END 503 Doğrusal Programlama Sınırlandırılmış Değişken Tekniği İ.Kara,2007

Sınırlandırılmış Değişken Tekniği Bir doğrusal karar modeli, j= xj nin alabileceği en küçük değer, j= xj nin alabileceği en büyük değer, : (1, 2, …, n)T alt sınırlar vektörü,  : ( 1,  2, …,  n)T üst sınırlar vektörü olmak üzere, İ.Kara,2007

ALT ve ÜST SINIRLAR AX=b ≤X≤ k.a. Enb x0=CX şeklinde verilsin. Bu modelin, bilinen simpleks algoritmasıyla çözülebilmesi için, Xa aylak değişkenler ve Xa artık değişkenler vektörü olmak üzere, modelin aşağıdaki şekle dönüştürülmesi gerekir. İ.Kara,2007

STANDART BİÇİM AX=b X+Xa= X-Xa=  X, Xa, Xa ≥ 0 k.a. Enb x0=CX İ.Kara,2007

BOYUTLAR Bu haliyle modelde m+n+n=m+2n tane kısıt, n+n+n=3n tane değişken olup, modelin boyutları çok büyümüştür. O halde, AX=b kısıtları üzerinde işlem yapılarak, ≤X≤ olduğunu da göz önüne alıp, modeli çözmek mümkün müdür? İ.Kara,2007

Alt Sınır Eğer karar değişkenlerinin yalnız alt sınır değerleri söz konusu ise, yani model, AX=b X≥ k.a. Enb x0=CX şeklinde ise, X-=Y dönüşümü yapılıp, kısıtlarda, xj yerine xj=j+yj konularak, model, AY=b-A  Y ≥ 0 Enb x0=CY haline dönüşür ve mxn lik bir karar modeli olarak çözülür. İ.Kara,2007

Yalnız Üst Sınır Karar değişkenlerinin yalnız üst sınır değerlerinin söz konusu olması halinde, alt sınırda olduğu gibi, AX=b üzerinde simpleks algoritmasının uygulanabileceği şekle dönüştürülemez. X≤ kısıtları, Xa aylak değişkenler vektörüyle X+Xa=  şekline getirilebilir ki, model (m+n) kısıt ve (n+n) değişkenli olmak zorundadır. İ.Kara,2007

Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Karar modeli, Amxn olmak üzere, AX=b ≤X≤ k.a. Enb x0=CX şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm Değişkenleri sınırlandırılmış bir karar modelinde, m değişken temel değişken olmak üzere, temel dışı değişkenler alt sınır veya üst sınır değerlerini alıyorken, temel değişkenlerin değerleri verilen sınırlar içinde bulunabiliyorsa, buna “genişletilmiş temel uygun çözüm” denir. İ.Kara,2007

Örnek 1 Karar modeli, x1 + 2x2 + x3 ≥ 10 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 12 1≤x1≤4 Enk x0 = 2x1 + 3x2 + x3 şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

Örnek 1 x1 ve x2 temel değişkenler iken, karşı gelen genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırınız. Yukarıdaki model, x4 ve x5 artık değişkenler olmak üzere, x1 + 2x2 + x3 – x4 = 10 2x1 + x2 + 3x3 – x5 = 12 1≤x1≤4 2≤x2≤∞ 1≤x3≤3 0≤x4≤∞ 0≤x5≤∞ şeklinde yazılarak, genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırılabilir. İ.Kara,2007

Örnek x1 ve x2 temel değişkenler iken, 1 2 -1/3 2/3 B= ve B-1= 1 2 -1/3 2/3 B= ve B-1= 2 1 2/3 -1/3 olup, İ.Kara,2007

Örnek 1 -1 0 R= 3 0 -1 olduğundan, XB=B-1b – B-1RXR 1 -1 0 R= 3 0 -1 olduğundan, XB=B-1b – B-1RXR eşitliğine bağlı olarak, x1 -1/3 2/3 10 -1/3 2/3 1 -1 0 x3 = - x4 x2 2/3 -1/3 12 2/3 -1/3 3 0 -1 x5 yazılır. Buradan, İ.Kara,2007

Örnek x1 = 14/3 - 5/3x3 - 1/3x4 + 2/3x5 ve x2 = 8/3 - 1/3x3 - 2/3x4 + 1/3x5 olarak bulunur. Bu eşitlikler göz önüne alınarak, temel dışı değişkenlerin alt veya üst sınır değerlerini almalarına göre, genişletilmiş temel uygun çözümler aşağıdaki gibi bulunur. İ.Kara,2007

Örnek x3 x4 x5 x1 x2 Sonuç 1 (alt) 3 7/3 (üst) -1/3 11/3 3 7/3 Temel değişkenler sınırlar içinde. Genişletilmiş TUÇ. (üst) -1/3 11/3 x1 alt sınırdan küçük. Genişletilmiş TUÇ değil. İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları XB temel değişkenler olmak üzere, BA iken |B|≠0 olsun. Temel dışı değişkenlerden alt sınır değerini alanlar , J1 kümesiyle ve XR1 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R1 matrisiyle; üst sınır değerini alanlar J2 kümesiyle ve XR2 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R2 matrisiyle gösterilsin. Böylece, AX=b sistemi: İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları XB B R1 R2 XR1 = b XR2 eşitliğine bağlı olarak, BXB + R1XR1 + R2XR2=b……………(1) olarak yazılır. İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları Benzer şekilde, x0-CX=0 eşitliği de, x0 – CBXB – CR1XR1 – CR2XR2 = 0…………(2) şekline dönüşür. (1) soldan B-1 ile çarpılıp, XB için çözülürse, XB = B-1b – B-1R1XR1 – B-1R2XR2………….(3) bulunur. İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları Eğer XR1 ler alt sınır ve XR2 ler üst sınır değer iken, (3) nolu denklemden bulunan değerler, ilgili değişkenlerin alt ve üst sınırları arasında kalıyorsa, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunmuştur. XB nin bu değeri (2) de yerine konursa, x0 + (CBB-1R1 – CR1)XR1 + (CBB-1R2 – CR2)XR2 = CBB-1b elde edilir. İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları …(4) şeklinde bulunur. Buradan, amaç fonksiyonu x0 ın temel değişkenlerle, alt ve üstsınır değerini almış değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesi, …(4) şeklinde bulunur. İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları XB temel değişkenler iken, karşı gelen çözüm genişletilmiş bir temel uygun çözüm olsun. Bu durumda, (4) nolu eşitlikten, Enb x0 araştırılıyorken, Zj-Cj≥0 , jЄJ1 ve Zj-Cj≤0, jЄJ2 sağlanıyorsa; İ.Kara,2007

En İyilik Koşulları Enk x0 araştırılıyorken, Zj-Cj≤0 jЄJ1 ve sağlanıyorsa en iyi çözüme erişildiği görülür. İ.Kara,2007

Temele Girecek ve Çıkacak Değişken En iyi çözüme ulaşılamadığı zaman, öncelikle temele girecek değişken bulunmalıdır. Enb x0 araştırılıyorsa; Enb{(enb|Zj-Cj|,jЄJ1) ; (enb{Zj-Cj},jЄJ2)} ilişkisine, Enk x0 araştırılıyorsa; Enb{(enb{Zj-Cj},jЄJ1) ; (enb|Zj-Cj|,jЄJ2)} ilişkisine karşı gelen değişken işleme girecektir. İ.Kara,2007

Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Böylece, ya alt sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona alt sınır üstünde değer verilecek, ya da üst sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona üst sınır altında değer verilecektir. O halde, temelden çıkacak değişkenin belirlenmesi için yapılacak işlemler, temele alınabilir değişkenin daha önce alt sınır değerli veya üst sınır değerli oluşuna göre belirlenmelidir. İ.Kara,2007

Temele Girecek ve Çıkacak Değişken Temele alınabilecek değişkende oluşacak farklılaşma (artış veya azalış) ∆K’nın değeri araştırılırken, uygunluk koşullarının korunabilmesi için bundan etkilenecek olan değişkenlerin, Alt sınırın altına inmemesi, Üst sınırın üstüne çıkmaması sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında xk alt sınır değerli bir değişken iken temele alınabilecek değişken olsun. xk nın alt sınırından itibaren artmaya başlamasıyla birlikte, izleyen genişletilmiş temel uygun çözümde, xk, ya üst sınır değerini alarak yine temel dışında kalacak, ya da üst sınır değerinin altında bir değer alacaktır. Bu arada temeldeki değişkenler kendi alt ve üst sınırları arasında değer alırken, xk artarken alt sınıra veya üst sınıra gelen bir değişken, temelden çıkabilecektir. İ.Kara,2007

Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında O halde, ∆K, xk da yapılabilir artış, xs temeldeki değişkenlerin sayısal değerleri ve ysk ,xk sütununda s inci temel değişkene karşı gelen değer olmak üzere, ∆K’nın alabileceği değer için, İ.Kara,2007

Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında xs + ysk∆k = xs , s ve s≤xs≤s , s ilişkileri göz önüne alınacaktır. Temeldeki değişkenler alt sınır değerlerinin altına inmeyeceklerinden, xs = xs - ysk∆k ≥ s , s olmalıdır. İ.Kara,2007

Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında ysk≤0 ise, ∆k ≥ 0 için, daima xs ≥ s olacağından, ∆k   olabilir. Eğer ysk>0 ise, ∆k > 0 için xs azalmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse, ∆k ≤ (xs-αs)/(ysk), s ysk>0 elde edilir. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları O halde, temeldeki değişkenlerin alt sınır değerlerinin altına düşmemeleri için, sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları Temeldeki değişkenler üst sınır değerlerini geçemeyeceklerinden, xs = xs - ysk∆k ≤ βs , s olmalıdır. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları ysk>0 ise, ∆k > 0 için daima xs≤ βs olacağından, ∆k istenildiği kadar büyütülebilir. Eğer ysk<0 ise, ∆k > 0 için xs artmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse, ∆k ≤ (βs- xs)/(-ysk), s ysk<0 elde edilir. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları olmalıdır. O halde, temeldeki değişkenlerin üst sınır değerlerini aşmamaları için, olmalıdır. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları xk nın alabileceği değer kendi sınırları içinde olacağından, ∆k ≤ βk - k sağlanmalıdır. İ.Kara,2007

Uygunluk Koşulları Yukarıdaki eşitsizlikler birlikte ele alınması gerektiğinden, xk da yapılabilir artış olan ∆k ∆k = enk{1, 2, βk - k} olarak bulunur. İ.Kara,2007

Temelden Çıkacak Değişken ∆k = 1 ise, karşı gelen değişken alt sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆k = 2 ise, karşı gelen değişken üst sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur. ∆k = βs - k ise, xk üst sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆k   ise modelin sınırsız çözümü var demektir. İ.Kara,2007

Temele Girebilecek Değişken Üst Sınırında xk, üst sınır değerinde iken temele alınabilecek bir değişken olsun. xk üst sınırından itibaren azalmaya başladığından, yeni genişletilmiş temel uygun çözüm elde edecek şekilde xk’nın ne kadar azaltılabileceği tespit edilmelidir. O halde, İ.Kara,2007

Uygunlu Koşulları xs + ∆kxk = xs, s ve s≤xs≤s ilişkileri göz önüne alınarak, bir önceki durumdakine benzer işlemlerle, ∆k, xk da meydana gelecek azalma olmak üzere; İ.Kara,2007

Uygunlu Koşulları ∆k ≤ βk - k eşitsizlikleri sağlanmalıdır ki, buradan ∆k = enk{1, 2, βk - k} bulunur. İ.Kara,2007

Uygunlu Koşulları ∆k = 1 veya 2 ise, karşı gelen değişken temelden çıkar, xk temele girer ve izleyen genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. ∆k = βk - k ise, xk alt sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır. ∆k   ise sınırsız çözüm olup, durulur. İ.Kara,2007

Yeni Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm xk temele girebilecek değişken iken, üst sınırına erişecek veya alt sınırına inerek yine temel dışında kalıyorsa; x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k xs = xs – ysk ∆k , s eşitliklerinden, tablonun STS sütununun yeni değerleri hesaplanarak, en iyilik sınamasına geçilir. İ.Kara,2007

İzleyen Çözüm xk temele girebilecek değişken iken ∆k = 1 veya 2 değerini aldığında, karşı gelen xr temelden çıkacaktır. Bu durumda tablonun STS sütunu dışındaki kısımları anahtar elemana göre satır işlemlerine tabi tutulur. STS sütununun yeni değerleri, x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k xs = xs – ysk ∆k , s işlemleriyle bulunur. İ.Kara,2007

İzleyen Çözüm Temelden çıkan xr değişkeninin yeni değeri ya alt sınırı ya da üst sınırıdır. Temele giren xk ‘nın aldığı değer ise, xk = k + ∆k , (alt sınırla girmişse) veya xk = βk - ∆k , (üst sınırla girmişse) olur. İ.Kara,2007

Örnek 2 Karar modeli, x1 + 2x2 + x3 ≤ 10 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 enb x0 = 3x1 + 2x2 + x3 şeklinde verilsin. İ.Kara,2007

Örnek 2 x1, x2, x3 alt sınır değerleriyle temel dışı değişkenler; x4 ve x5 (aylak değişkenler) temel değişkenler olmak üzere modelin başlangıç Simpleks tablosu aşağıdaki gibi bulunur. İ.Kara,2007

Örnek 2 β, α, x0 3 1 x1 2 x2 x3 x4 x5 STS -3 -2 -1 7 5 11 İ.Kara,2007

Örnek 2 Tablonun STS sütununda x0 ın değerinin x0 = CBB-1b – Σ(Zj - Cj)xj eşitliğine bağlı olarak, x0=0-(-3*1-2*2-1*0)=7 şeklinde hesaplandığına ve temel değişkenlerin değerlerinin de , xj lerin almış oldukları değerler göz önüne alınarak, xs = B-1b – Σysjxj eşitliğiyle hesaplandığına dikkat edilmelidir. İ.Kara,2007

Örnek 2 Modelde enb x0 istendiğinden ve temel dışı değişkenlerin tamamı alt sınır değerinde iken, tüm j’ler için Zj-Cj≥0 olmadığından en iyi çözüme erişilmemiştir. enk{Zj-Cj}=-3 olup, x1 temele girebilecek alt sınır değerli değişken olur. İ.Kara,2007

Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, x1 sütununda tüm ysk>0 olduğundan, 1=enk{(5-1)/1,(11-1)/2}=4 olarak bulunur. İ.Kara,2007

Örnek 2 eşitliğine bağlı olarak, tüm ysi>0 olduğundan, 2 olur. x1 in üst sınırı 3 olduğuna göre, x1 deki artış, ∆1 =enk{1, 2, β1-α1}=enk{4, , 3-1}=2 olup, x1 üst sınırı değerini alacak demektir. İ.Kara,2007

Örnek 2 Tablonun STS sütunundaki x0 ın yeni değeri, x0 = x0 – (Zj-Cj)∆1 eşitliğinden x0 = 7-(-3)*2 = 13 olur. Temeldeki değişkenlerin yeni değerleri ise, xs = xs – ysk*∆1, s eşitliğinden hareketle, x4 = 5-1*2 = 3 ve x5 = 11-2*2 = 7 olarak bulunur. İ.Kara,2007

Örnek 2 Eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen tablo aşağıda verilmiştir. β, α, x0 3 1 x1 2 x2 x3 x4 x5 STS -3 -2 -1 13 7 İ.Kara,2007

Örnek 2 Tabloda üst sınır değerli tek değişken olup, buna karşı gelen Z1-C1=-3<0 olduğundan temele girmesi istenmez. x2 ve x3 alt sınır değerli temeldışı değişkenler olup, her ikisi de temele girebilir. O halde, enk{Z2-C2, Z3-C3}=-2 olup, x2 temele girebilecek değişkendir. İ.Kara,2007

Örnek 2 Tüm ys2>0 olduğundan, 1=enk{(3-0)/2,(7-0)/1}=3/2 ve 2 olarak bulunur. İ.Kara,2007

Örnek 2 β2 olduğu da göz önüne alınarak, x2 de yapılabilir artış, ∆2 = enk{3/2, , -2} = 3/2 olur ki; x2, alt sınır değerinden 3/2 birim artırılarak temele girecek, x4 temelden çıkacaktır. İ.Kara,2007

Örnek 2 Tablonun STS sütunundaki x0 değeri, x0 = x0 – (Z2-C2)∆2 eşitliğine bağlı olarak, x0 = 13 – (-2)*3/2=16 olur. Temel değişkenlerin değerleri ise, x2 = α2 + ∆2 = 2 + 3/2 = 7/2 ve xs = xs – y22∆2 = 7 – 1*3/2 =11/2 olur. İ.Kara,2007

Örnek 2 Temelden çıkan x4 değişkeni x4 = x4 - 2∆2 eşitliğine bağlı olarak, x4 = 3 – 2*3/2 = 0 değerini alıp, alt sınırıyla temel dışı kalır. İ.Kara,2007

Örnek 2 Tabloda, STS hariç uygun satır işlemleri yapılırsa, eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen simpleks tablo aşağıdaki gibi bulunur. β, α 3 x0 x1 x2 x3 x4 x5 STS 1 -2 16 1/2 7/2 3/2 5/2 -1/2 11/2 İ.Kara,2007

Örnek 2 Bu tabloda x1 üst sınırında iken Z1-C1=-2<0 olup, x1 in temele girmesi istenmez. Alt sınır değerini almış olan x3 ve x4 için Zj-Cj≥0 olduğundan, bunların da temele girmesi söz konusu değildir. O halde en iyi çözüme erişilmiş olup durulur. Verilen modelin en iyi çözümü, x1=3, x2=7/2 olup enb x0 =16 dır. İ.Kara,2007

Yapay Değişken Verilen modele, kolaylıkla genişletilmiş bir temel uygun çözüm bulunamaz ise, değişkenlerin alt sınır değerleri göz önüne alınarak, modele yeterince yapay değişken eklentisiyle, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. Daha sonra, iki evreli veya Büyük-M yöntemi uygulanarak, işlemlere devam edilir. İ.Kara,2007