MATLAB’ ta Diziler

Ders İçeriği Diziler Vektörler Vektörün oluşturulması Vektör İşlemleri Polinomlar Matrisler Matrislerin Oluşturulması Matris İşlemleri

Diziler Dizi ; içerisinde sayısal veya metinsel değerler barındıran kümedir. MATLAB uygulamalarında temel yapı dizilerdir. Diziler temelde iki gruba ayrılır Vektörler Matrisler Bu dersimizde sadece sayısal değerler içeren diziler üzerinde duracağız.

Vektörler Tek boyutlu dizilere “Vektör” adı verilir. Tek boyutlu oldukları için boyutları, 1xN : Tek satır, N sütun yada Mx1: M satır, Tek Sütun şeklinde gösterilir Örnek : 1x4 boyutunda vektör : [1 2 3 4] 4x1 boyutunda vektör : [ 1 2 3 4 ]

Vektörler MATLAB ta vektör oluşturmanın 3 temel farklı yolu vardır. Köşeli parantez kullanarak vektör oluşturma Eşit aralıklı elemanlar kullanarak; “:” işaretini kullanarak veya “linspace”, “logspace” komutlarıyla Fonksiyonlar kullanılarak

Köşeli Parantez Yöntemi Standart özelliklere sahip olmayan, küçük boyutlu vektörlerin oluşturulmasında en iyi yöntemdir. Tek satırlık vektörler V=[ e1, e2,e3] veya V=[e1 e2 e3] Tek sütunluk vektörler V=[e1;e2;e3] şeklinde vektör oluşturulur. Örnek: V=[1 5 6 9] vektörü V=[1 5 6 9] yada V=[1,5,6,9] şeklinde oluşturulabilir.

Sabit Aralıklı Vektör Oluşturma Elemanları sabit aralıklarla artan yada azalan vektörler oluşturmak için “:” yazım şekli kullanılır. V= İlkDeğer : DeğişimMiktarı : SonDeğer Örnek: V=1:2:10 komutu ile oluşan vektör V=[1 3 5 7 9] V=0:4 komutu ile oluşan vektör V=[0 1 2 3 4] Değişim miktarı girilmediği için 1 kabul edilmiştir. V=0:-2:10 komutu yazıldığında hata mesajı alınır.

Sabit Aralıklı Vektör Oluşturma “linspace” ve “logspace” fonksiyonları ile vektör oluşturulduğunda başlangıç ve bitiş değerleri arasında kaç nokta olacağı belirlenebilir. Vektörü “linspace” lineer olarak, “logspace” logaritmik olarak parçalara ayırır. linspace(x1,x2,n) logspace(x1,x2,n) x1: İlk Değer x2:Son Değer n:nokta sayısı Örnek : V=linspace(1,10,4) komutu ile oluşan vektör V=[1,4,7,10]

Fonksiyonlarla Vektör Oluşturma Fonksiyonlar kullanılarak vektör oluşturma iki şekilde gerçekleştirilir. “rand” fonksiyonu kullanılarak rastgele değerler üretme V=a + (b-a)*rand(m,n) V vektörü a ile b arasında dağılmış rastgele sayılardan oluşur. m ve n vektörün boyutunu göstermektedir. Örnek: a=1 ile b=5 arasında rastgele 6 sayı üretmek için komutumuz V=1+(5-1)*rand(1,6) dır.

Fonksiyonlarla Vektör Oluşturma “ones” fonksiyonu ile sadece tek bir elemandan oluşan vektörler oluşturulabilir. “ones” fonksiyonu kullanım şekli: V=x*ones(m,n) “x” elemanın ne olduğunu m,n vektörün boyutunu gösterir. “zeros” fonksiyonu ile sadece ‘0’lardan oluşan vektörler oluşturulabilir. “zeros” fonksiyonu kullanım şekli: V=zeros(m,n) Örnek: altilar= 6*ones(1,3) komutu sonucu altilar=[6 6 6] vektörü oluşur.

Vektör Oluşturma – Video Ders

Vektörlerde Aritmetik İşlemler Vektörler üzerinde de tüm aritmetik işlemler yapılabilir ama çarpma ve bölme işlemi yapılacak vektörlerin boyutlarının aynı olması gerekmektedir. Örnek : v1[1 3 5] v2 [9 7 5] toplam=v1+v2 => toplam[10 10 10] carpim=v1*v2’ => carpim[55] İki vektörün karşılıklı elemanları arasında yapılacak işlemlerde ‘ . ’ kullanılır. carpim=v1.*v2 => carpim[9 21 25]

Vektörlerde Aritmetik İşlemler Aritmetik İşlem Adı MATLAB Gösterimi Örnek Uygulama V1=[1 2 3], V2=[-1 2 6] Açıklama Toplama v1+v2 0 4 9 Karşılıklı elemanlar toplanır Çıkarma v1-v2 2 0 -3 Karşılıklı elemanlar çıkartılır Çarpma v1.*v2 -1 4 18 Karşılıklı elemanları çarpılır Sağa bölme v1./v2 -1.00 1.00 0.50 v1 dizisinin her elemanı, sırasıyla v2 dizisinin her elemanına bölünür Sola bölme v1.\v2 -1 1 2 Sağa bölmenin tersi Üs alma v1.^v2 1 4 729 v1 dizisindeki her elemanın, sırasıyla v2 deki elemanlarla üslerini alınır Transpose v1’ 1 2 3 Satır vektörünü sütun vektörüne çevirir veya tersini yapar. İndeksleme v1(n) a(1)=1, b(3)=6 Vektörün n. elemanını verir

Vektörlere Fonksiyonları Uygulamak max : Verilerin en büyük değerlisini bulur. min : Verilerin en küçük değerini bulur length :Veri uzunluğunu, kaç tane veri olduğunu bulur. sum : Verilerin toplamını verir Prod : Verilerin çarpımını verir median : Verilerin ortanca değerini bulur std : Verilerin standart sapmasını hesaplar mean : Verilerin ortalama değerini hesaplar geomean : Verilerin geometrik ortalamasını hesaplar harmean : Verilerin harmonik ortalamasını hesaplar sort : Verileri azalan sırada sıralar

Polinomlar Polinomlar özel tipte tanımlanmış fonksiyonlardır. Tek değişkenli n. dereceden bir polinomun genel şekli P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 n: polinomun derecesi a: polinomun katsayıları MATLAB’da polinomlar bir vektörle gösterilir. Vektörün elemanları x’in en büyük üssünden başlayarak, azalan sıradaki katsayılardır. Olmayan dereceler için 0 girilmelidir. Örnek: P(x) = 5x3 - 6x2 + 10x - 3 polinomu >> P_x = [5 -6 10 -3] şeklinde gösterilir.

Polinom İşlemleri Polinom toplama - çıkarma için bir fonksiyon sağlamaz. Her iki polinom aynı büyüklükte ise standart dizi işlemleri yapılır. Polinomların Çarpımı: “conv(P,Q)” fonksiyonu ile yapılır. Sonuç yine bir polinomdur. Polinomların Bölümü “deconv(P,Q)” fonksiyonu ile yapılır. Kullanım şekli : [B, K] = deconv(P,Q) B : Bölüm, K : Kalan

Polinom Fonksiyonları polyval(p,k) fonksiyonu Polinomun x=k için alacağı değeri hesaplar. Örnek P(x) = x3 + x polinomunun x=2 için çözümü >> p=[1 0 1 0] >>polyval(p,2) >> 10 roots(P) fonksiyonu Polinomların köklerini bulmak için kullanılır. Örnek : P(x) = x4 + 3x3 -15x2 - 2x + 9 polinomunun köklerini bulmak için : >> kokler = roots([1 3 -15 -2 9])

Polinom Fonksiyonları poly(root) fonksiyonu Kökleri belli olan bir polinom oluşturur. Örnek : Kökleri -4 ve 3 olan polinom : >> poly = poly([-4 3]) polyder(P) fonksiyonu Polinomun türevini almak için kullanılır. Örnek: >> P = [-7 -3 1 14] >>pturev = polyder(P)

Matrisler Bir F matrisi en genel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir 1. satır 2. satır 2. sütun 1. sütun

Matrisler 2 veya daha çok boyutlu dizilere “Matris” adı verilir. Matrisler m x n boyutlu dizilerdir. m: satır sayısı n: sütun sayısını gösterir. Örnek : 2 x 2 boyutlu bir matris [a11 a12 a21 a22]

MATLAB ta Matris Oluşturma MATLAB ta 3 farklı yolla matris oluşturulabilir. Köşeli parantez kullanarak matris oluşturma Utility Fonksiyonlarını kullanarak matris oluşturma Özel matrisler oluşturma

Köşeli Parantez Yöntemi En sık kullanılan yöntemdir. MatrisAdı = [ 1.satır ; 2.satır ; 3.satır] şeklinde formülüze edilebilir. Örnek: A=[ 11 12 13 21 22 23 ] matrisi şu komutlarla oluşturulabilir. >> A=[ 11 12 13; 21 22 23] >> A=[ 11,12,13; 21,22,23] >> A=[ 11 12 13; 21 22 23] Matrisler sadece skaler değerlerden oluşabileceği gibi içerisinde fonksiyonlarda barındırabilir. Örnek : A=[ 1,3,4 ; sqrt(4), cos(60),4^2]

Utility Fonksiyonlarıyla Matris Oluşturma “rand” fonksiyonu kullanılarak rastgele değerler içeren matris üretme Genel kullanım şekli: M=a + (b-a)*rand(m,n) M matrisi a ile b arasında dağılmış rastgele sayılardan oluşur. m ve n matrisin boyutunu göstermektedir. Örnek: a=1 ile b=5 arasında rastgele değerler içeren 3x4 boyutunda bir matris üretmek için komutumuz >> M=1+(5-1)*rand(3,4)

Utility Fonksiyonlarıyla Matris Oluşturma “ones” fonksiyonu ile sadece tek bir elemandan oluşan matrisler oluşturulabilir. “ones” fonksiyonu kullanım şekli: M=x*ones(m,n) “x” elemanın ne olduğunu m,n matrisin boyutunu gösterir. “zeros” fonksiyonu ile sadece ‘0’lardan oluşan matrisler oluşturulabilir. “zeros” fonksiyonu kullanım şekli: M=zeros(m,n) Örnek: altilar= 2*ones(2,2) komutu sonucu altilar=[2 2 ; 2 2] matrisi oluşur.

Utility Fonksiyonlarıyla Matris Oluşturma “eye” fonksiyonu kullanılarak birim matris oluşturulur. Birim Matris: Köşegen elemanları “1” diğer elemanları “0” olan matristir. Genel kullanım şekli : M=eye(m,n) Örnek: 3x3 boyutlarında bir birim matris üretmek için komutumuz >> M=eye(3,3)

Özel Matrisler Oluşturma pascal(k) fonksiyonu k. sıraya kadar pascal üçgeninin elemanlarından oluşan k x k boyutunda bir matris oluşturur. magic(k) fonksiyonu k x k uzunluğunda 1’den k’ya kadar sayılardan oluşan eşit değerli satır, sütun ve köşegen toplamına sahip bir kare matris oluşturur. Bunların dışında matris oluşturmak için kullanılan birçok fonksiyon bulunmaktadır. toeplitz,hankel, hadamard, rosser, wilkinson vb...

Matrislerde Aritmetik İşlemler Matlab Formu Örnek a=[1 2 ;-2 5], b=[-1 3; 4 2] Açıklama Toplama a+b 0 5 2 7 Aynı boyda matrislerin karşılıklı elemanları toplanır Çıkarma a-b 2 -1 -6 3 Aynı boyda matrislerin karşılıklı elemanları çıkartılır Çarpma a*b 7 7 22 4 Matris çarpım kuralına göre işlem yapılır. İki matrisin çarpım kuralı: 1. matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. Bölme a/b 0.4286 0.3571 1.7143 -0.0714 a·b-1 yani a*inv(b) kuralına göre işlem yapılır. İnv, matrisin tersi demektir.

Matrislerde Aritmetik İşlemler Matlab Formu Örnek a=[1 2 ;-2 5], b=[-1 3; 4 2] Açıklama Üs alma a^5 -567 810 -810 1053 an için n tane matris yan yana çarpım kuralına göre çarpılır. N skalerdir ve matrisin kare matris olma koşulu vardır. Skaler işlem 3*a 3 6 -6 15 n bir skaler sayı olmak üzere n*a işleminde matrisin herbir elemanı n ile çarpılır. Diğer işlemler içinde aynı şekilde kullanılır. dort işlem a.^5 1 32 -32 3125 Nokta işaretli işlemler, matrislerde elemanter işlem yapılacağını gösterir. n skaler olmak üzere a.^n, a matrisindeki herbir elemanın n. kuvvetinin alınacağını ifade eder.

Matrislerde Aritmetik İşlemler Video Ders

Matris Bilgi Alma Fonksiyonları İşlem Matlab Formu Örnek a=[1 2 ;-2 5], Açıklama Determinant det(a) 9 det(a) fonksiyonu ile matrisin determinantı hesaplanır Transpoze a’ 1 -2 2 5 Satır – sütun yer değiştirir Ters alma inv(a) 0.56 -0.22 0.22 0.11 inv(a) ile matris ters alma kuralına göre işlem yapılır. Matrisin kare matris olma zorunluluğu vardır. Boyu size(a) 2 2 Matrisin boyutlarını verir. Köşegen Elemanları diag(a) 1 5 Matrisin köşegen elemanlarını verir.

Neler Öğrendik Vektörün ne olduğunu Vektörlerin nasıl oluşturulduğunu Vektörlerde işlemlerin nasıl yapıldığını Polinomlarda işlemlerin nasıl yapıldığını Matrisin ne olduğunu Matrislerin nasıl oluşturulduğunu Matrislerde işlemlerin nasıl yapıldığını