YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 6a) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

ODE ve PDE nedir Bir diferansiyel denklem(ODE), bir veya daha fazla bağımlı değişkenlerin türevlerini içeren bir denklemdir. Eğer denklemler dahil sadece bir bağımsız değişken varsa, bu tür türevler sıradan türevler olarak adlandırılır. Eğer bununla birlikte denklemin içerisinde birden fazla değişken varsa, bağımsız değişkenlerin her biri ile ilgili olarak kısmi türevler (PDE) kullanılır.

Doğrusal birinci dereceden diferansiyel denklemler(ODE) dy/dx = x + y y’ = x + y du/dx + u = 2 u’ + u = 2

Doğrusal olmayan birinci dereceden diferansiyel denklemler dy/dx = x + cos(y) y’ = x + cos(y) du/dt + u2 = 2 u’ + u2 = 2

Doğrusal ikinci dereceden diferansiyel denklemler d2y/dx2 – dy/dx = xy y’’= -2y + 0.1y’

Doğrusal olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemler d2y/dx2 – dy/dx = xy-y y’’= -2y + 0.1(y’)2

Homojen ODE’ler d2y/dx2 – dy/dx = xy-y y’’= -2y + 0.1(y’)2 Homojen ODE her terimde bağımlı değişken veya türevleri içeren bir denklemdir

Kısmi diferansiyel eşitlikleri 1. Dereceden Doğrusal PDE Yanda verilen fonksiyonda u = u( x, t) x ve t → bağımsız değişkenler Ф→ bağımlı değişkendir 2. Dereceden Doğrusal PDE x ve y→ bağımsız değişkenler

Euler metodu Biz genel olarak her birinci dereceden ODE'yi şöyle yazıyoruz.   y = f(x,y) (6.2.1) Burada f (x,y) fonksiyonu bilinmeyen bağımsız değişkene göre y’nin türevini gösterir. Türev fonksiyonun bir noktadaki eğimidir. Örneğin; y = -xy ; y(0) = 1; f(x,y) = -xy (6.2.2) Euler metodu eğimi kullanarak başlangıç bir xi,yi noktasını kullanarak bir sonraki xi+1, yi+1 noktasının değerini hesaplar. xi+1= xi +h ve h=∆x olarak verilmiştir.

h=0,25 aralığı ile Euler’in basit yönteminin kullanılmasıyla verilen türevin çözümü. Analitik çözüm: ODE’nin kesin çözümü izleyen değerlerin dağılımı yöntemini ile çözülebilir. Her iki tarafın integrasyonu Her iki tarafın exponansiyelinin alınmasıyla ea+b= ea. eb şunu elde ederiz x=0, y=1 ve böylece c=1 koordinasyonu kullanılarak integrasyonun sabiti belirlenir. Kesin sonuç

MATLAB (Euler)

Grafik (Euler)

Bölüm 6a Sonu

Referanslar Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001