ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Doç. Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU
TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki tek bir eleman dahi işlemin dışında kalır ise elde edilen sonuç parametre olarak kabul edilemez. ÖRNEK İSTATİSTİĞİ (PARAMETRE TAHMİNLEYİCİSİ): Bir örneğin sayısal betimsel ölçüsüdür ve örnekteki gözlemlerden hesaplanır. Diğer bir deyişle bilinmeyen bir parametrenin sayısal değerini bulabilmek (tahminlemek) için kullanılır.
PARAMETRE VE ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER Anakütle ortalaması Anakütle Medyan M Anakütle Varyansı 2 Anakütle Standart sapması Anakütle Oranı P Örnek istatistiği Örnek ortalaması Örnek Medyanı m Örnek Varyansı s2 Örnek Standart sapması s Örnek Oranı p
Bir Populasyon Parametresi Hakkında En Geniş Bilgiyi Hangi Örnek İstatistiğinin İçerdiğine Nasıl Karar Verilecek? Örneğin anakütle ortalaması için Aritmetik ortalama Geometrik ortalama Harmonik ortalama Medyan vb. örnek istatistiklerinden hangisi tercih edilmelidir.
Örnek 1 a Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. E(x)= anakütle parametresini (anakütle ortalamasını) bulunuz. x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1/6 xP(x) 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Örnek 1b Ancak bu değerinin bir an için bilinmediği ve bunu tahmin etmek için populasyondan 3 örnek alındığını varsayılsın.
Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; x1=2, x2=2, x3=6 elde edilsin. ve m=2 hesaplanabilir. değeri değerine daha yakındır. SONUÇ:
Zar 3 kez daha atılsın ve örnek sonuçları; x1=3, x2=4, x3=6 elde edilsin. ve m=4 SONUÇ: m değeri değerine daha yakındır.
Örnek İçin Yorum 1. Örnekten hesaplanan örnek istatistikleri (tahminleyiciler) birer şans değişkenidir. 2. Ne örnek aritmetik ortalaması Ne de örnek medyanı (m) , populasyon ortalamasına daima daha yakındır denilemez. Sonuçların genellenebilmesi için örnek istatistiklerinin dağılışına gerek duyulmaktadır.
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
ÖRNEK İSTATİSTİKLERİNİN-TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
SAPMASIZLIK
ÖRNEK 3 Sapmasızlık Anakütle ortalaması için aritmetik ortalama sapmasız fakat medyan sapmalı bir tahminleyicidir. Sapmasız Sapmalı = m
MİNİMUM VARYANS
ÖRNEK: MİNİMUM VARYANS
ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ
ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ Ortalamanınörnekleme dağılışı Medyanın örnekleme dağılışı
Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür. ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK HACMİNİN BİR FONKSİYONUDUR Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür. Büyük örnek hacimli durum Küçük örnek hacimli durum
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK 3:
ÖRNEK :
ÖRNEK 3:
ÖRNEK :
ÖRNEK 3
ÖRNEK 3
ÖRNEK 3
BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ
BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
Şans Değişkenlerinin Standartlaştırılması Standart değişkenler genellikle z ile gösterilir. ortalaması sıfır, E(z)=0 Varyansı bir, V(Z)=1.
BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ Dağılışın tipinin belirlenmesi, (Normal, Üstel, Poisson vb.) Dağılımın parametrelerinin belirlenmesi
DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremine göre aritmetik ortalamanın dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir. Normal dağılımın parametreleri: Anakütle ortalaması Anakütle varyansı
Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama için Anakütle Ortalaması
Dağılımın Parametreleri: Aritmetik Ortalama için Anakütle Varyansı
Aritmetik Ortalamanın Standartlaştırılması
Normal olmayan dağılışlardan örnekleme Merkezi eğilim Yayılma Yerine koyarak örnekleme Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =30 X = 1.8
Normal dağılış gösteren bir anakütleden örnekleme Merkezi eğilim Yayılma Yerine konularak örnekleme Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =16 X = 2.5
Merkezi limit teoremi Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur. Örnek hacmi yeterince büyükse (n 30) ... Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur.
ÖRNEK 3 Telekom’da çalışan bir uzman, uzun zaman yaptığı gözlemlerden, telefon konuşma sürelerinin (x), = 8 dk. & = 2 dk. olan normal dağılış gösterdiğini belirlemiştir. 25 görüşme rasgele seçilirse, örnek ortalamasının 7.8 & 8.2 dakika arasında çıkması olasılığı nedir? © 1984-1994 T/Maker Co.
Standart Normal Dağılış Çözüm Örnekleme dağılışı Standart Normal Dağılış .3830 .1915 .1915
DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremine göre örnek oranının dağılımı eğer n örnek hacmi yeterince büyük ise yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir. Bunun temel sebebi örnek oranının, n adet denemede ortaya çıkan ortalama başarı sayısını temsil etmesidir. Normal dağılımın parametreleri: Anakütle ortalaması Anakütle varyansı
Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı için Anakütle Ortalaması
Dağılımın Parametreleri: Örnek oranı için Anakütle Varyansı
Örnek Oranının Standartlaştırılması
Örnek Hacminin Örnek Oranı Üzerindeki Etkisi
ÖRNEK 4
ÖRNEK 4
ÖRNEK 4
ÖRNEK 5
ÖRNEK 5
ÖRNEK 5
Ki-Kare Dağılışı = 2 2 = anakütle varyansı (n - 1) s 2 n = örnek miktarı s 2 = örnek varyansı 2 = anakütle varyansı df = serbestlik derecesi = n – 1=v 2 One place where students tend to make errors with this formula is switching the values for s and . Careful reading of the problem should eliminate this difficulty. page 343 of text
Ki-Kare Dağılışı
Ki-Kare Dağılışı
Ki-Kare Dağılışı
Ki-kare istatistiğinin dağılışının özellikleri ki-kare dağılışı simetrik değildir Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (normale yaklaşır) df = 10 Simetrik değil df = 20 Different degrees of freedom produce different chi-square distributions. x2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Tüm değerler sıfır veya pozitif
ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI
ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI
ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI
ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI