BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ KÜMELER BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ

Kümeler,eşit küme,denk küme Boş küme,evrensel küme Alt küme,kapsama Kesişim, birleşim,fark,tümleme işlemleri

BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR Bir kümeyi modelleri ile belirler,farklı temsil biçimleri ile gösterir. Kümelerde birleşim kesişim fark ve tümleme işlemlerini modelleriyle açıklar,şema ve sembol kullanarak gösterir,problem çözmede kullanır. Bir kümenin alt kümelerini belirler.

KÜME NEDİR? İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle büyük harfle gösterilir ve isimlendirilirler.ÖR:A kümesi KÜME BELİRTİR KÜME BELİRTMEZ

Boyu 1.50 cm den uzun öğrenciler Uçan hayvanlar P harfi ile başlayan günler

KÜME NEDİR? İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle büyük harfle gösterilir ve isimlendirilirler.ÖR:A kümesi KÜME BELİRTİR KÜME BELİRTMEZ

Çalışkan öğrenciler. Uzun boylu insanlar. Bazı hayvanlar. Birkaç gün.

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Eleman Є sembolü ile gösterilir. Elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir. ÖRNEK

ÖRNEK A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun. Pazartesi Є A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır. Salı ∉ A , Salı A kümesinin elemanı değildir. s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür. 

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir. Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur. LİSTE ORTAK ÖZELLİK VENN ŞEMASI

1-Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. ÖRNEK

Örnek A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir. Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur. LİSTE1-Liste Yöntemi ORTAK ÖZELLİK VENN ŞEMASI

2-Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir. ÖRNEK

Örnek A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir. K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Є N ve x < 4 } olarak gösterilebilir. P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir. Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur. VENN ŞEMASI LİSTE ORTAK ÖZELLİK

3- Venn Şeması Yöntemi Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir. Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.  

NOT: Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.  EŞİT KÜME DENK KÜME Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 }  A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A = { 1, 2, 3 }  C = { a, b, c } A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C ≡ A NOT: Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.

BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.  Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir. NOT: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

EVRENSEL KÜME Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir. Evrensel Küme Örnekleri: K = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir. D = { +, - , x } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { +, -, x, / } olabilir. A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir.

ALT KÜME A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A ⊂ B biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A biçiminde gösterilir. C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C ⊄ D biçiminde gösterilir. ÖZELLİKLERİ

Alt Kümenin Özelikleri Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂A Boş küme her kümenin alt kümesidir. Ø ⊂ A (A ⊂ B ve B ⊂A) ise A = B dir. A = B ise (A ⊂ B ve B ⊂ A) dir. (A ⊂ B ve B ⊂C) ise A ⊂ C dir. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir. n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2n - 1 dir. 

KÜMELERDE İŞLEMLER İKİ KÜMENİN FARKI KÜMELERDE KESİŞİM KÜMELERDE BİRLEŞİM BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ İKİ KÜMENİN FARKI

1-Kümelerde Kesişim A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir. 

Kesişimin Özellikleri A ∩Ø = Ø A ∩A = A A ∩ B = B ∩ A (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  

KÜMELERDE İŞLEMLER İKİ KÜMENİN FARKI KÜMELERDE KESİŞİM KÜMELERDE BİRLEŞİM BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ İKİ KÜMENİN FARKI

2-Kümelerde Birleşim A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A U B  biçiminde gösterilir.

Birleşimin Özellikleri A U Ø = A A U A = A A U B = B U A A U (B UC) = (A U B) U C A ⊂ B ise, A U B = B A U B = Ø ise, (A = Øve B = Ø) dir.  

KÜMELERDE İŞLEMLER İKİ KÜMENİN FARKI KÜMELERDE KESİŞİM KÜMELERDE BİRLEŞİM BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ İKİ KÜMENİN FARKI

3-İki Kümenin Farkı A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

KÜMELERDE İŞLEMLER İKİ KÜMENİN FARKI KÜMELERDE KESİŞİM KÜMELERDE BİRLEŞİM BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ İKİ KÜMENİN FARKI

4-Bir Kümenin Tümleyeni A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A' şeklinde gösterilir. Ör: A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun. A kümesinin tümleyeni A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. Not: A U A' = E

KAYNAK: http://www.matematikçiler.org HAZIRLAYAN : KÜBRA ÖZÇELİK

TEŞEKKÜRLER