Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 2 :Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Matrislerde Satır İşlemleri Önce iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri daha sonra da çok değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için kullanılabileceğini gördüğümüz yok etme yöntemi, aşağıdaki teoremde ifade edilen A, B, C işlemleri kullanılarak, çözülmek istenen doğrusal denklem sistemine denk ancak çözümü daha kolay bir takım denklem sistemleri zinciri elde edilerek adım adım çözüme ulaşılmasını sağlar. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri, uygulandığı bir denklem sistemini ona denk olan bir denklem sistemine dönüştürür: A. İki denklemin yerlerini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sayı ile çarpımını başka bir denkleme toplamak. A, B ve C işlemleri bir doğrusal denklem sistemine uygulandığında, o sistemin ilaveli matrisi üzerinde, sırasıyla, aşağıdaki satır işlemlerine karşılık gellirler: İki satırın yerini değiştirmek(A işlemine karşılık). Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak( B işlemine karşılık). Bir satırın bir sayı ile çarpımını başka bir satıra toplamak ( C işlemine karşılık). Tekrar anımsayalım ki bir satırı bir sabitle çarpmak, o satırın tüm girdilerini o sabitle çarpmak demektir. Bir satırı başka bir satıra toplamak, o satırın her girdisini diğer satı- rın karşılık gelen girdisine toplamak demektir.

Matrisler üzerinde tanımladığımız üç tür satır işlemi için gerektiğinde aşağıdaki gösterim- leri kullanacağız. İki satırın yerini değiştirmek. Si  Sj ( i-inci satır ile j-inci satırın yerini değiştir-mek) Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. sSiSi ( i-inci satırı s0 sabiti ile çarpmak) Bir satırın bir sayı ile çarpımını başka bir satıra toplamak. sSi+Sj Sj ( i-inci satı-rın s sayısı ile çarpımını j-inci satıra toplamak) Örnek. S1  S2 2S2  S2 2S1 +S3  S3

İlk dersimizde, basit bir örnek üzerinde, bir denklem sisteminin ilaveli matrisine herhangi bir satır işlemi uygulanınca elde edilen matrisin o sisteme denk olan bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi olduğunu gözlemlemiştik. Bu gözlemden, bir denklem sistemini çözmek için, o sistemin ilaveli matrisine uygun satır işlemleri uygulanarak, karşılık gelen denklem sisteminin çözüm kümesinin hemen belirlene-bileceği basit bir matris elde etmenin yararlı olacağı sonucunu çıkarmıştık. Basit sözcüğü ile ne söylenmek istendiğinin bu dersimizde açıklığa kavuşacağını belirterek ilk dersimizi bitirmiştik. Şimdi ilgili tanımı veriyoruz. Aşağıdaki dört koşulu sağlayan matrise indirgenmiş matris(reduced matrix) denir: 1. Tüm girdileri sıfır olan tüm satırlar, sıfırdan farklı girdisi bulunan satırlardan sonra gelir. 2. Her satırın soldan itibaren sıfırdan farklı ilk girdisi 1 dir. 3. Bir satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütundaki diğer girdilerin hepsi sıfırdır. 4. Bir satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütun, kendisinden önceki satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütunun sağındadır.

Örnekler. bir indirgenmiş matristir. indirgenmiş matris değildir. bir indirgenmiş matristir. indirgenmiş matris değildir.

Yukarıdaki indirgenmiş olmayan matris örneklerinden ilki üzerinde bazı satır işlemleri uygulanarak bir indirgenmiş matris elde edildiğini görmüştük: Bu örneklerden ikincisi için de aynı şey geçerlidir: Teorem. Her matris, sonlu sayıda satır işlemi ile, tek türlü belirli bir indirgenmiş matrise dönüştürüle-bilir

Teorem. Her matris, sonlu sayıda satır işlemi ile, tek türlü belirli bir indirgenmiş matrise dönüştürülebilir Bir matristen sonlu sayıda satır işlemi ile elde edilen tek türlü belirli indirgenmiş matrise o matrisin indirgenmiş biçimi denir. Birkaç örnek verelim: indirgenmiş indirgenmiş indirgenmiş indirgenmiş indirgenmiş

Gauss - Jordan Yok Etme Yöntemi Gauss - Jordan Yok Etme Yöntemi. İndirgenmiş matris kavramına denklem sistemlerinin çözümünü tartışırken vardığımızı unutmayınız. İndirgenmiş biçimde bir ilaveli matrise sahip olan bir denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek çok kolaydır. Örnek. Aşağıdaki tabloda, ilaveli matrisi indirgenmiş matris olan denklem sistemleri ve bunların çözüm kümeleri verilmiştir. Çözüm kümelerinin nasıl yazıldığı üzerinde düşününüz. Konu içinde ilerledikçe bu çözüm kümelerinin nasıl yazıldığını daha iyi anlayacaksınız. İlaveli Matris Sistem Çözüm Kümesi Ç={(3,2)} Ç={(3 , t) : tR} Ç={(-2+3t , 4+6t , t) : tR} Ç =  Diğer yandan, bir denklem sisteminin ilaveli matrisi indirgenmiş biçime getirilirken her adımda, karşılık gelen denklem sistemi başlangıçtaki denklem sistemine denk olan bir sistemin ilaveli matrisi elde edilir. Dolayısıyla, bir denklem sistemi, ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimine karşılık gelen denklem sistemine denktir, yani o sistemle aynı çözüm kümesine sahiptir. Böylece, bir doğrusal denklem sistemini çözmek için o sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimini bulmak önem kazanmaktadır. Denklem sistemlerini bu yolla çözmeye Gauss-Jordan yok etme yöntemi denir.

Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile bir doğrusal denklem sistemini çözerken sistemin ilaveli matrisini indirgenmiş biçime getirmek esastır. İlaveli matris indirgenmiş biçime getirildikten sonra, indirgenmiş biçime karşılık gelen doğrusal denklem sistemi yazılarak çözüm kümesi oradan belirlenebilir. . Doğrudan ilaveli matrisin indirgenmiş biçimine bakılarak söz konusu doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi hakkında bazı sonuçlar çıkarmak da mümkündür. Bu bağlamdaki sonuçlar için aşağıdaki tanım ifade kolaylığı sağlayacaktır. Eğer bir matrisin bir satırının tüm girdileri sıfır ise, o satıra bir sıfır satırı denir. En az bir girdisi sıfırdan farklı olan bir satıra sıfırdan farklı satır denir. Bu tanımlar, bundan sonrası için ifade kolaylığı sağlayacaktır. İndirgenmiş matris tanımındaki koşulları yeni deyimlerle aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:. 1. Tüm sıfır satırlar sıfırdan farklı satırlardan sonra gelir. 2. Her sıfırdan farklı satırın soldan itibaren sıfırdan farklı ilk girdisi 1 dir. 3. Sıfırdan farklı bir satırın soldan itibaren ilk sıfırdan farklı girdisinin bulunduğu sütundaki diğer tüm girdiler sıfırdır. 4. Bir satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütun, kendisinden önceki satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütunun sağındadır.

Gauss-Jordan yok etme yönteminde bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisi, indirgenmiş biçime getirilir ve aşağıdaki durumlara göre çözüm kümesi belirlenir. 1. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı varsa, sistemin çözümü yoktur. 2. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla ise, sistemin tek bir çözümü vardır. 3. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından en az iki fazla ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Eğer sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından r fazla ise, sistem için r -1 parametreye bağlı bir genel çözüm yazılabilir. Dikkat. İlaveli matristeki sütun sayısı, değişken sayısının bir fazlası; satır sayısı, denklem sayısıdır. Örnek. Eğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sistemin hiç çözümü yoktur, çünkü son satır (0 , 0 , 0 | 1) dir ve bu satıra karşılık gelen denklem 0 = 1 dir.

Gauss-Jordan yok etme yönteminde bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisi, indirgenmiş biçime getirilir ve aşağıdaki durumlara göre çözüm kümesi belirlenir. 1. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı varsa, sistemin çözümü yoktur. 2. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla ise, sistemin tek bir çözümü vardır. 3. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından en az iki fazla ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Eğer sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından r fazla ise, sistem için r -1 parametreye bağlı bir genel çözüm yazılabilir. Örnek. Eğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sistemin tek bir çözümü vardır, çünkü (0 , 0 , 0 | 1) biçiminde bir satır yoktur ve sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından bir fazladır. Bu matrise karşılık gelen sistem yazılırsa çözüm kümesinin ne olduğu görülür. Çözüm Kümesi: Ç = {(3 , 4 , 1)}.

Gauss-Jordan yok etme yönteminde bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisi, indirgenmiş biçime getirilir ve aşağıdaki durumlara göre çözüm kümesi belirlenir. 1. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı varsa, sistemin çözümü yoktur. 2. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla ise, sistemin tek bir çözümü vardır. 3. İndirgenmiş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından en az iki fazla ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Eğer sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından r fazla ise, sistem için r -1 parametreye bağlı bir genel çözüm yazılabilir. Bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimi teoremdeki üçüncü duruma uyuyorsa, çözüm kümesini belirlemek için bazı yeni terimler tanımlamak yararlı olacaktır. İlaveli matrisin son sütun hariç her sütununun bir değişkene karşılık geldiğini anımsayınız. İlaveli matrisin son sütundan önceki, diyelim j-inci sütundaki i-inci girdi, j-inci değişken xj nin i-inci denklemdeki katsayısıdır. İndirgenmiş ilaveli matriste (0 0 … 0 | 1) biçiminde bir satır yoksa, o matriste sıfırdan farklı her satırın (soldan itibaren) sıfırdan farklı ilk girdisinin bulunduğu sütuna karşılık gelen değişkene bağımlı değişken denir; hiçbir sıfırdan farklı satırın sıfırdan farklı ilk girdisini bulundurmayan bir sütuna karşılık gelen değişkene de bağımsız değişken denir.

(0 0 … 0 | 1) biçiminde bir satır bulundurmayan bir indirgenmiş ilaveli matriste, sıfırdan farklı her satırın sıfırdan farklı ilk girdisi son sütundan önceki bir sütunda buluna-cağından, sıfırdan farklı satır sayısı daima son sütun dışındaki sütunların sayısından, yani değişken sayısından küçük olamaz. Eğer sıfırdan farklı satır sayısı son sütun dışındaki sütunların sayısına eşit ise, o zaman tüm değişkenler bağımlı değişkendir ve sistemin tek çözümü vardır. Eğer sıfırdan farklı satır sayısı son sütun dışındaki sütunların sayısından küçük ise, bağımsız değişken(ler) vardır; sistemin çözüm kümesi bağımsız değişkenlerin sayısı kadar parametreye bağlı olarak ifade edilebilir. Bunun için indirgenmiş ilaveli matrise karşılık gelen denklem sisteminden her bir bağımlı değişken bağımsız değişkenler cinsinden ifade edilip bağımsız değişkenler için s, t, u gibi yeni simgeler(parametreler) atanarak çözüm kümesi belirlenir. Örnek. Eğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır, çünkü (0 , 0 , 0 | 1) biçiminde bir satır yoktur ve sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından iki fazladır. x1 ve x2 bağımlı değişkenler, x3 bağımsız değişkendir. x3=t yazalım. Ç = {(3-2t , 4+t , t) : t  ℝ}.

Örnek . denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ç = {(1 , 1 , 5)}.

Örnek . denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ç = {(2 , 0 , -1)}.

Örnek . denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ç = .

Örnek . denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ç = {(-3-t , 4+2t , t) : t  ℝ}.

Örnek . denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ç = {(7+2s+3t , -3-3s-2t , s , 2t , t) : s , t  ℝ}.

Bazı durumlarda katsayıları aynı fakat sağ taraf sabitleri farklı olan çok sayıda doğrusal denklem sistemini çözmemiz gerekebilir. Böyle durumlarda Gauss-Jordan yoketme yöntemi tüm sistemlere aynı anda uygulanabilir. Aşağıda bu duruma bir örnek veriyoruz: denklem sistemlerini aynı anda çözelim. Çözüm kümeleri, sırasıyla Ç = {(1 , 1 , 5)} , Ç = {(5 ,-3 , 4)} , Ç = {(3 , 1 , 11)} .

denklem sistemlerini aynı anda çözelim. İndirgenmiş biçimden ilk ve son sistemin çözümünün bulunmadığı, ikinci sistemin ise, bir parametreye bağlı çözüm kümesine sahip olduğu görülür. İkinci sistem için x1 ve x3 bağımlı değişkenler, x2 de bağımsız değişken olup çözüm kümesi şöyle elde edilir: Ç = {(1-t , t , 1) : t  ℝ}.

Problem(Eski Çin’den bir Problem) Problem(Eski Çin’den bir Problem). Bir çiftlikte üretilen pirinç üç farklı boyda torbalara doldurularak paketleniyor: küçük boy, orta boy ve büyük boy. 3 tane büyük boy torba, 2 tane küçük boy torba ve 1 tane orta boy torba birlikte tartılınca 40 kg; 2 tane büyük boy torba, 3 tane küçük boy torba ve 1 tane orta boy torba birlikte tartılınca 30 kg geliyor. Benzer şekilde, 1 tane büyük boy torba, 2 tane küçük boy torba ve 3 tane orta boy torba birlikte tartılınca 28 kg geliyor. Her tür torbada kaçar kg pirinç bulunduğunu belirleyiniz. Çözüm. 1 büyük boy torbada x kg , 1 küçük boy torbada y kg ve 1 orta boy torbada z kg pirinç bulunduğunu kabul edelim. Problemdeki koşulların aşağıdaki denklem sistemini vereceği açıktır. Bu sistemin ilaveli matrisi dir. Çözüm Kümesi : Ç = {(11 , 1 , 5)}. 1 büyük boy torbada 11 kg , 1 küçük boy torbada 1 kg ve 1 orta boy torbada 5 kg pirinç vardır.

Problem(2004 ÖSS Sorusu). Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü yaşları toplamı 72 dir. Aslı Hakan’ın bugünkü yaşına geldiğinde, Tolga’nın yaşı da Hakan’ın yaşının iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan’ın bugünkü yaşı kaçtır? Çözüm. Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü yaşları, sırasıyla, x1 , x2 , x3 olsun. Verilenlerden, x1 + x2 + x3 = 72; x3+(x2 – x1) = 2(x2 + (x2 – x1) ) olur. Böylece denklem sistemi elde edilir. Problemin çözümünü elde etmek için, ikinci denklem (-1) ile çarpılıp birinci denkleme toplanır ve 4x2 = 72, x2 = 18 elde edilir. Hakan’ın bugünkü yaşı 18 dir. Sistemin Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi ile çözümü aşağıda verilmiştir: Ç.K : Ç = {(54-t , 18 , t) : t  ℝ}. Aslı, Hakan ve Tolga’nın yaşlarının tamsayı olduğuna ve küçükten büyüğe sıralı verildiğine dikkat ediniz. Çözümden, Aslı ve Tolga’nın yaşlarının değişik değerler alabildiği; ancak Hakan’ın yaşının sadece 18 değerini aldığı görülüyor. Aslı’nın yaşı en az 1 ve en çok 17 olabileceğinden 54- t1, t  53 ve 54-t 17 , t  37 olmalıdır. Dolayısıyla, Ç.K : Ç = {(54-t , 18 , t) : 37  t  53}.

Aşağıdaki problemi birinci dersimizde Yoketme Yöntemi ile, ilaveli matris kullanmadan, çözmüştük. Şimdi aynı problemi Gaus - Jordan Yoketme Yöntemi ile çözeceğiz. Problem. 36 bin TL nin bir kısmı A-bank’a, bir kısmı B-bank’a ve geri kalan kısmı da C-bank’a yatırılıyor. A-bank ve B-bank’a yatırılan toplam miktar, C-bank’a yatırılan miktardan 6 bin TL fazla; A-bank ve C-bank’a yatırılan toplam miktar ise, B-bank’a yatırılan miktarın iki katından 3 bin TL eksiktir. Her bir bankaya kaç TL yatırılmıştır? Çözüm. A-bank’a yatırılan miktar x, B-bank’a yatırılan miktar y ve C-bank’a yatı- rılan miktar z bin TL olsun. Problemde verilenlerden denklemleri elde edilir. Dolayısıyla, problemimizin çözümü denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir. Çözümü izleyen sayfada verelim.

Sistemin ilaveli matrisi: Bu matrisin indirgenmiş biçimini bulalım: Böylece, çözüm kümesi, Ç = {(8, 13, 15)} dir. A-bank’a 8 bin TL, B-bank’a 13 bin TL, C-bank’a 15 bin TL yatırılmıştır.

ve sonundaki sayılar, o caddeye bir Problem. Büyük bir şehrin merkezinde dört adet tek-yön caddeden oluşan bir yol ağındaki trafik akışı, yandaki şekilde verilmiştir. Her bir caddenin ucunda ve sonundaki sayılar, o caddeye bir saatte giren ve çıkan araç sayısını göstermektedir. x1, x2, x3 ve x4 değiş- kenlerinden her biri, işaretlendikleri cadde boyunca ok yönündeki kavşağa doğru bir saatte giden araç sayısını göstermektedir. Düzgün bir trafik akışında, bir saat boyunca bir kavşağa giren araç sayısı, o kavşaktan çıkan araç sayısına eşit olur. 600 500 x4 400 800 700 x1 x3 900 Kuzey Cad. Güney Cad. Batı Cad. Doğu Cad. x2 a) Düzgün bir trafik akışında, her kavşağa giren ve o kavşaktan çıkan araç sayısını ifade eden bir doğrusal denklem yazınız. b) Önceki şıkta bulduğunuz doğrusal denklemlerden oluşan sistemi çözünüz. c) Doğu-Güney kavşağından Doğu Caddesi boyunca Doğu-Kuzey kavşağına saatte en çok kaç araç gidebilir? d) Trafik ışıkları, Doğu-Güney kavşağından Batı-Güney kavşağına saatte 200 araç gidecek şekilde ayarlanmışsa, her bir kavşaktan her bir yöne saatte kaç araç gittiğini belirleyiniz.

ki dört doğrusal denklem elde edilir: Çözüm. a) Doğu – Güney kavşağına giren araç sayısı 1000, o kavşaktan çıkan araç sayısı x1+ x4 tür. Her bir kavşak için giren ve çıkan araç sayıları eşitlenerek aşağıda- ki dört doğrusal denklem elde edilir: 600 500 x4 400 800 700 x1 x3 900 Kuzey Cad. Güney Cad. Batı Cad. Doğu Cad. x2 x1+ x4=1000, x1+ x2=1200, x2+ x3=1500, x3+ x4=1300. b) Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemi ve onun ilaveli matrisi aşağıdadır: İlaveli matrisin indirgenmiş biçimini bulalım:

İlaveli matrisin indirgenmiş biçimini bulalım: Görüldüğü gibi, x1, x2 ve x3 bağımlı değişkenler, x4 bağımsız değişkendir, karşılık gelen denklem sistemi ve çözüm kümesi aşağıdadır: Ç = {(1000-t, 200+t, 1300-t, t) : t  ℝ } 600 500 x4 400 800 700 x1 x3 900 Kuzey Cad. Güney Cad. Batı Cad. Doğu Cad. x2 c) Doğu-Güney kavşağından Doğu Caddesi boyunca Doğu-Kuzey kavşağına saatte en çok x1=1000 araç gidebilir. d) Genel çözümde t = 200 alınırsa, Doğu-Güney kavşağından Doğu Caddesi boyunca Doğu-Kuzey kavşağına saatte 800 araç, Doğu-Güney kavşağından Güney Caddesi boyunca Güney-Batı kavşağına saatte 200 araç gider. Kuzey-Batı kavşağından Batı Caddesi boyunca Güney-Batı kavşağına saatte 1100 araç, Doğu-Kuzey kavşağından Kuzey Caddesi boyunca Doğu-Kuzey kavşağına saatte 400 araç gider.