Ek 2A Diferansiyel Hesaplama Teknikleri Bir karar değişkenli fonksiyon olan X şu şekilde yazılabilir: Y = f(X) Y’nin marjinal değeri (X’teki küçük değişimler) ise My = DY/DX olarak yazılır. X’teki çok küçük değişimler için türev denklemi aşağıdaki gibidir: dY/dX = limit DY/DX DX  ∞

Marjinal = Eğim = Türev C-D doğrusunun eğimi DY/DX C noktasındaki marjinallik My is DY/DX C noktasındaki eğim, (DY)’nin (DX)’e oranıdır. C noktasındaki türev aynı zamanda da noktadaki eğimdir. DY DX C X

Optimum en yüksek veya en düşük olabilir ! Bir uçağın maksimum uçuş aralığının hesaplanması bir optimizasyon problemi örneğidir. Kalkülüs kuralına göre birinci türev sıfır olduğunda optimum sonucu bulmuş oluruz. Orijinal “Uçak Korsanı” çalışması gösterdi ki tartışmalı uçan V-Kanat tasarımı korsanın uçuş aralığını optimize ediyor, ancak orijinal araştırmacılar aslında gerçek çözümün uçuş aralığını minimize ettiğini bulma konusunda başarısız oldular. Yöneticilerin karar verirken minimum değil, maksimumu bulma amacı kritiktir (Kâr potansiyeli !)

Bazı Türev ve Örnekleri İsim Fonksiyon Türev Örnek Sabit Y = c dY/dX = 0 Y = 5 Fonksiyonlar dY/dX = 0 Doğru Y = c•X dY/dX = c Y = 5•X dY/dX = 5 Kuvvet Y = cXb dY/dX = b•c•X b-1 Y = 5•X2 Fonksiyonları dY/dX = 10•X 7

örnek Y = (5•X)(5•X2 ) dY/dX = (dH/dX)G + (dG/dX)H Fonksiyonların Y = G(X) + H(X) dY/dX = dG/dX +dH/dX Toplamı örnek Y = 5•X + 5•X2 dY/dX = 5 + 10•X İkili Fonksiyon Y = G(X)•H(X) dY/dX = (dH/dX)G + (dG/dX)H örnek Y = (5•X)(5•X2 ) dY/dX = (10•X)(5•X) + 5(5•X2 ) = 75•X2 8

İki Fonksiyonun Y = G(X) / H(X) Bölümü dY/dX = (dG/dX)•H - (dH/dX)•G H2 Y = (5•X) / (5•X2) dY/dX = 5(5•X2) – (10•X)(5•X) (5•X2)2 = -25X2 / 25•X4 = – X-2 Zincir Kuralı Y = G [ H(X) ] dY/dX = (dG/dH)•(dH/dX) Y = (5 + 5•X)2 dY/dX = 2(5 + 5•X)1(5) = 50 + 50•X 9

Yönetim Ekonomisinde Kalkülüs Uygulamaları Maksimizasyon Problemi: Bir kâr fonksiyonu zirveye yükselen ve daha sonra daha fazla ürün olduğunda bile düşüş gösteren bir ‘yay’ gibi görünebilir. Bir firma çok düşük fiyatlarla büyük miktarlarda ürün satabilir, ancak kârlar düşük veya negatif olarak gözlemlenebilir. Maksimum noktasında, kâr fonksiyonunun eğimi sıfırdır. Bir maksimum noktası için birinci dereceden koşul (B.D.K.) türevin o noktada sıfıra eşit olmasıdır. Eğer  = 50·Q – Q2 ise, o zaman d/dQ = 50 – 2·Q (Diferansiyel kuralını kullandığımızda). Bu yüzden, Q = 25 olduğu zaman kâr maksimize olur (50 – 2·Q = 0). 10

Diğer Kalkülüs Uygulamaları Minimizasyon Problemi: Maliyet minizasyonu, üretmek için en az bir maliyet noktasının olması gerektiğini varsayar. Ortalama bir maliyet eğrisi “U” şeklinde olabilir. En az olan maliyet noktasında, maliyet fonksiyonunun eğimi sıfırdır. Bir minimum noktası için birinci dereceden koşul (B.D.K.) türevin o noktada sıfıra eşit olmasıdır. Eğer C = 5·Q2 - 60·Q ise, o zaman dC/dQ = 10·Q – 60. Bu yüzden, Q = 6 olduğu zaman kâr maksimize olur (10•Q – 60 = 0). 11

Diğer Örnekler Max = 100•Q - Q2 Max= 50 + 5•X2 Rekabetçi Firma: Kârı Maksimize Etme  = TR - TC = P•Q – TC(Q) Birinci dereceden koşul kullanımı d/dQ = P - dTC/dQ = 0. Karar Kuralı: P = MC. TC bir Q fonksiyonu. Problem 1 Problem 2 Max = 100•Q - Q2 100 -2•Q = 0 Q = 50 and  = 2,500 Max= 50 + 5•X2 So, 10•X = 0 Q = 0 and= 50 12

İkinci Türevler ve İkinci Dereceden Koşul: Tek Değişken Eğer ikinci türev negatif ise, o zaman maksimum Eğer ikinci türev pozitif ise, o zaman minimum Max = 100•Q - Q2 100 -2•Q = 0 İkinci türevi: -2 Q =50 -- MAX Problem 1 Problem 2 Max= 50 + 5•X2 10•X = 0 İkinci türevi: 10 Q = 0 -- MIN 13

Kısmi Türev Ekonomik ilişkiler genellikle birkaç bağımsız değişken içerir. Kısmi türev kontrollü bir deneye benzer – “diğer” değişkenleri sabit tutarak. Ekonomideki harcanabilir gelirin sabit ve fiyatların arttığını varsaydığımızda {Q = f (P, I ) fonksiyonunda}, o zaman Q/P geliri sabit tutar. 14

Problem: Satışlar, gazete ve dergilere verilen reklam fonksiyonu olsun. (N, M) Max S = 200N + 100M -10N2 -20M2 +20NM Satışın N ve M’ye göre türevini alıp sıfıra eşitleriz. S/N = 200 – 20N + 20M= 0 S/M = 100 – 40M + 20N = 0 N & M ve Satış miktarını buluruz. 15

Çözüm: 2 Bilinmeyenli 2 Denklem 100 – 40M + 20N = 0 -20N ve +20N eklersek birbirlerini götürürler ve 300 – 20M = 0 denkleminden: M* =15 olarak buluruz. Yerine koyduğumuzda: 200 – 20N + 300 = 0, hence N* = 25 Satış miktarını bulmak için N* aşağıdaki denklemde yerine yazılır: S = 200N + 100M -10N2 -20M2 +20NM = 3,250 16