 Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 10 : Simpleks Yöntemine Giriş  Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

 Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri Bundan önceki dersimizin son kısmında üretim planlaması probleminin kısıtlamalarını veren eşitsizliklere aylak değişkenler katarak bir denklem sistemi elde etmiş ve bu denklem sistemi ile bağlantılı olarak temel değişken, temel olmayan değişken, temel çözüm ve uygun temel çözüm kavramlarını tanımlamıştık. Ayrıca, problemin uygun çözüm alanının köşe noktaları ile aylak değişkenler katıla-rak elde edilen denklem sisteminin uygun temel çözümleri arasında bire-bir eşleme olduğunu ve en iyi çözümün uygun temel çözümler arasında ortaya çıktığını görmüş-tük. Bu dersimizde, yine üretim planlaması problemi üzerinde tartışmalarımızı sürdüreceğiz ve üretim planlaması probleminin de içinde bulunduğu “ Kısıtlamalı Maksimizasyon Problemleri” denilen problemlerin çözümünde, değişken sayısı ne olursa olsun, uygulanabilen simpleks yöntemini göreceğiz. Bir doğrusal programlama probleminin problem kısıtlarının tümü  olarak verilmiş ve amaç fonksiyonunun maksimum değeri isteniyor ise, bu probleme  kısıtlamalı maksimizasyon problemi denir.  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde problem kısıtlarını veren eşitsizlik-lerin hiç birinin sağ taraf sabiti negatif değilse, o probleme standart biçimde  kısıt-lamalı maksimizasyon problemi denir.

K = c1x1 + c2x2+ . . . + cnxn fonksiyonunu Simpleks yöntemi, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemlerine uygu-lanabilir. Böyle bir problemin görünümü aşağıdaki gibidir: K = c1x1 + c2x2+ . . . + cnxn fonksiyonunu . . . ai1x1 + ai2xi2 + . . . + ainxn  bi , 1  i  m , bi  0 x1 , x2 , . . . , xn  0 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Amaç Fonksiyonu Problem Kısıtlamaları bi  0 Negatif Olmama Kısıtlamaları

Üretim Planlaması probleminin matematiksel modeli fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Karar Değişkenleri Aylak Değişkenler Daha önceki tartışmalarımızdan hatırlayacağımız üzere, bu denklem sisteminin uygun temel çözümleri, x1, x2, s1, s2  0 olan temel çözümlerdir.

Başlangıç Öncesi Sistem Başka bir deyimle, üretim planlaması probleminin çözümünde , aşağıdaki sistemin uygun temel çözümlerine bakıyoruz: Başlangıç Öncesi Sistem Bundan böyle bu şisteme başlangıç öncesi sistem diyeceğiz. Amaç fonksiyonunu -120x1 - 70x2 + K = 0 biçiminde yazarak yukarıdaki sisteme eklersek Başlangıç Sistemi sistemi elde edilir. Bu sisteme başlangıç sisitemi diyoruz. Her doğrusal denklem sisteminde olduğu gibi başlangıç sisteminde de temel ve temel olmayan değişkenler seçilerek temel çözümler belirlenebilir. Burada temel değişken seçiminde önemli bir kısıtlama getirilecek: Temel değişkenler-den biri daima K olacak.

Başlangıç Öncesi Sistem Başlangıç Sistemi Başlangıç sistemindeki doğrusal denklem sisteminde 5 tane değişken ve 3 tane denk-lem bulunduğuna dikkat ediniz. Başlangıç sisteminin, temel değişkenlerden biri K olmak üzere elde edilen bir temel çözümünde x1 , x2 , s1 , s2 den hiçbiri negatif değilse, o temel çözüme başlangıç siste-minin bir K-uygun temel çözümü denir. Bundan böyle, başlangıç sisteminde amaç fonksiyonundaki K değişkeni, daima temel değişken olarak seçilecek, asla temel olmayan değişken olarak seçilmeyecektir. Böyle bir seçim sonucu, başlangıç sisteminin bir temel çözümünde K yok sayılırsa, baş-langıç öncesi sisteminin bir temel çözümü elde edilir. Böyle bir temel çözümün K- uygun olması için gerek ve yeter koşul, bu çözümde K yok sayılınca başlangıç öncesi sistemin bir uygun temel çözümünün elde edilmesidir. Başlangıç sisteminin bir uygun temel çözümünde negatif değer varsa, bu sadece K de-ğişkeninin bir değeri olabilir.

Başlangıç Sistemi Teorem. Standart biçimde,  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde amaç fonksiyonunun en iyi değeri varsa, bu en iyi değer, başlangıç sisteminin K-uygun temel çözümlerinde ortaya çıkar. Standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde aylak değişkenler ve K temel değişkenler (karar değişkenleri temel olmayan değişkenler) olarak alındığında elde edilen çözüm K-uygun temel çözüm olur. Eğer problem standart biçimde değilse, bu çözüm K-uygun temel çözüm olmaz. Standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon probleminde aylak değişkenler ve K temel değişkenler olarak alındığında elde edilen K-uygun temel çözüme başlangıç uygun temel çözümü denir. Üretim planlaması probleminin başlangıç uygun temel çözümü dır.

Simpleks yöntemi ile standart biçimde  kısıtlamalı bir maksimizasyon problemini çözmek için başlangıç uygun temel çözümü ile başlanır ve K-uygun temel çözümler taranarak en iyi çözümü veren K-uygun temel çözüme ulaşılmaya çalışılır. Bunun nasıl gerçekleştirildiğini, bir K-uygun temel çözümden en iyi çözümü vermeye daha yakın olan bir K-uygun temel çözüme nasıl geçildiğini aşağıda göreceğiz. Üretim Planlaması probleminde bizim aldığımız başlangıç uygun temel çözümü hiç üretim yapılmaması, dolayısıyla, hiç kâr edilmemesine karşılık gelir. Şimdi s1, s2 temel değişkenlerinden birine x1, x2 temel olmayan değişkenlerinden biri ile rol değiştirterek, simpleks yöntemi sürdürülecek ve kârın iyileştirilmesi yolunda bir adım atılacak. s1, s2 den hangisi ve x1, x2 den hangisi seçilecek? x1, x2 değişkenleri arasında yapılan seçim, hangi değişken seçilmişse o değişkendeki birim artış K yı en çok büyültecek biçimde yapılır.

Üretim Planlaması probleminde, K = 120 x1 + 70 x2 olduğundan, x1 deki birim artış, K yi 120 birim, x2 deki birim artış, K yı 70 birim artıracağından, x1 yeni temel değişken olarak seçilir. Simpleks yönteminde bir temel değişkenin yerine alınan yeni temel değişkene giren değişken(entering variable) denir. Burada, giren değişkenin amaç fonksiyonunu belirleyen ifadede en büyük pozitif katsayıya sahip olan değişken olarak ortaya çıktığını görüyoruz. Şimdi s1, s2 den hangisi x1 yerine temel olmayan değişken olacak? K yı iyileştirmek için x1 i artırıyoruz; ancak, bu artış keyfi değildir. x1 i artırırken s1 ve s2 yi negatif yapmamalıyız. s1 ve s2 yi negatif yapmadan x1 i en çok ne kadar artırabiliriz? Bu sorunun yanıtı için başlangıç sisteminde x2 = 0 alınarak ifadelerinden x1 nin en çok 8 alınabileceği görülür ve bu değer s1 in sıfır değerine karşılık gelir. Dolayısıyla, s1 temel olmayan değişken yapılabilir.

Simpleks yönteminde giren değişkenin yerini aldığı eski temel değişkene çıkan değişken denir. Çıkan değişkeni pratik olarak belirlemek için başlangıç sisteminde her bir sağ taraf sabiti ait olduğu denklemdeki giren değişkenin katsayısı ile bölünerek bulunan değerlere bakılır; bu değerlerden en küçüğüne karşılık gelen denklemdeki aylak değişken (üretim planlaması probleminde s1 ) çıkan değişken olarak alınır. İleride göreceğimiz üzere, bu işlem yapılırken sadece giren değişkenin pozitif katsayıya sahip olduğu denklemlerin sağ taraf sabitleri dikkate alınır. Böylece, başlangıç sisteminde s2, x1 ve K temel değişken seçilerek sisteminin çözümü olan K-uygun temel çözümü elde edilir. K için daha iyi bir değer bulunmuş oldu. Acaba K nın değeri daha da iyileştirilebilir mi? Bu soruyu yanıtlamadan önce, buraya kadar yaptıklarımızı yeniden değerlendirelim:

Üretim planlaması probleminin başlangıç sistemi olan denklem sisteminde s1, s2 ve K değişkenlerinin temel değişken seçilmesiyle elde edilen uygun temel çözümü ile başladık. Burada, s1, s2 ve K nın temel değişken, x1, x2 nin temel olmayan değişken seçilmeleri, sistemde x1 = 0, x2 = 0 alınınca temel çözümün hemen okunabilmesi imkanını sağla-maktadır. Yukarıda anlatıldığı biçimde, temel ve temel olmayan değişkenlere rol değiştirterek yeni temel değişkenleri belirledikten sonra, başlangıç sistemini kendisine denk bir sisteme dönüştürerek karşılık gelen temel çözümü bu dönüştürülmüş sistemde temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazıldığı zaman hemen okunabilecek biçime getirebiliriz. Başka bir deyişle, bu sistemi yeni başlangıç sistemi olarak düşünebiliriz. Bu bağlamda, bir denklem sistemine denk sistem oluşturmanın en elverişli yolunun o denklem sisteminin ilaveli matrisi üzerinde satır işlemleri uygulamak olduğunu anım-sayalım.

Üretim planlaması probleminin başlangıç sistemi ve bu sistemin ilaveli matrisi dır. Bu matrise sonlu sayıda satır işlemi uygulanırsa elde edilen matris, başlangıç sistemine denk (yani, onunla aynı çözüm kümesine sahip) olan bir sistemin ilaveli matrisi olur. Yukarıdaki ilaveli matrisin düşey çizgiye kadar olan sütunları, sırasıyla, x1, x2, s1, s2 ve K ya karşılık gelmektedir. Dikkat edilirse, Başlangıç uygun temel çözümü için temel değişken olarak seçilmiş olan s1, s2 ve K dan her birine karşılık gelen sütunda sadece bir tane 1 bulunmakta olup diğer girdilerin tümü sıfırdır. Her bir temel değişkene karşılık gelen 1 girdisi farklı bir satırda bulunmaktadır.

Başlangıç Simpleks Tablosu Her bir değişkeni ait olduğu sütunun üstüne, her bir temel değişkeni sütunundaki 1 girdisinin bulunduğu satırın soluna yazarak ve son satırı da diğerlerinden bir kesik çizgi ile ayırarak aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz: Başlangıç Simpleks Tablosu Bu tabloya başlangıç simpleks tablosu diyeceğiz. Başlangıç simpleks tablosundaki ilk iki satır problem kısıtlarını, son satır da amaç fonksiyonunu tamamen belirlediğinden, başlangıç simpleks tablosu problemin başlangıç sisteminin değişik bir ifadesi olarak düşünülebilir. Başlangıç simpleks tablosunda aşağıdaki hususun gerçeklendiğine dikkat ediniz: Her temel değişkenin ait olduğu sütunda sadece bir sıfırdan farklı girdi vardır ve 1 e eşit olan bu girdi o temel değişkenin ait olduğu satırda bulunmaktadır.

Başlangıç Simpleks Tablosu Temel ve temel olmayan değişkenlere rol değiştirtme, yani giren ve çıkan değişkenleri belirleme sürecini başlangıç simpleks tablosu üzerinde yorumlayarak daha pratik hale getirebiliriz.

Giren değişken Çıkan değişken Başlangıç simpleks tablosunda kesik çizginin altında, yani son satırda ve düşey çizginin solundaki girdilerden en küçük negatif girdinin bulunduğu sütuna ait değişken giren değişkendir. Eğer sözü edilen girdiler arasında negatif olan yoksa, K nın başlangıç uygun temel çözümündeki değeri en iyi değerdir. Giren değişken belirlendikten sonra, giren değişkenin sütunundaki girdisi pozitif olan her bir satırın sağ taraf sabiti giren değişkenin sütunundaki o girdiye bölünür; böylece elde edilen sayılardan en küçüğünü veren satıra karşılık gelen temel değişken, çıkan değişkendir. Giren değişkenin sütununda, bir sağ taraf sabitinin karşısında pozitif olmayan girdi varsa, o girdi(ler) dikkate alınmaz. Eğer giren değişkenin sütununda kesik çizginin üzerinde hiç pozitif girdi yoksa, o takdirde problemin çözümü yoktur. Çünkü, bu durumda başlangıç sisteminin hiç K-uygun temel çözümü yoktur.

Giren değişkeni belirleyen sütuna anahtar sütun(pivot coulumn) denir. Anahtar girdi Anahtar sdtun Giren değişken Çıkan değişken Anahtar satır Giren değişkeni belirleyen sütuna anahtar sütun(pivot coulumn) denir. Çıkan değişkeni belirleyen satıra anahtar satır(pivot row) denir. Anahtar satırla anahtar sütunun ortak girdisine anahtar girdi (pivot entry) denir.

Başlangıç sistemine denk olan öyle bir sistem bulmak istiyoruz ki, bu sistemde yeni temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazıldığı zaman karşılık gelen temel çözüm hemen okunabilsin. Bunu, ilaveli matris ya da başlangıç simpleks tablosu üzerinde satır işlemleriyle, anahtar girdiyi 1 yapıp anahtar sütundaki diğer tüm girdileri sıfıra dönüştürmek suretiyle gerçekleştirebiliriz. Söz konusu satır işlemleri yapılırken sağ taraf sabitlerini negatif yapan satır işlemle-rinden kaçınmak gerekir. Anahtar girdiyi 1 yapmak için anahtar satır uygun bir sayı ile çarpılır, elde edilen satır uygun sayılarla çarpılıp diğer satırlara toplanmak suretiyle anahtar sütunda anahtar girdi dışındaki girdiler sıfıra dönüştürülürse, bu sağlanmış olur. Başlangıç simpleks tablosunda, yeni temel ve temel olmayan değişkenlere göre temel çözümü kolay okuyabilmek için yapılan satır işlemlerine anahtar işlemler denir.

Üretim planlaması probleminin başlangıç simpleks tablosunda yapılacak anahtar işlemler şunlardır: x1 0 1 -2 1 0 | 4 0 -10 60 0 1 |960 0 0 3/2 -1/2 0 | 6 x2 0 0 40 10 1 | 1000 Son satırdan, 40s1 + 10s2 + K = 1000 denklemi elde edilir ve buradan görüyoruz ki, K için bulunabilecek en iyi değer 1000 dür. Çünkü, s1 > 0 veya s2 > 0 için K < 1000 olur. Böylece en iyi çözüm, x1 = 6, x2 = 4, s1 = 0, s2 = 0, K = 1000 K-uygun temel çözümüne karşılık gelen çözümdür. Böylece üretim planlaması probleminde, 6 adet ceket ve 4 adet yelek üretilirse, maksimum kâr elde edileceği ve maksimum kârın 1000 TL olduğu görülür.

Geometrik Yorum: Üretim Planlaması Problemi için simpleks yönteminde karşılaştığımız uygun temel çözümler: x1 x2 s1 s2 K Köşe 0 0 16 36 0 (0,0) 8 0 0 4 960 (8,0) 6 4 0 0 1000 (6,4)

En iyi çözüm bulunmuştur. Simpleks Yönteminin özeti: Adım 1. Aylak değişkenleri katarak başlangıç sistemini ve ona karşılık gelen başlangıç simpleks tablosu yazılır. Adım 2. Son satırda hiç negatif değer var mı? DUR En iyi çözüm bulunmuştur. Hayır ise Evet ise Adım 3. Anahtar sütun seçilir. Adım 4. Anahtar sütunda çizgi üzerinde hiç pozitif değer var mı? Hayır ise DUR Çözüm yok. Evet ise Adım 5. Anahtar satır ve anahtar girdi seçilir; anahtar işlemler yapılır ve yeni başlangıç tablosu oluşturulur.

Örnek. K = 15x1 + 10x2 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. 1 0.5 0.5 0 0 | 7 0.5 2.5 -2.5 1 0 0.6 - 0.2 0 | 6 0 2.5 -- 0.5 1 0 | 5 2.5 0 1 -0.2 0.4 0 | 2 0 -2.5 7.5 0 1 | 105 0 0 7 0.4 1 | 110 Maksimum değer x1 = 6, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0 için K = 110 olur.

Örnek. K = 8x1 + 3 x2 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Anahtar sütunda çizgi üzerinde pozitif girdi yok. Çözüm yok.

Örnek. K = 10x1 -2x2 +4 x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Başlangıç sistemi ve başlangıç simpleks tablosu: Anahtar sütun, birinci sütun; anahtar satır, birinci satır ve anahtar girdi 1 dir. Anahtar işlemleri başlatalım ve simpleks yöntemini sürdürelim.

Son tabloda kesik çizginin altında ve düşey çizginin solunda negatif değer yoktur. O halde en iyi çözüme ulaşılmıştır. Yeni temel değişkenler x1 , x2 ve K olup karşılık gelen temel çözüm x1 = 15 , x2 = 5 , x3 = 0 , s1 = 0 , s2 = 0 , s3 = 0 , K = 140 dir. Amaç fonksiyonu K maksimum değerini x1 = 15 , x2 = 5 , x3 = 0 olunca alır ve maksimum değer K (15,5,0)= 140 dır.

Problem. Bir inşaat şirket A, B ve C tipi olmak üzere üç tip villa yaparak satışa sunmak istiyor. Bir A tipi villa için 0.5 dönüm arsa, 4 bin iş saati ve 60 bin TL sermaye; bir B tipi villa için 0.5 dönüm arsa, 3 bin iş saati ve 60 bin TL sermaye; bir C tipi villa için 1 dönüm arsa, 4 bin iş saati ve 80 bin TL sermaye gerekiyor. Şirket bu iş için 30 dönüm arsa, 180 bin iş saati ve 3200 bin TL ayırıyor. Her A tipi villa 20 bin, her B tipi villa 18 bin ve her C tipi villa 24 bin TL kâr bıraktığına göre şirket maksimum kâr için her tip villadan kaçar adet inşa etmelidir? Çözüm. Önce bir veri tablosu yapalım ve problemin matematiksel modelini kuralım. Arsa (m2) İş saati (bin saat) Sermaye (bin TL) Kâr A 0.5 4 60 20 B 3 18 C 1 80 24 Mevcut arsa 30 Mevcut iş satı 180 Mevcut sermaye 3200

Bu üç kısıta negatif olmama kısıtları da Arsa (m2) İş saatı (bin saat) Sermaye (bin TL) Kâr A 0.5 4 60 20 B 3 18 C 1 80 24 Mevcut arsa 30 Mevcut iş satı 180 Mevcut sermaye 3200 Şirketin x1 adet A tipi, x2 adet B tipi ve x3 adet C tipi villa inşa ettiğini kabul edelim (karar değişkenleri). Bu takdirde şirketin kârı K(x1, x2, x3) = 20x1 + 18x2 + 24x3 bin TL olur (Amaç fonksiyonu). Arsa, iş saati ve sermaye gereksinimleri ile bunların mevcut miktarlarından dolayı aşağıdaki kısıtlamalar ortaya çıkar. Arsa için: K(x1, x2, x3) = 20x1 + 18x2 + 24x3 fonksiyonunu Sermaye için: İş saati için: Bu üç kısıta negatif olmama kısıtları da eklenerek problemin matematiksel mo-deli yandaki gibi oluşturulur. kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Bu, standart biçimde  kısıtlamalı maksimizasyon problemidir. Problemin simpleks yöntemi ile çözümü izleyen slaytlarda yapılacaktır.

Başlangıç sistemi ve başlangıç simpleks tablosu: Bu tabloda kesik çizginin altında ve düşey çizginin solunda negatif değer yoktur. O halde en iyi çözüme ulaşılmıştır. Yeni temel eğişkenler x3, x2, x1 ve K olup karşılık gelen temel çözüm x1 = 20, x2 = 20, x3 = 10, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, K = 1000  dir. Amaç fonksiyonu K maksimum değerini x1 = 20, x2 = 20, x3 = 10 olunca alır ve mak-simum değer K (20,20,10)= 1000 dir.  Bu çözüme göre, şirketin maksimum kâr elde edebilmesi için 20 adet A tipi, 20 adet B tipi, ve 10 adet C tipi villa inşa etmesi gerekir. Bunu yaptığı takdirde, maksimum kâr 1000 bin TL yani, bir milyon TL olur. ■

Problem. Bir çiftçi 100 dönümlük çiftliğine üç çeşit tohum ekmek istiyor. A, B ve C türü tohumların dönüm başına maliyetleri, sırasıyla, 25 TL, 40 TL ve 50 TL dir. Çiftçi, tohumlar için en çok 3500 TL harcayabiliyor. A, B ve C türü tohumların ekimi, dönüm başına, sırasıyla, 8, 12 ve 14 iş saati gerektiriyor ve ekim için çiftçinin en çok 1050 iş saati var. Çiftçi, dönüm başına A ürününden 65 TL, B ürününden 100 TL ve C ürününden 120 TL kâr sağladığına göre, maksimum kâr için her bir tohum türünden kaç dönüm ekmelidir? A türü B türü C türü Ekilebilir Alan 100 Maliyet 25 40 50 3500 Zaman 8 12 14 1050 Kâr 65 100 120

A türü B türü C türü 100 Ekilebilir Alan Maliyet 25 40 50 3500 Zaman 8 12 14 1050 Kâr 65 120 A türü tohumun ekildiği alan x1 dönüm, B türü tohumun ekildiği alan x2 dönüm, C türü tohumun ekildiği alan x3 dönüm olsun. Kâr : K = 65x1 + 100x2 + 120x3 . Kısıtlamalar:

Matematiksel model: K = 65x1 + 100x2 + 120x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Maksimum kâr x1 = 50, x2 = 25, x3 = 25, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0 için K = 8750 TL olur. Bu demektir ki, maksimum kâr için 50 dönüm A türü, 25 dönüm B türü ve 25 dönüm C türü tohum ekilmelidir. Maksimum kâr 8750 TL olur. ■