KARMAŞIK SAYILAR

TANIM: x2+1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(<0) x2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan karmaşık sayılar kümesini oluşturacağız. Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxR kümesini C ile gösterelim. C = {a + bi ; a,bR ve i2 = -1 } kümesine KARMAŞIK SAYILAR kümesi denir.

İ - SAYISININ KUVVETLERİ x2 +1 = 0 denkleminde x2 = -1 x = -1 olur. i = -1 alınırsa -5 = -1. 5 = i 5 -9 = 9. -1 = 3i i sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan i’nin kuvvetine yazılır.

KALAN SONUÇ ise 1 1 ise i 2 ise -1 3 ise -i i2 = i.i = (-1)(-1) = -1 i3 =i2.i = (-1)i = -i i4 = i2.i2 = (-1)(-1) = 1

ÖRNEKLER 1) i21 = ? 2) i543 = ? 3) P(x) = 4x41 - 3x38 + 7x55 - 5x24 ise P(i) = ? 4) P(x) = x3 + x - 1 olduğuna göre P(-4) = ?

KARMAŞIK SAYILARIN STANDART BİÇİMİ Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar kümesi adı verilir. C ile gösterilir. Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir. z = a+bi şeklinde gösterilir. Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı , b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir. z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

ÖRNEKLER ve Im(z) = 0 1) z = 5 ise z = 5 + 0i Re(z) = 5 2) z = 3i ise z = 0+3i Re(z) = 0 , Im(z) = 3 3) z = (-3-4i).(1+i) = 1-7i Re(z) = 1 , Im(z) = -7

KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve sanal kısımları kendi aralarında eşitse bu iki karmaşık sayı eşittir denir. z1 = a+bi ve z2 = c+di karmaşık sayıları için; z1 = z2  a = b ve c = d dir. ÖRNEKLER 1) z1 = 2x+3i+y ve z2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit olduğuna göre (x,y) sayıları nedir? 2) 3x+2y+(2x-y)i = 1-4i eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz. 3) 2i+5 = 3-2xi+ 20.i-y ise x ve y’yi bulunuz.

KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ - z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve z ile gösterilir. - z = a+bi ise z = a-bi ÖRNEKLER - 1) z = 3+4i ise z = 3-4i - 2) z = -2-i ise z = -2+i - 3) z = 4 ise z = 4 - 4) z =-2i ise z = 2i

KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER TOPLAMA-ÇIKARMA İki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır ve çıkarılır. z1= a+bi ve z2= c+di olsun. z1+z2 = (a+c)+(b+d)i z1- z2 = z1+(-z2) = (a-c)+(b-d)i ÖRNEKLER 1) z1 = 3-2i ve z2 = -4+5i ise z1 + z2 = ? 2) z1 = -2+6i ve z1+z = -4i ise z’nin eşiti nedir?

ÇARPMA Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin değeri bulunarak yerine konur. z1 = a+bi , z2 = c+di olmak üzere; z1.z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i ÖRNEKLER 1) z1 = 2+3i , z2 = 4-5i ise z1.z2 = ? 2) z = (2-7i) ise z2 sayısı nedir? 3) -5. -8. -10 = ? 4) (1+i)35 sayısını a+bi biçiminde yazınız.

5) Çözüm kümesi {2-5i , 2+5i} olan ikinci derece denklemi bulunuz? BÖLME İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda paydanın eşleniği ile çarpılır. z1 = a+bi ve z2 = c+di ise z1 z2 a+bi c+di c-di (a+ib)(c+id) c2+d2 = . = ÖRNEKLER 1) z1 = 4+3i , z2 =3+2i ise z1/z2 = ?

KARMAŞIK DÜZLEM Analitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal (imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık düzlem denir. Sanal (imajiner) eksen Reel eksen A = 2+3i A 3 2

BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ IzI = I x+yi I = (x2+y2) dir. Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olan uzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir. UYARI A=(x+yi) y O H x IzI 1. zC için IzI0 2. Iz1.z2I = Iz1I.Iz2I z1 Iz1| z2 |z2I = 3.

4. zn = z n 5. z = z = - z = - z 6. | 1/z| = 1 / |z| (z0) 7. | | z1| - | z2| |  | z1 + z2|  | z1| +| z2| ÖRNEKLER 1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlak değerini bulunuz. A) z = 2 + 3i B) z = - 5 i C) z= -3 2. ( -2 + 3i ) • ( 8 +6 i ) = ? 3. ( z1 = 5  3 -  6 i , z2 = 2  11 +  5 i , z3 = 1 +2 2 i ise z1 z2 z3 = ?

4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = - 1 + 2i ise z = ? 5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ; z - 2i = i.z + 1 ise Im (z) = ?

KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık; x1 x2 y2 y1 A z1=x1+y1i B z2=x2+y2i | z1-z2 | = |AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2

z1= 2-4i ve z2 = -4+4i sayıları arasındaki uzaklık; z1 = 2-4i sayısının görüntüsü M1(2,-4) z2 = -4+4i sayısının görüntüsü M2(-4,4) | z1 -z2 | = (2-(-4))2 + (-4-4)2 = 100 = 10 NOT z0C , z0=a+bi |z-z0|=r , rR , z=x+yi y b a x z0 z |z-z0|=r ise | (x+iy)-(a+bi) | = r (x-a)2+(y-b)2 = r ise (x-a)2+(y-b)2 = r2 dir.

1. | z-z0| = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a,b) ve yarıçapı r-olan çember denklemidir. 2.| z-z0| = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin iç bölgesidir. 3. |z-z0| = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir. ODAKLAYICI SORU: 1. {z| zC ve |z- (2+3i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 2. |z+1+i|  3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 4. |z+i|  2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.

5. z0 =3+4i ise A={z| zC ve |z- z0|=3} kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz 6. { z| zC ve |z+3i||z+6-5i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. 7. x,yR olduğuna göre z=x+yi dir. 1|z-1+i|2 ifadesini karmaşık düzlemde gösteriniz. TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ : a c b d z1 z2 z1=a+bi z2=c+di  z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1+z2 0,z1,z2 ve z1+z2 bir parelel kenarın köşeleridir.

ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ z1=a+bi nin görüntüsü A, a c b d z1 z2 -z2 z2=c+di nin görüntüsü B, -z2=-c-di dir. z1- z2=(a-c)+(b-d)i z1-z2 0,z1,-z2 ve z1- z2 bir parelel kenarın köşeleridir.

KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ z=x+yi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü M(x,y) ve |OM|=r=|z|=x2+y2 M z=x+yi |z|=r y OMA ‘de   . x x A x r Cos=  x=r.Cos , (x=|z|.Cos) y r Sin=  y=r.Sin , (y=|z|.Sin) z=x+yi z=rCos+r.i.Sin = r(Cos+i.Sin )= r.Cis z=r(Cos+i.Sin ) veya z=r[Cos(+2k)+i.Sin(+2k  )] ,

ARGÜMENT 0o2 olmak koşulu ile  açısına z’nin esas argümenti denir. ve Arg(z)= biçiminde yazılır. Arg( z )=Argz-1=2-Argz z=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurken z=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır. I. Bölgede ise Argz=   II. Bölgede ise Argz=-  III. Bölgede ise Argz= +  IV. Bölgede ise Argz= 2-

Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; 20o z x y 6 ÖRNEK: Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; r=|z|=6 ve =180o-20o=160o olduğundan, z=6(Cos160o+iSin160o) dır. ODAKLAYICI SORU: 1 2 3 z - = + i sayısının esas argümenti nedir ?  z= 22 - 22 i sayısının esas argümenti nedir ?  z=1- 3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız.  z -32 +36 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız. =  z -2i sayısını kutupsal biçimde yazınız. =   4 Arg(z+2)= eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini çiziniz. 