğümler, bir malın o noktaya gittiği yada o noktadan geldiği bölgeler yada terminaller olarak düşünülebilir. Bu düşünceden yola çıkılırsa, yaylar da, yollara, otobanlara yada benzer fiziksel akış ortamlarına karşılık gelir. Şebeke yapısı, görsel olarak kolaylıkla ifade edilebilir. Bu yapıda düğümler, numaralanmış daireler şeklinde, yaylar da düğümleri bağlayan çizgiler şeklinde gösterilir. Her yay üzerindeki ok, o yayın akış yönünü ifade eder. Şekilde 1’den 7’ye kadar numaralanmış yedi düğümden oluşan bir şebeke görülmektedir. Düğümler arası akışlar yönlü yaylarla gösterilmiştir. Bu yaylar üzerindeki akış miktarı kurulacak problemin karar değişkeni olacaktır. Düğümlerden arz edilen ürün miktarları (A) arz olduğunu anlamamız için negatif işaretle, düğümlerden talep edilen miktar da (T) pozitif işaretle gösterilmiştir. Örneğin 2 numaralı düğümün arzı 900 birim, 6 numaralı düğümün talebi ise 250 birimdir. Problemimizi ileriki kısımlarda şebeke modeli olarak tanımlarken, amaç fonksiyonu ve kısıtlar oluşturacağız. Şebeke optimizasyonunda kısıtlar her bir düğüm için akışın korunumu kuralı uygulanarak oluşturulur 1 2 3 4 5 6 7 10 14 17 13 15 18 11 -500 -900 +250 +200 +550 +150 Şekil 5.1. Bir şebekenin elemanları

2 7 6 1 5 4 3 Trabzon Erzurum Mersin Ankara İstanbul Diyarbakır İzmir (-500) (-750) (350) (200) (150) (250) 15 25 40 50 45 35 20 30 Şekil 5.11. Can Gıda Aktarma Modeli Şebekesi Şebeke Modelleri Can Gıda şirketi yurtdışından muz ithal etmektedir. İthal ettiği muzlar İstanbul ve İzmir limanlarına gelmektedir. Can Gıda muzların yurtiçi dağıtımını yaparken, ulaştırma maliyetlerinden tasarruf etmek amacıyla yurtiçinde yetişen tarım ürünlerini illere dağıtım boş dönen kamyonlarını kullanmak istemektedir. Bu kamyonların standart rotaları vardır ve boş olarak dönüş yolları Şekil 5.11’de, bu hatlarda 1 birim nakletmenin maliyeti (birim TL) ile illerin haftalık arz ve talepleri de (ton) aşağıdaki tabloda verilmiştir. Arz Talebin Göreli Durumu Düğümlerdeki Akışın Korunumu Kısıtlarının Yönü Toplam Arz > Toplam Talep Gelen Akışlar – Giden Akışlar > Arz ya da Talep Toplam Arz < Toplam Talep Gelen Akışlar – Giden Akışlar < Arz ya da Talep Toplam Arz = Toplam Talep Gelen Akışlar – Giden Akışlar = Arz ya da Talep

Şebeke Modelleri