PARÇALANAB İ L İ R YÜKLÜ TOPLAMA VE DA Ğ ITMALI ARAÇ ROTALAMA PROBLEM İ Gizem Çavuşlar, Güvenç Şahin, Mustafa Şahin Sabancı Üniversitesi Dilek Tüzün Yeditepe Üniversitesi Temel Öncan Galatasaray Üniversitesi YAEM 2010, Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği 30. Ulusal Kongresi Sabancı Üniversitesi, İstanbul, Türkiye, 1 Temmuz 2010

Genel Bakış  Problem Tanımı  Problemin Özellikleri  Yazın Taraması  Tabu Arama Algoritması  Bilgisayısal Çalışmalar  Sonuçlar * Bu araştırma TÜB İ TAK tarafından desteklenmektedir.

Problem Tanımı  Toplamalı ve Da ğ ıtmalı Araç Rotalama Problemi ’ nde (TDARP):  n toplama ve da ğ ıtma (p-d) çifti ziyaret edilir  Toplama dü ğ ümü da ğ ıtma dü ğ ümünden önce ziyaret edilmelidir  Her p-d çiftine yanlızca bir araç tarafından hizmet verilir  Rota uzunlu ğ u ve araç kapasitesi sınırlıdır  Parçalanabilir Yüklü TDARP (PYTDARP)  Herhangi bir p-d çiftine birden çok araç tarafından ya da aynı araç ile birden çok kere hizmet verilebilir

Örnek PYTDARP TDARP ÇözümüPYTDARP Çözümü p 1 =10 p 2 =20 d 2 d 1 =10 p 5 =30 d 5 d 3 =20 p 3 d 4 =10 p p 1 =10 p 2 =20 d 2 d 1 =10 p 5 =30 d 5 d 3 =20 p 3 d 4 =10 p p 5 =20 d 5 =10 p 5 d 5 =20 p 1 =10 p 2 =20 d 2 d 1 =10 d 3 =20 p 3 d 4 =10 p p 5 =20 d 5 =10 p 5 d 5 =20 p 1 =10 p 2 =20 d 2 d 1 =10 d 3 =20 p 3 d 4 =10 p 4

PYTDARP Yazını  PYTDARP ilk olarak, M. Nowak, Ö. Ergun and C. C. White III, “Pickup and Delivery with Split Loads”, Transportation Science 42, (2008). tarafından yazına sunulmuştur.  Parçalanabilir yükün faydalarını inceleyen güncel bir çalışma:  M. Nowak, Ö. Ergun and C. C. White III, “An Empirical Study on the Benefit of Split Loads with the Pickup and Delivery Problem”, European Journal of Operational Research198, (2009).

PYTDARP Yazını  TDARP için önemli miktarda yazın bulunmaktadır:  J. F. Cordeau, G. Laporte, S. Ropke, “Recent Models and Algorithms for One-to-One Pickup and Delivery Problems”, in The Vehicle Routing Problem: Latest Advances and Challenges, B.L. Golden, S. Raghavan, E. Wasil (eds), Springer, New York, NY, USA,  S. N. Parragh, K. F. Doerner, R. F. Hartl, “A Survey on Pickup and Delivery Problems Part II: Transportation Between Pickup and Delivery Locations”, Journal für Betriebswirtschaft 58, (2008).  Ayrıca, Parçalanabilir Da ğ ıtımlı ARP (PDARP):  C. Archetti and M. G. Speranza, “The Split Delivery Vehicle Routing Problem: A Survey”, in The Vehicle Routing Problem: Latest Advances and Challenges, B.L. Golden, S. Raghavan, E. Wasil (eds), Springer, New York, NY, USA, 2008.

PYTDARP ’ nin Nitelikleri Nitelik 1: Toplamaların arasında da ğ ıtım bulunmaması  Herhangi bir eniyi PYTDARP çözümünde, i dü ğ ümünün iki toplaması, aralarında i dü ğ ümünün da ğ ıtımı olmadan bulunamaz. Dizi 1: Dizi 2: 1234pipi pipi q1q1 q2q pipi q 1 +q 2

PYTDARP ’ nin Nitelikleri Nitelik 2: Da ğ ıtımların arasında toplama bulunmaması  Herhangi bir eniyi PYTDARP çözümünde, i dü ğ ümünün iki da ğ ıtımı, aralarında i dü ğ ümünün toplaması olmadan bulunamaz. Dizi 1: Dizi 2: 1234didi didi -q 1 -q 2 -q 1 -q didi

PYTDARP ’ nin Nitelikleri Nitelik 3: Toplamaların arasında da ğ ıtım bulunması  Herhangi bir eniyi PYTDARP çözümünde, i dü ğ ümünün iki toplamasının arasında da ğ ıtım olması için araçta kalan kapasitenin her iki toplamada da istemin altında olması gerekir. Dizi 1: Dizi 2: 1234pipi didi pipi didi q1q1 -q 1 q2q2 -q pipi didi q 1 +q 2 -q 1 -q 2

PYTDARP ’ nin Nitelikleri  PYTDARP için üç eniyilik koşulu tanımlanabilir  Dü ğ ümler arası uzaklıkların üçgen eşitsizli ğ ini sa ğ ladı ğ ı durumlarda.  Dror ve Trudeau (1989, 1990) tarafından sunulan PDARP eniyilik koşulları PYTDARP için geçerli de ğ ildir.  Herhangi bir p-d çiftine birden çok araç tarafından ya da aynı araç ile B İ RDEN ÇOK kere hizmet verilebilir.  Karmaşık matematiksel model  Nowak’ın Ph.D. tezindeki (2005) 4-dizinli gösterim

PYTDARP Çözüm Yaklaşımları  PYTDARP yazını sezgisel yaklaşımlarla sınırlıdır (Nowak et al. 2008,2009)  Odaklanılan iki çözüm yöntemi  İ yi bir olanaklı çözüm bulmak için Tabu arama  Problemin, bir aracın bir p-d çiftini en fazla bir kez ziyeret etti ğ i özel hali için dal-kes algoritması.

Tabu Arama Algoritması Genel Bakış  Evre 0 (Başlangıç çözümü)  Kazanç esaslı sezgisel algoritma kullanılarak bir başlangıç çözümü elde edilir. (Clarke and Wright, 1964)  Evre 1 (Parçalama ve yerleştirme)  Parçalama-yerleştirme komşulu ğ undaki tabu olmayan en iyi çözüm uygulanır  Elde edilen çözüm tabu ilan edilir Son N 1 döngü boyunca iyileştirme elde edilmediyse Evre 1 sona erer  Evre 2 (Yer de ğ iştirme)  Yer de ğ iştirme komşulu ğ undaki tabu olmayan en iyi çözüm uygulanır  Elde edilen çözüm tabu ilan edilir Son N 2 döngü boyunca iyileştirme elde edilmediyse Evre 2 sona erer

Tabu Arama Algoritması Başlangıç Çözümü  Adım 0: Tüm p-d çiftlerine farklı bir araç tarafından hizmet edildi ğ i çözümden başla  Adım 1: Her (p i, d k ) için i≠k iken kazançları hesapla  Adım 2: Kazançlarına göre azalacak şekilde (p i, d k ) çiftlerini sırala  Adım 3: Listenin tepesinden başlayarak i ve k rotalarını birleştir, e ğ er:  p i ve d k sırasıyla rotadaki ilk ve son dü ğ ümler ise  Birleştirme artı kazanç sa ğ lıyorsa  Birleştirme olanaklıysa  Adım 4: p i ve d k ’ i e ğ er kazanç sa ğ lıyorsa oluşturulan yeni rotada ileri ve geri kaydır pjpj dkdk djdj pkpk 0

Tabu Arama Algoritması Başlangıç Çözümü  Adım 0: Tüm p-d çiftlerine farklı bir araç tarafından hizmet edildi ğ i çözümden başla  Adım 1: Her (p j, d k ) için i≠k iken kazançları hesapla  Adım 2: Kazançlarına göre azalacak şekilde (p j, d k ) çiftlerini sırala  Adım 3: Listenin tepesinden başlayarak i ve k rotalarını birleştir, e ğ er:  p i ve d k sırasıyla rotadaki ilk ve son dü ğ ümler ise  Birleştirme artı kazanç sa ğ lıyorsa  Birleştirme olanaklıysa  Adım 4: p i ve d k ’ i e ğ er kazanç sa ğ lıyorsa oluşturulan yeni rotada ileri ve geri kaydır pjpj dkdk djdj pkpk 0

Tabu Arama Algoritması Komşuluk tanımları  Parçalama/yerleştirme Komşulu ğ u  Aşa ğ ıdaki gibi yaratılmış çözümleri içerir: Uygun rotalardaki herhangi bir pozisyona p-d çiftini yerleştirilmesi İ ki rotaya p-d çiftinin yükünün parçalanması  O(n 4 ) (ikili heap ile: O(n 4 logn))  Yer De ğ iştirme Komşulu ğ u  Aşa ğ ıdaki gibi yaratılmış çözümleri içerir: Herhangi iki p-d çiftlerinin yer de ğ iştirilmesi ve yeni rotalarındaki en iyi pozisyona yerleştirilmeleri   (n 3 )

Tabu Arama Algoritması Tabu Listesinin Yapısı, İ stek ve Durma Kriterleri  Tabu Listesinin Yapısı  Üç boyutlu Tabu Listesi Amaç fonksiyon de ğ eri Rota sayısı Dü ğ üm sayısı  İ stek Kriteri  Uygulanamaz  Durma Kriteri  Evre 1 N 1 iyileştirmeyen yerleştirme/parçalama döngüsünden sonra sona erer  Evre 2 N 1 iyileştirmeyen yer de ğ iştirme döngüsünden sonra sona erer

Tabu Arama Algoritması Arama Stratejileri  Çok geniş yerleştirme/parçalama komşulu ğ u  Bilgisayar zamanını azaltmak için alternatif stratejiler  p-d çiftinin seçilmesiyle ilgili  Tümünü arama: En yüksek net kazanç sa ğ layan çifti seç: O(n 5 logn)  En iyi çıkma kazancı: Rotasından çıkarıldı ğ ında en yüksek kazancı sa ğ layan çifti seç: O(n 4 logn)  Rassal: Rassal olarak bir çift seç: O(n 4 logn)  p-d çiftinin yerleştirilece ğ i/parçalanaca ğ ı poziyonla ilgili  En iyi: En düşük yerleştirme maliyetli pozisyonu seç  İ lk: Heap’in içindeki ilk olanaklı pozisyonu seç

Bilgisayısal Çalışmalar Tabu Arama Stratejisi  Tüm 100-çift Ropke & Pisinger (2006) problemleri  Yük faktörü aralı ğ ı ( )  Toplam 12 örnek  Tüm örnekler Intel Core 2 Quad Q6600 PC ile 2.4 GHz CPU ve 3.24 GB RAM bilgisayarda denenmiştir.  En iyi çıkma kazancı ve rassal seçenekleri düşük performans sa ğ lamaktadır Tümünü AraEn iyi çıkma kazancıRassal En iyi İ lk En iyi İ lk En iyi Ortalama i yile ş tirme 28.70%28.63%17.59%17.54%9.46% Bilgisayar Zamanı (sn.)

 Tüm 50,100,250,500-çift Ropke & Pisinger (2006) problemleri için ortalama performanslar  Yük faktörü aralı ğ ı ( )  Toplam 48 örnek Problem Boyutu Yerle ş tirme/P arçalama döngüsü Yerle ş tirme/P arçalama zamanı(sn.) Yerle ş tirme/ Parçalama döngü ba şı zaman Yer de ğ i ş tirme d öngüsü Yer de ğ i ş tirme zamanı(sn.) Yer de ğ i ş tirme döngü ba şı zaman Bilgisayısal Çalışmalar Bilgisayar Zamanı

Bilgisayısal Çalışmalar Parçalamanın Etkisi Problem Türü Yazar (Yük faktörü aral ı ğ ı ) Evre 1Evre 1-2 Yerle ş tirme Parçalama Yerle ş tirme Yerle ş tirme Parçalama Yerle ş tirme Ortalama i yile ş tirme (%) Nowak ( ) 25.62%1.09%26.04%1.22% Ropke ( ) 6.16%1.02%6.54%1.55% Ropke ( ) 28.51%28.77%29.69%29.52% Bilgisayar Zamanı (sn.) Nowak ( ) Ropke ( ) Ropke ( )  Tüm 100-çift Ropke & Pisinger (2006) ve Nowak et al. (2008) problemleri  Toplam 39 örnek

Sonuçlar ve Gelecek Çalışmalar  Parçalanabilir yükün faydaları probleme ba ğ lıdır  Toplama ve da ğ ıtım noktalarının kümelenmesi  Yük faktörü  PYTDARP için verimli bir Tabu Arama algoritması gerçekleştirdik  Algoritma hızlı çalışmasına karşın yerel eniyi de ğ erden kurtulamamakta  Çeşitlendirme stratejileri  Yerleştirme/Parçalama ve yer de ğ iştirme’nin bir arada kullanılması  dal-kes algoritması  Bazı geçerli kısıtlar ile problemin bir aracın bir çifti en fazla bir kere ziyeret edebildi ğ i hali için kesin çözüm denemeleri

DİNLEDİ Ğ İNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER...