OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 2 Olasılık Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Önemli Terimler Rassal Deney – belirsiz bir sonuca yol açan bir süreç 3.1 Rassal Deney – belirsiz bir sonuca yol açan bir süreç Temel Sonuç –rassal deneyin muhtemel bir sonucu Örnek Uzayı –bir rassal deneyin muhtemel tüm sonuçlarının toplanması Olay –örnek uzayından olan temel sonuçların her hangi bir alt kümesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Önemli Terimler (devam) Olayların Arakesiti (Kesişimi) –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A ∩ B kesişimi S’deki hem A ve hem de B’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir S A AB B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Önemli Terimler (devam) Eğer hiçbir ortak temel sonuca sahip değillerse A ve B Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı) Olaylar (Mutually Exclusive Events) dır. Yani A ∩ B kümesi boş kümedir S A B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Önemli Terimler (devam) Olayların Birleşimi –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A U B birleşimi S’deki A veya B’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir S Pembe renkli (taralı) alan tümüyle A U B’i temsil etmektedir A B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Önemli Terimler (devam) Eğer E1 U E2 U . . . U Ek = S ise E1, E2, … Ek olayları Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı) (Collectively Exhaustive) olaylardır Yani olaylar tamamen örnek uzayını kaplamaktadır. Bir A olayının tümleyeni örnek uzayı içerisindeki A’ya ait olmayan tüm temel sonuçların kümesidir. Tümleyen ile gösterilmektedir. S A Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnekler Örnek Uzayı bir zarın atılması sonucu elde edilen tüm muhtemel sonuçlar olsun: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A “Atılan sayının çift olması” olayı olsun B “Atılan sayının en az 4 gelmesi” olayı olsun O halde A = [2, 4, 6] and B = [4, 5, 6] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnekler S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] (devam) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Tümleyenler: Arakesitler (Kesişimler): Birleşimler: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnekler Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı): (devam) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı): A ve B bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) değildir. 4 ve 6 sonuçları her ikisi için ortaktır Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı): A ve B bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) değildir. A U B 1 veya 3’ü içermemektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

0 ≤ P(A) ≤ 1 Herhangi bir olay için Olasılık 3.2 Olasılık –Belirsiz bir olayın meydana gelme şansıdır (daima 0 ile 1 arasındadır) 1 Belirli 0 ≤ P(A) ≤ 1 Herhangi bir olay için 0,5 İmkansız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılığın Değerlendirilmesi Belirsiz bir olayın olasılığını değerlendirmede üç yaklaşım mevcuttur: 1. klasik olasılık Örnek uzayı içerisindeki tüm sonuçların eşit olasılıkta olduğu varsayılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Muhtemel Sonuçların Sayılması Bir anda k kez alınan n nesnenin kombinasyonu sayısını belirlemek üzere Kombinasyon formülü kullanılır n! = n(n-1)(n-2)…(1) 0! = 1 (tanım gereği) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılığın Değerlendirilmesi Üç yaklaşım (devam) 2. nispi frekans olasılığı Bir A olayının n adet büyük deneme sayısında meydana geldiği orantının limiti 3. öznel olasılık Meydana gelme olasılığı hakkındaki bir bireysel görüş veya inanç Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Önermeleri 1. Eğer A S örnek uzayında meydana gelen her hangi bir olay ise, o halde: A, S’deki bir olay ve Oi temel sonuçları gösteriyorsa, o halde (notasyon A’daki tüm temel sonuçların toplamı olduğu anlamına gelmektedir) 3. P(S) = 1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Kuralları Tümleyen Kuralı: Toplam kuralı: 3.3 Tümleyen Kuralı: Toplam kuralı: İki olayın birleşiminin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bir Olasılık Tablosu B A İki A ve B olayı için olasılıklar ve bileşik olasılıklar bu tabloda özetlenmiştir: B A Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Toplam Kuralı (Örnek) A olayı =“kartın As olması” olayı olsun 52 kartlık standart bir iskambil destesini dört takım ile ele alınız: ♥ ♣ ♦ ♠ A olayı =“kartın As olması” olayı olsun B olayı = kartın kırmız takımdan olma olayı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Toplam Kuralı (Örnek) Renk Tip As 2 2 4 24 24 48 Toplam 26 26 52 (devam) P(Kırmız U As) = P(Kırmızı) + P(As) - P(Kırmızı ∩ As) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 İki kırmızı ası iki kez saymayınız! Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah As 2 2 4 As olmayanlar 24 24 48 Toplam 26 26 52 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Olasılık Bir koşullu olasılık is başka bir olayın meydana geldiğinin varsayıldığı bir olayın olasılığıdır: B olayının meydana gelmesi halinde A’ nın olasılığı A olayının meydana gelmesi halinde B’ nin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Olasılık (Örnek) Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. Bir arabanın K’sı olması halinde bir CD olması olasılığı nedir? yani, P(CD | K)’yi bulmak istiyoruz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Olasılık (Örnek) (devam) Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. CD CD yok Toplam K 0,2 0,5 0,7 K yok 0,2 0,1 0,3 Toplam 0,4 0,6 1,0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Olasılık (Örnek) (devam) Bahsi geçen K için, sadece en üst satırı ele alıyoruz (arabaların %70’i). Bunların %20’si CD okuyucuya sahiptir. %70’in %20’si % 28,57’dir. CD CD yok Toplam K 0,2 0,5 0,7 K yok 0,2 0,1 0,3 Toplam 0,4 0,6 1,0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Çarpma Kuralı İki A ve B olayının çarpımı: ayrıca Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Çarpma Kuralı (Örnek) Renk Tip As 2 2 4 24 24 48 Toplam 26 26 52 P(Kırmızı ∩ As) = P(Kırmızı| As)P(As) Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah As 2 2 4 As olmayan 24 24 48 Toplam 26 26 52 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

İstatistiksel Bağımsızlık İki olay istatistiksel olarak bağımsız eğer ve sadece ,: Bir olay başka bir olay tarafından etkilenmediğinde A ve B olayları bağımsızdır Eğer A ve B olayları bağımsızdır, o halde eğer P(B)>0 ise eğer P(A)>0 ise Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. K ve CD olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır? CD CD yok Toplam K 0,2 0,5 0,7 K yok 0,1 0,3 0,4 0,6 1,0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) (devam) CD CD yok Toplam K 0,2 0,5 0,7 K yok 0,2 0,1 0,3 Toplam 0,4 0,6 1,0 P(K ∩ CD) = 0,2 P(K) = 0,7 P(CD) = 0,4 P(K)P(CD) = (0,7)(0,4) = 0,28 P(K ∩ CD) = 0,2 ≠ P(K)P(CD) = 0,28 O halde bu iki olay istatistiksel olarak bağımsız değildirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

İki Değişkenli Olasılıklar 3.4 İki değişkenli olaylar için sonuçlar: B1 B2 . . . Bk A1 P(A1B1) P(A1B2) P(A1Bk) A2 P(A2B1) P(A2B2) P(A2Bk) . Ah P(AhB1) P(AhB2) P(AhBk) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ortak (Bileşik) ve Tekil (Marjinal) Olasılıklar A ∩ B, birleşik bir olayın olasılığı olmak üzere: Bir tekil (marjinal) olasılığının hesaplanması: Burada B1, B2, …, Bk k adet bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) olaylardır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Tekil (Marginal) Olasılık (Örnek) Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah As 2 2 4 As değil 24 24 48 Toplam 26 26 52 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ağaç Diyagramının Kullanılması K olması veya K olmaması halinde: P(K ∩ CD) = 0,2 CD’si var P(K)= 0,7 CD’si yok P(K ∩ CD) = 0,5 K’sı var Tüm arabalar K’ya sahip değil P(K ∩ CD) = 0,2 CD’si var P(K)= 0,3 CD’si yok P(K ∩ CD) = 0,1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bahisler Özel bir olayın lehine bahisler olayın olasılığının onun tümleyenine bölünmesi ile elde edilen oran ile verilmektedir A’ nın lehine bahisler; Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bahisler (Örnek): Kazananlarının bahsinin 3’e 1 olduğu halde kazanma olasılığını hesaplayınız: Pay ve paydayı 1 – P(A) ile çarpıp, P(A) için eşitliği çözünüz: 3 x (1- P(A)) = P(A) 3 – 3P(A) = P(A) 3 = 4P(A) P(A) = 0,75 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Aşırı Karışma Oranı (Overinvolvement Ratio) B1 olayına koşullu A1 olayının olasılığının A1 olayına koşullu B1 olayının olasılığına bölünmesi aşırı karışma oranı olarak tanımlanmaktadır: 1’den büyük bir aşırı karışma oranı A1 olayının koşullu bahisler oranını B1 lehine artırdığı anlamına gelmektedir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bayes Teoremi 3.5 burada: Ei = k bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayıcı (toplu kapsamlı) olayların i’incisidir A = P(Ei)’yi etkileyebilecek olan yeni olaydır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bayes Teoremi (Örnek) Bir sondaj şirketinin yeni bir kuyuda petrol bulma şansı %40’tır. Daha fazla bilgi elde etmek üzere detaylı bir test planlanmıştır. Geriye dönük olarak başarılı kuyuların %60’ı, başarısız kuyuların %20’ı detaylı teste sahiptiler. Bu yeni kuyuda detaylı test planlandığında, bu kuyunun başarılı olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bayes Teoremi (Örnek) S = başarılı kuyu U = başarısız kuyu olmak üzere (devam) S = başarılı kuyu U = başarısız kuyu olmak üzere P(S) = 0,4 , P(U) = 0,6 (ön olasılıklar) Ayrıntılı testleri D olarak tanımlayınız Koşullu olasılıklar: P(D|S) = 0,6 P(D|U) = 0,2 Amaç P(S|D)’yi bulmaktır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bayes Teoremi (Örnek) Bayes Teoremini uygulayınız: (devam) O halde daha önce değerlendirilmiş olan başarı olasılığı (orijinal tahminlerde 0,4 olan) bir detaylı test için 0,667 olarak planlanmıştır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER