kümeler

kümeler 1.Tanım 2.Kümelerin Gösterimi 3.Kümelerin Karşılaştırılması 4.Alt Küme-Özalt Küme 5.Kümelerde İşlemler 6.Evrensel Küme 7.Bir Kümenin Tümleyeni 8.İki Kümenin Farkı 9.Eleman Sayısı 10.Çözümlü Örnekler

TANIM: Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A,B,C gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluşturan nesnelerden her birine kümenin elemanı denir.a elemanı A kümesine ait ise “a,A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.b elemanı A kümesine ait değil ise “b,A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur. Kümede aynı eleman bir kez yazılır. Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir. Küme kavramının matematiğe Georg Cantor(1845-1918) ile girdiği kabul edilir.

KÜMELERİN GÖSTERİMİ: 1. Lİste Yöntemİ Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.Elemanların hangi sırada yazıldığının önemi yoktur. A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür. Futbol, Voleybol, Basketbol sporlarının kümesini A ile gösterelim.       A= { futbol, voleybol, basketbol } ARMADA kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi P ile gösterelim. P= { A,R,M,D }

2.Venn Şemasi Yöntemİ Kümeyi meydana getiren nesnelerin adları, resimleri ya da simgeleri kapalı bir eğri çizgisinin içine alınır. Kümenin bu şekilde gösterilmesine, Venn şeması ile gösterimi denir. Kümenin elemanlarının, küme içinde yazıldığı yerler önemli değildir. A kümesinin Venn Şeması ile gösterimi… =>

3.   Ortak Özellİk Yöntemİ  Bir kümeyi oluşturan elemanların hepsinin sağladığı ortak özelliğin belirtilmesiyle kümenin ifade edilmesi yöntemidir. Kümeler belirlenebilir ortak özellikleri var ise ortak özellik yöntemiyle gösterilebilir. A = {x lerden oluşur ve x hakkında bilgi}      A = {x : x < 15  ve  x doğal sayı}         A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,150 } B = {x: x haftanın p harfi ile başlayan günleri }      B = { Pazartesi, Perşembe, Pazar }

KÜMELERİN KARŞILAŞTIRILMASI 1.EŞİt Küme Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit küme denir. A kümesi B kümesine eşit ise A = B şeklinde gösterilir. 2.BoŞ Küme Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir. {Ø } ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

3.Denk Küme Eleman sayıları eşit olan kümelere denk küme denir C kümesi D kümesine denk ise C º D şeklinde gösterilir. !!!Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir.Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

ALT KÜME-ÖZALT KÜME 1.Alt küme Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂ B şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A biçiminde gösterilir .

2.Özalt Küme Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin  özalt kümeleri denir. 3.Alt Kümenİn Özellİklerİ Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂ A  Boş küme her kümenin alt kümesidir. Ø ⊂ A n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir. n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir. n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir. n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2n olduğu için,

KÜMELERDE İŞLEMLER 1.Kümelerİn BİrleŞİmİ A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ∪ B biçiminde gösterilir 2. BİrleŞİm İŞlemİnİn Özelİklerİ a) A ∪ Ø = A b) A ∪ A = A c) A ∪ B = B ∪ A d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e) A ⊂ B ise, A ∪ B = B f) A ∪ B = Ø ise, (A = Ø ve B = Ø ) dir.

3.Kümelerİn KesİŞİmİ A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir. 4. KesİŞİm İŞlemİnİn Özelİklerİ a) A ∩ Ø = Ø b) A ∩ A = A c) A ∩ B = B ∩ A d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C) f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir. E ∩ A = A dır. E ∪ A = E dir. A ⊂ E dir. B⊂ E dir.

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir  ve A’ ile gösterilir. Tümleyenİn Özelİklerİ Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir. Buna göre, (A’)’ = A olur. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Buna göre, E’ = Ø olur. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Buna göre, Ø ’ = E olur. Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Buna göre, s(A) + s(A’) = s(E) olur.

İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A\B biçiminde gösterilir.

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere, ELEMAN SAYISI A, B, C herhangi birer küme olmak üzere, s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) s(A ∪ B) = s(A – B) + s(A ∩ B) + s(B – A) Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur. Apartmandakilerin kümesi K, A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, C gazetesini alanların kümesi C olmak üzere, yandaki şemada x, y, z, t bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir.

Sınıf mevcudu: 18 + 11 + 20 = 49 kişi Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı futbol veya voleybol sporlarından en az birini yapmaktadır.Sadece futbol oynayan 20 kişi sadece voleybol oynayan 18 kişi ve her iki sporu da yapan 11 kişi olduğuna göre sınıf mevcudu kaç kişidir?   Sınıf mevcudu: 18 + 11 + 20 = 49 kişi

Sınıf mevcudu;12 + 8 + 7 = 27 kişi Bir grupta İngilizce bilen 20 kişi, Almanca bilen 15 kişi bulunmaktadır.Her iki dili de bilen 8 kişi varsa sınıf kaç kişidir? İngilizce bilen 20 kişi olduğundan 20 – 8 = 12 kişi yalnız İngilizce bilmektedir. Almanca bilen 15 kişi olduğundan 15 – 8 = 7 kişi yalnız Almanca bilmektedir. Sınıf mevcudu;12 + 8 + 7 = 27 kişi

 s(A/B) = 3 ,  s(B/A) = 4  ve  s(A⋂B) ≠ 0  ise s(A⋃B) en az kaçtır ? Soruda  s(A⋂B) ≠ 0  dediğine göre kesişim kümesinin en az 1 elemanı vardır. Buna göre birleşim kümesinin en küçük değerini ;  s(A⋃B)  = s(A/B) +  s(B/A) + s(A ⋂ B)  formülünden s(A⋃B)  =  3  + 4 + 1 =  8 olarak buluruz.   

s(A⋃B) = 7 s (A⋂B)  ve s(A/B) = 2 s(B/A) ve s(A⋂B) = 3 ise Bize soruda s(A⋂B) = 3 ve   s (A⋃B) = 7 s(A⋂B)   veriliyor. 3 ü s (A⋂B) yerine koyarsak ; s (A⋃B) = 7 x 3 = 21 olur. Bize soruda s(A/B) = 2 s(B/A)  da veriliyor. s(B/A) ye ￭ dersek  s(A/B)  = 2￭  olur. s(A⋃B)  = s(A/B) +  s(B/A) +  s(A⋂B)   formülünden    21    =  2￭  + ￭  + 3    21  =  3￭  + 3    18 = 3￭      ￭  = 6 Bize s(A/B) yi soruyordu, s(A/B)  2￭  ile ifade edildiğinden ; s( A/B ) = 12 olur.  

kazanImlar: 1.Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir. 2.Boş kümeyi ve evrensel kümeyi modelleri ile açıklar. 3.Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar ve bu işlemleri problem çözmede kullanır. 4.Bir kümenin alt kümelerini belirler.

kaynakça: tr. wikipedia. org www. derszamani. net sınavlarahazirlan kaynakça: tr.wikipedia.org www.derszamani .net sınavlarahazirlan.blogcu.com www.yazilisorulari.org www.dersizlesene.com www.meb.gov.tr matematikcifatih.com

HAZIRLAYAN: Nihal KELEŞ 110404099 2-A (İkinci Öğretim) İlköğretim Matematik Öğretmenliği