Kofaktör Matrisler Determinantlar Minör

* İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ * MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ * MATRİS ÇEŞİTLERİ * İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ * MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ * BİR MATRİSİN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ * TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ * MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI * SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ * MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ * ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ * BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ * BİR MATRİSİN TRANSPOZU * DETERMİNANTLAR * MİNÖR VE KOFAKTÖR * DETERMİNANT FONKSİYONU * DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ * EK MATRİS * KAYNAKLAR ÇIKIŞ

MATRİSLER Tanım: m , n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3, ... , m : j = 1, 2, 3, ... , n) olmak üzere, aij reel sayılardan oluşturulan; a11 a12 .. a1j .. a1n a21 a22 .. a2j .. a2n . . . . ai1 ai2 .. aij .. ain . . . . am1 am2 .. amj .. amn i. satır j. sütun Tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. ÇIKIŞ KONULAR

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile j. Sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [ aij ]m x n şeklinde gösterilir. Burada , m matrisin satır sayısını, n ise sütun sayısını gösterir. A matrisinin, ai1, ...., aij ...., ain elemanlarına i. Satır elemanları; a1j, ...., aij ...., amj elemanlarına da j. Sütun elemanları denir. Örnek: Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim. a. 1 -2 3 b. -2 -1 3 c. -1 0 4 -1 0 2 5 4 4 -2 7 Çözüm: a. 3 x 2 biçiminde b. 3 x 3 biçiminde c. 2 x 1 biçiminde ÇIKIŞ KONULAR

Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi ( satır vektörü ) denir. B1 = [ a11 a12 ... a1n ] ( 1. Satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak , B2 = [ a21 a22 ... a2n ] ( 2. Satır matrisi) . . . B1 . . . A = [ aij ]m x n = B2 şeklinde Bm = [ am1 am2 ... amn ] ( m. Satır matrisi) : gösterilir. Bm Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi ( sütun vektörü ) denir. a11 a12 a1n A1 = a21 , A2 = a22 , ...... , An = a2n : : : am1 am2 amn A1 : birinci sütun matrisi A2 : ikinci sütun matrisi : : : : An : n. sütun matrisi A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ aij ]m x n = [A1 A2 A3 .... An] şeklinde gösterilir. ÇIKIŞ KONULAR

KARE MATRİS: Tanım: n x n tipindeki [ aij ]m x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden) kare matris denir. Örnek: 3 -4 matrisi 2. sıradan bir kare matristir. 1 5 SIFIR MATRİSi: Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. Örnek: O = 0 0 0 matrisi, 2x3 tipinde bir sıfır matristir. 0 0 0 2x3 BİRİM MATRİS: Tanım: Asal köşegen üzerendeki elemanları bir diğer elemanları sıfır olan kare matrise birim matris denir. N x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir. Örnek: 1 0 0 0 0 1 0 0 I4 = 0 0 1 0 0 0 0 1 Matrisi, 4. Sıradan bir birim matristir. I4 ile gösterilir. Asal köşegen ÇIKIŞ KONULAR

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere eşit matrisler denir. Her (i, j) eleman M x N için, aij = bij ise [ aij ]m x n = [ bij ]m x n dir. Örnek: 5a 3a + 2b 4 x A = a + 2b 5b ve B = y 2 olmak üzere, A = B ise, kaçtır? Çözüm: A = B ise 5a 3a + 2b 4 x a + 2b 5b y 2 x y Matrislerinin eşitliğinden, 5a = 4, 5b = 2, 3a + 2b = x, a + 2b = y olduğundan, 5a = 22 5b = 2 ise 52b = 22 ise 5a = 52b den, a = 2b olur. Bulunan değer de yerinde yazılırsa; x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b y a+ 2b 2b + 2b 4b x y 2 bulunur. ÇIKIŞ KONULAR

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n matrisine , A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. Örnek: A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p –2) ve A + B matrisi 3 x k biçiminde ise (m + p + k) kaçtır? Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m + 1 = n + 1 Λ p – 2 = 2 ise m = n Λ p = 4 3 x k = (m + 1) x 2 den m + 1 = 3 Λ k = 2 m = n = 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m + p + k = 2 + 4 + 2 = 8 dir. ÇIKIŞ KONULAR

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi: Tanım: A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun. –A = [ -aij ]m x n matrisine , A = [ aij ]m x n matrisinin toplama işlemine göre tersi denir. Örnek: A = matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir. -2 1 3 4 5 -6 2 -1 -3 -4 -5 6 ÇIKIŞ KONULAR

TOPLAMA İLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için, A +B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n = [ aij + bji]m x n = [ bji + aji]m x n = B + A dır. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n ve C = [ cij ]m x n matrisleri için A + (B + C) = [ aij ]m x n + ( [ bij ]m x n + [ cij ]m x n ) = [ aij ]m x n + [ bij + cji ]m x n = [ aij + (bij + cij) ]m x n = [ (aij + bij )+ cij ]m x n = [ aij + bij ]m x n + [cji ]m x n = ( [ aij]m x n + [bij ]m x n ) + [cji ]m x n = (A + B) + C olur. ÇIKIŞ KONULAR

ETKİSİZ ELEMAN (SIFIR MATRİSİ) : A = [ aij ]m x n , O = [ 0 ]mxn matrisleri için, A + O = [ aij ]m x n + [ 0 ]mxn = [ aij + 0]m x n = [ aij ]m x n = A O + A = [ 0 ]mxn + [ aij ]m x n = [ 0 + aij]m x n = [ aij ]m x n = A dır. TERS MATRİS: A + ( -A ) = [ aij ]m x n + [ -aij ]m x n = [ aij -aij ]m x n = [ 0ij ]mxn ( -A ) + A = [ -aij ]m x n + [ aij ]m x n = [ -aij + aij ]m x n = [ 0ij ]mxn dir. ÇIKIŞ KONULAR

Tanım: A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n matrislerinin farkı, İKİ MATRİSİN FARKI: Tanım: A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n matrislerinin farkı, A – B = A + (-B) = [ aij ]m x n + [ -bij ]m x n = [ aij – bij ]m x n dir. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI: Tanım: k skalar sayısı ve A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun. k . A = [ aij ]m x n = [ k . aij ]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. Örnek: 2 -3 4 1 Matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bulalım. Çözüm: 2 -3 2 . (2) -3 . (2) 4 -6 4 1 4 . (2) 1 . (2) 8 2 k . A = 2 . Bulunur. ÇIKIŞ KONULAR

SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ: Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1, k2 olsun. Her A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için: 1. k . (A + B) = k . A + k . B 2. (k1 + k2) . A = k1 . A + k2 . A 3. k1 . (k2 . A) = (k1 . k2) . A ÇIKIŞ KONULAR

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım: iki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı 2. Matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [ aij ]m x n B = [ bjk ]n x p olmak üzere; Elemanları cik = aij . b1k + ai2 . b2k +.....+ ain . bnk toplamıyla bulunan C = [ cik ]m x p matrisine, A ve B matrislerinin çarpımları denir ve C m x n = A m x n . B n x p biçiminde gösterilir. 1 -2 0 1 -4 3 3 4 -1 2 5 -1 -4 2 0 Örnek: A = , B = matrisleri için A . B çarpım matrisini bulalım: 2 x 3 3 x 3 BİR SONRAKİ SAYFA ÇIKIŞ KONULAR

Çözüm:. 1. 1 + (-2) (2) + 0. (-4) 1. (-4) + (-2). 5 + 0. 2 1. 3 + (-2) 1-4 -4-10 3+2 --3 -14 5 3+8+4 -12+20-2 9+(-4) 15 6 5 A.B = A.B = bulunur. Örnek: A = [ aij ] (m+1)x2 , B = [ bjk ] (n+1)x(p-2) , C = [ cik ]3x4 matrisleri için A.B =C ise m + n + p = ? Çözüm: A . B işleminin yapılabilmesi için n+1=2 olmalıdır. Buradan n = 1 bulunur. (A . B)(m+1)x(p-2) = ( C ) 3x4 olması için m + 1 = 3 ise m = 2 ve p - 2 = 4 ise p=6 bulunur. O halde m + n + p = 9 olur. ÇIKIŞ KONULAR

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: BİRLEŞME ÖZELLİĞİ A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B.C) = (A.B).C dir. DAĞILMA ÖZELLİĞİ Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE SOLDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B+C) = A.B + A.C dir. BİR SONRAKİ SAYFA ÇIKIŞ KONULAR

TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler; (A.B).C = A.C + B.C olur. ( skalar sayısı içinde aynı dağılma özellikleri geçerlidir) 5) ÖZEL DURUM: A matrisi 0’a eşit değil ve A.B = A.C iken, B = C olmayabilir. 6) BİRİM MATRİS ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANIDIR I birim matris olmak üzere; a A.I = I.A = A dır. YUTAN ELEMAN Sıfır matrisi çarpma işleminin yutan elemanıdır. 8) ÇARPMA İŞLEMİNDE DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR ÇIKIŞ KONULAR

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ 1. n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa. ( k.A)-1 = 1/k . A-1 dir. 2. n. Sıradan A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri A-1 ve B-1 ise ( A.B )-1 = B-1.A-1 dir. 3. A = ise A-1 = 1/ ad –bc dir. a b d -b c d -c a ÖRNEK: A, B, C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa; A.B = 0 ise B = 0 olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM: A-1 . A . B = A-1 . 0 ise (A-1 . A) . B = 0 ise In . B = 0 ise B = 0 olur. ÇIKIŞ KONULAR

BİR MATRİSİN TRANSPOZU (DEVRİĞİ) Tanım: A = [aij]mxn matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen [aij]nxm matrisine A matrisinin transpozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir. Örnek: A = matrisinin transpozu AT = Ad = dır. ÖZELLİKLER: 1) (AT)T = A , (A+B)T = AT + BT, (k.A)T = k.AT dır. 2) A ve B matrisleri için, (A.B)T = BT . AT dir. 3) A tersi olan bir matris ise (AT)-1 = (A-1)T dir. -3 4 5 2 -1 6 -3 2 4 -1 5 6 ÇIKIŞ KONULAR

DETERMİNANTLAR A kare matris olmak üzere A matrisinin determinantı A veya det(A) biçiminde gösterilir. A matrisi n x n biçiminde ise A’ nın determinantı n. Mertebedendir denir. Tanım: 1 x 1 biçimindeki A matrisinin determinantı A = a11 dir. Örnek: A = [7] matrisi için det(A) = 7 B = [ 31/2] matrisi için det(B) = 31/2 Tanım: 2 x 2 biçimindeki A = matrisinin determinantı Det(A) = = a11 . a22 – a12 . A21 dir. a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 ÇIKIŞ KONULAR

3 x 3 biçimindeki A = matrisinin determinantı; Tanım: 3 x 3 biçimindeki A = matrisinin determinantı; det(A) = = (a11.a22.a33+a21.a22.a23+a31.a32.a33) - (a13.a22.a31+a23.a32.a11+a33.a12.a21) dir. Örnek: A = olduğuna göre det(A) yı hesaplayınız. Çözüm: det(A) = = [(-1).1.(-4) + 2.5.3 + 0.0.0] – [3.1.0 + 0.5.(-1) + (-4).0.2] = (4+30+0) – (0+0+0) = 34 bulunur. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 -1 0 3 2 1 0 0 5 -4 -1 0 3 2 1 0 0 5 -4 ÇIKIŞ KONULAR

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN) Tanım: 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M3 olsun, A = M3 ün elemanı olmak üzere det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 ile tanımlı D: M3 R fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir. Örnek: A = matrisi için; a. a21 minörünü bulalım, b. a21 kofaktörünü bulalım. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 -1 -3 4 2 5 8 -7 6 -2 BİR SONRAKİ SAYFA ÇIKIŞ KONULAR

A21 = (-1)2+1 M21 den, A21 = -1.(-18) = 18 bulunur. Çözüm: a. A21 = (-1)2+1 M21 den, A21 = -1.(-18) = 18 bulunur. Örnek: det(A) = determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000 = a dersek, det(A) = (a+1).(a-1) – (a-3).(a+3) = (a2-1)-(a2-9) = 8 bulunur. -1 -3 4 2 5 8 -7 6 -2 -3 4 6 2 A = ise M21 = = 6-24=-18 bulunur. 3003 2997 2999 ÇIKIŞ KONULAR

SARRUS (SARUS) TEOREMİ: Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarus kuralına göre de hesaplanır, bu kural det(A) nın alt tarafına iki satır veya sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi hesaplanır: İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa, a11 a12 a13 det(A) = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 - + - + + - Det(A) = (a11a22a33+a21a32a13+a31a21a23) - (a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21) dir. Ö R N E K ÇIKIŞ KONULAR

C = 0 1 2 matrisinin determinantını bulalım: 1 0 -1 Örnek: 4 -5 1 C = 0 1 2 matrisinin determinantını bulalım: 1 0 -1 4 -5 1 4 5 0 1 2 0 1 1 0 -1 1 0 - - - + + + Det(C) = -4-10+0-1+0+0 = -15 bulunur. ÇIKIŞ KONULAR

DETERMİNANT FONKSİYONU: Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi M3 olsun. a22 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n : : : Mn in elemanı olmak üzere, an1 an2 ... ann Det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 +.....+ a1n . A1n ile tanımlı D:Mn R fonksiyonuna determinant fonksiyonu; D(A) = det(A) ifadesine de A matrisinin determinantı denir. ÇIKIŞ KONULAR

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ 1. Bir kare matrisin determinant değeri ile devriğinin determinant değeri eşittir. 2. Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. (ya da iki satır veya sütun aynı ise determi – nantın değeri sıfırdır) 3. Bir kare matrisin her hangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terim- ler sıfır ise determinantın değeri sıfırdır. 4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. 5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse determinant işaret değiştirir. ÇIKIŞ KONULAR

6. Bir determinantın bir satırı veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa determinantın değeri de k katına çıkar. 7. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm elemanların k katı alınarak başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. 8. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. 9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa toplam sıfır olur. 10. n. Mertebeden A ve B matrisleri için det(A.B) = det(A) . det(B) dir. ÇIKIŞ KONULAR

EK MATRİS Tanım: n. Mertebeden A kare matrisi verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise [Aij]T matrisine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. Örnek: A = matrisinin ek matrisi bulunurken tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. T Ek(A) = = Örnek: A = matrisinin ek matrisini bulalım. Çözüm: Önce her elemanın kofaktörlerini hesaplarız. Ek(A) = T = bulunur. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 -4 5 6 7 A11 = 7 , A12 = -6 A21 = -5 , A22 = -4 7 -6 -5 -4 7 -6 -5 -4 ÇIKIŞ KONULAR

A . Ek(A) = Ek(A) . A = det(A) . I EK MATRİS ÖZELLİĞİ A . Ek(A) = Ek(A) . A = det(A) . I Yukarıdaki özelliği A = matrisi için gösterelim: . = = (ad-bc) = det(A) . I2 dir. a b c d 0 1 a b c d d -b -c a ad - bc -ab+ab cd - cd -bd+ad ÇIKIŞ KONULAR

KAYNAKLAR * M.E.B YAYINLARI LİSE 3 DERS KİTABI * TÜMAY YAYINLARI MATEMETİK SET’İ ÇIKIŞ KONULAR