Çatallanmalar (Bifurcations) Erciyes Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Enis GÜNAY egunay@erciyes.edu.tr em.erciyes.edu.tr/egunay
Bifurcations Bir önceki bölümde görmüş olduğumuz tek boyutlu sistemlerin akışı sistem parametrelerindeki oluşabilecek değişiklere duyarlıdır. Buna göre sistem parametrelerindeki değişimler ile sistemin sabit noktaları oluşturulup yok edilebilir ya da kararlılık durumları değişkenlikler gösterebilir. Dinamik sistemlerde sistemi oluşturan parametrelere bağımlı bu tür yapısal değişikliklere çatallanma (bifurcation) adı verilir. Bu bölümde öncelikle sabit noktalarda görülen çatallanmalar incelenecektir.
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması Saddle-Node dallanmaları sabit noktaların önce oluşturulup sonra da yok edildiği dallanma çeşitleridir. Parametrik değişim sonucu iki sabit nokta birbirlerine doğru hareketlenip çarpışırlar ve birbirlerini yok ederler.
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması Aşağıdaki gibi birinci dereceden bir sistemde r parametresinin pozitif, negatif ya da sıfır olması sistemin kararlılık noktaları üzerindeki etkisi şekildeki gibi olacaktır.
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması r parametresi negatif değerlerden sıfır değerine doğru yaklaştıkça iki sabit noktanın birbirlerine doğru hareketlendiği, r=0 için yarı-kararlı bir sabit noktanın elde edildiği, r>0 için ise sistemde artık sabit bir noktanın oluşmadığı görülmektedir.
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması noktasında saddle-node çatallanmasına sahiptir.
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanmasının Analitik Olarak Tanımlanması Bir f(x,r)’nin (x*,r*)’deki çatallanması Taylor açılımı kullanılarak, saddle-node çatallanması aşağıdaki dört özellik kullanılarak tanımlanabilir: Buna göre (x*,r*) için saddle-node çatallanmasının genelleştirilmiş hali:
Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanmasının Analitik Olarak Tanımlanması Örnek olarak Böylece yukarıdaki iki fonksiyon da bifurkasyon değeri r*=1’e yaklaştıklarında aynı davranışı göstermeliler. Bunu gösterebilmek için her iki sistemin Taylor açılımına bakmak gerekecektir.
Taylor Açılımları
Taylor Açılımları
Transcritical Bifurcations
Transcritical Bifurcations
Transcritical Bifurcations
Pitchfork Bifurcations-supercritical case
Pitchfork Bifurcations-supercritical case
Pitchfork Bifurcations-supercritical case
Pitchfork Bifurcations-supercritical case
Pitchfork Bifurcations-subcritical case
Pitchfork Bifurcations-subcritical case
Pitchfork Bifurcations-subcritical case
Pitchfork Bifurcations-subcritical case