Leontief Girdi - Çıktı Analizi TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 4 : Determinantlar, Cramer Kuralı Leontief Girdi - Çıktı Analizi Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Bir Kare Matrisin Determinantı Bir Kare Matrisin Determinantı. Determinant kavramını tümevarımla tanımlayacağız. Bir m × n matrisin i-inci satırı ve j-inci sütunu çıkarılarak elde edilen (m-1) × (n-1) matrise o matrisin i-j altmatrisi denir. A matrisinin i-j altmatrisi A(i,j) ile gösterilir. 2 × 2 matrisin determinantı: matrisinin determinantı olarak tanımlanır n × n matrisin determinantı(n2): n × n matrisin determinantı, altmatrislerinin determinantları cinsinden tanımlanır. matrisin determinantı olarak tanımlanır. Sigma gösterimi ile

Bu ifadeye A nın determinantının birinci satıra göre açılımı denir 3× 3 matrisin determinantı: - - - - - - Örnek. + + + + + +

Aynı determinantı birinci satıra göre açılım formülünden hesaplayalım: Örnek. Aşağıdaki 4 × 4 determinantı birinci satırına göre açılımını yaparak hesap-layalım

Eğer A nın bir satırındaki tüm girdiler 0 ise, |A|= 0 dır. Determinantların temel özellikleri. Aşağıdaki özellikler determinant hesabında kolaylıklar da sağlar. A daima bir n × n matrisi göstermektedir. Eğer A nın bir satırının her bir girdisi bir s sayısı ile çarpılarak elde edilen matris A′ ise, |A′|= s|A| dır. Eğer A nın bir satırının bir sayı ile çarpılıp başka bir satırına toplanmasıyla elde edilen matris A′ ise, |A′|=|A| dır. Eğer A nın iki satırının yerleri değiştirilerek elde edilen matris A′ ise, |A′|= -|A| dır. Eğer A nın bir satırındaki tüm girdiler 0 ise, |A|= 0 dır. Eğer A nın iki satırı özdeş ise, |A|= 0 dır. Bu ifadeye A nın determinantının i-inci satıra göre açılımı denir Bu ifadeye A nın determinantının j-inci sütuna göre açılımı denir Yukarıda(iki, üç, dört, beş ve altıncı) özelliklerde satır sözcükleri yerine sütun yazılırsa, özellikler geçerliliğini korur.

üçüncü satır -1 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı. Daha önce hesapladığımız 4×4 determinantı, yukarıda ifade edilen özellikleri kulla-narak hesaplayalım.. birinci satır -4 ile çarpılıp üçüncü satıra, -3 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı ikinci satır -6 ile çarpılıp üçüncü satıra, -6 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı üçüncü satır -1 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı.

Determinantların bir diğer özelliği de çarpımsallık özelliğidir: A ve B, n × n matrisler ise, |AB| = |A| |B| dir. A tersinir, AA-1=I  |AA-1| = |I|  |A||A-1|=1. Böylece, bir kare matrisin tersinir olup olmadığını, determinantına bakarak belirleyebiliriz: A matrisinin tersinir olması için gerek ve yeter koşul, |A| ≠ 0 olmasıdır. A tersinir ise, |A-1| = (|A|)-1 dir.

Bir n × n matris A = [aij ] , 1 ≤ i , j ≤ n verilmiş olsun Bir n × n matris A = [aij ] , 1 ≤ i , j ≤ n verilmiş olsun. A nın k-inci satırını atıp onun yerine i-inci satırını yazarak elde edilen matris A′ ile gösterilsin. Eğer k ≠ i ise, A′ nün iki satırı aynı olacağından |A′ | = 0 dır; k-inci satıra göre açılım yazılırsa, Ters Matris , Cramer Kuralı. elde edilir. Burada, k ≠ i olduğunu unutmayalım. k = i için yukarıdaki ifade |A | ya eşit olacağından, olduğu görülür. | A | ≠ 0 ise, iki taraf | A | ile bölünerek elde edilir. Son ifade, j-k girdisi olan matrisin A nın tersi, A-1 ,

olduğunu gösterir. Gerçekten, A ile j-k girdisi cjk olan matrisin çarpımının i-k girdi-si, A nın i-inci satırı [ai1 , ai2 , . . . , ain ] ile diğer matrisin k-inci sütunu nın çarpımı, yani olur ki, bu, söz konusu iki matrisin çarpımının birim matris, In, olduğunu gösterir. O halde, | A | ≠ 0 ise, A = [ aij ] nin tersi, dır.

Özel olarak, 3×3 matrisler için ; | A |≠0 ise, Yukarıdaki tartışmalar, 2×2 matrisler için de geçerlidir. A(1,1) = a22, A(1,2) = a21, A(2,1) = a12 ve A(2,2) = a11, |A| = a11 a22 – a21a12 alınarak ; a11 a22 – a21a12 ≠0 ise, elde edilir.

Örnek. matrisinin tersini bulalım. ve böylece

Örnek. matrisinin tersini bulalım.

Ters matris için yukarıda bulunanlar doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne uygulanınca, Cramer Kuralı olarak bilinen kural elde edilir. Değişken sayısı denklem sayısına eşit olan doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisini A , değişkenlerden oluşan sütun matrisini X ve sağ taraf sabitlerinden oluşan sütun matrisini B ile göstererek verilen denklem sisteminin AX = B matris denklemi olarak yazılabileceğini; A tersinir ise, bu denklemin tek bir çözümü bulunduğunu ve çözümün X = A-1B ile verildiğini biliyoruz.

Dolayısıyla, denklem sisteminin tek çözümünün i-inci bileşeni, A-1 in i-inci satırı ile B nin çarpımıdır. A-1 in hesabı için yukarıda geliştirdiğimiz yöntem kullanılırsa, çözümün i-inci bileşeninin olduğu görülür. Dikkat edilirse, yukarıda ikinci ifadedeki toplam, katsayılar matrisi A nın i-inci sütununun B sütunuyla değiştirilmesiyle elde edilen matrisin determinan-tının i-inci sütuna göre açılımıdır. A nın i-inci sütununun B sütunuyla değiştirilmesiyle elde edilen matris A(i,B) ile gösterirlirse, olduğu görülür. Elde edilen sonucu teorem olarak ifade edelim.

Elde edilen sonucu teorem olarak ifade edelim. Teorem (Cramer Kuralı). Eğer denklem sisteminin katsayılar matrisi A tersinir ise, bu sistemin bir tek çözümü vardır ve bu tek çözüm, A nın i-inci sütunu sistemin sağ taraf sabitlerinden oluşan B sütunuyla değiştirilince elde edilen matris A (i,B) olmak üzere, dır.

Cramer kuralının üç değişkenli denklem sistemi için, katsayılar matrisinin determinantı | A | ≠ 0 olmak koşuluyla, çözüm dır. Bir örnek verelim.

Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları Böylece, sistemin tek çözümü, olarak elde edilir.

Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları Böylece, sistemin tek çözümü, olarak elde edilir.

denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Örnek. denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar matrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunla değiştirince elde edilen matrislerin determinantları , Böylece, sistemin tek çözümü, olarak elde edilir.

Cramer kuralı iki değişkenli iki denklemden oluşan denklem sistemleri için de geçerlidir: ise, denklem sisteminin tek çözümü yanda verildiği gibidir. Örnek. denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı olup sistemin tek çözümü dir.

Leontief Girdi - Çıktı Analizi Leontief Input - Output Analysis

Wassili Leontief 1906 yılında Petersburg’da doğdu. Üniversiteyi Petersburg’da bitirdi; Almanya’da doktora yaptı. 1931 yı-lında New York’a gitti. 1973 yılında Nobel ekonomi ödülünü aldı. 1999 yılında vefat etti.

Girdi – Çıktı Analizi, bir ekonomideki endüstrilerin son(dış) taleplerle birlikte birbirlerinin(iç) taleplerini de karşılayacak kadar üretim yapmalarını sağlayacak denge koşullarını belirlemek için yapılır. Örnek olarak, iki endüstrili bir ekonomi düşünelim. Elektrik Şirketi E ve Su Şirketi S. Her iki şirketin de çıktısı(output) TL ile ölçülsün. Elektrik şirketi, su ve elektrik kullanarak elektrik; su şirketi de yine su ve elektrik kullanarak su üretiyor. 1 TL lik elektrik üretmek için 0.2 TL lik elektrik ve 0.1 TL lik su , 1 TL lik su üretmek için 0.4 TL lik elektrik ve 0.2 TL lik su gerekiyor. Dış sektörün talebi ise, 18 000 TL lik elektrik ve 12 000 TL lik su. Denge koşullarını belirleyelim.

Elektrik Şirketi E ve Su Şirketi S. 1 TL lik elektrik üretmek için 0. 2 TL lik elektrik ve 0.1 TL lik su , 1 TL lik su üretmek için 0.4 TL lik elektrik ve 0.2 TL lik su gerekiyor. Dış sektörün talebi 18 000 TL lik elektrik ve 12 000 TL lik su. Önce, dış talep kadar, yani 18 000 TL lik elektrik ve 12 000 TL lik su üretildiğini varsayalım: Bu takdirde, şirketlerin harcamaları gereken elektrik ve su miktarları şöyledir: 0.2(18000) + 0.4(12000) = 8400 TL lik elektrik, 0.1(18000) + 0.2(12000) = 4200 TL lik su Elektrik üretmek için harcanan elektrik Su üretmek için harcanan elektrik Elektrik üretmek için harcanan su Su üretmek için harcanan su Bu durumda dışarıya sadece 9600 TL lik elektrik ve 7800 TL lik su verilebilir. Denge koşulları gerçekleşmemiştir!.. Denge koşulları ne zaman gerçekleşir? Üretilen su ve elektrik tüm iç ve dış talepleri karşıladığı zaman.

Temel Girdi-Çıktı Problemi: Bir ekonomide her bir endüstrinin üretim gerçekleştirebil-mesi için gerekli iç talepleri bilindiğinde, bu endüstrilerin hem iç talepleri hem de dış talepleri karşılayacak çıktı sağlamaları için denge koşullarının belirlenmesi.. Yukarıda ele aldığımız modelde, elektrik(E) ve su(S) şirketlerinin hem iç talepleri hem de dış talepleri karşılayacak şekilde üretim yapması isteniyor. Denge koşullarını belirlemek için x1 = elektrik şirketinin toplam çıktısı, x2 = su şirketinin toplam çıktısı olsun. İç Talepler Dış talepler Elektrik için 0.2x1 + 0.4x2, Elektrik için d1 = 18 000, Su için 0.1x1 + 0.2x2 Su için d2 = 12 000 TL.

X = MX + D İç ve dış talepler birleştirilince denklem sistemi elde edilir ki, bu sistem matris biçiminde Çıktı matrisi Teknoloji matrisi olarak ifade edilebilir. Eğer Dış talep matrisi tanımlanırsa, yukarıdaki denklem X = MX + D matris denklemine dönüşür.

X = MX + D (I - M)X = D , Elde edilen matris denklemi ya da biçiminde yazılabilir. Bu matris denklemi, öğrendiğimiz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Katsayılar matrisi, I-M, bir kare matris olduğundan, bu matris denklemi ters matristen yararlanılarak çözülebilir: Biz örnek problemimizin matris denklemini Cramer Kuralı ile çözeceğiz. , Cramer Kuralında ile girdi-çıktı denkleminin çözümü olarak elde edilir. O halde, iç ve dış talebin karşılanabilmesi için x1 = 32000 TL lik elektrik ve x2 = 19000 TL lik su üretilmelidir. Bu üretimle, 18000 TL lik elektrik ve 12000 TL lik su olan dış talep karşılanacak ve bunu mümkün kılacak üretimin yapılabilmesi için gerekli iç talep de karşılanacaktır.

Tartışmış olduğumuz problem iki endüstrili bir ekonomide girdi-çıktı problemidir. Çözüm yöntemimizi tekrar gözden geçirelim. E ve S endüstrileri 1 TL lik E için E girdisi E S Çıktı Teknoloji matrisi: 1 TL lik S için E girdisi S E Girdi 1 TL lik E için S girdisi 1 TL lik S için S girdisi Çıktı matrisi: Dış talep matrisi :

İki endüstrili ekonomi modeli E1 ve E2 endüstrileri 1 TL lik E1 için E1 girdisi E1 E2 Çıktı Teknoloji matrisi: 1 TL lik E2 için E1 girdisi E2 E1 Girdi 1 TL lik E1 için E2 girdisi 1 TL lik E2 için E2 girdisi Çıktı matrisi: Dış talep matrisi :

E1 E2 E1 E2 X = MX + D X = (I - M)-1 D. Girdi Çıktı aij : Ej nin 1 TL lik çıktı yapması için Ei den beklenen girdi X = MX + D Girdi – Çıktı matris denklemi: Girdi-çıktı matris denklemi, doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için gördüğü-müz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Gauss-Jordan yoketme yöntemi, ters matris yöntemi ve Cramer Kuralı gibi. (I - M)-1 var olmak koşuluyla, ters matris yöntemi ile çözüm: X = (I - M)-1 D.

Üç endüstrili ekonomi modeli E1 , E2 ve E3 endüstrileri E1 E2 E3 E1 E2 E3 (Çıktı Matrisi) (Dış Talep Matrisi) (Teknoloji Matrisi) aij : Ej nin 1 TL lik çıktı yapması için Ei den beklenen girdi Girdi – Çıktı matris denklemi: X = MX + D İki endüstrili modelde olduğu gibi, girdi-çıktı matris denklemi, doğrusal denklem sis-temlerinin çözümü için gördüğümüz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Gauss-Jordan yoketme yöntemi, ters matris yöntemi ve Cramer Kuralı gibi. (I - M)-1 var olmak koşuluyla, ters matris yöntemi ile çözüm X = (I - M)-1 D verir.

Örnek. Enerji (E), İnşaat (İ) ve Taşımacılık (T) sektörlerinden oluşan bir ekonomide, 1 TL lik enerji üretimi için 0.3 TL lik enerji, 0.2 TL lik inşaat, 0.1 TL lik taşımacılık girdisi; 1 TL lik inşaat için 0.2 TL lik enerji, 0.1 TL lik inşaat, 0.1 TL lik taşımacılık girdisi; 1 TL lik taşımacılık için 0.2 TL lik enerji, 0.1 TL lik inşaat ve 0.1 TL lik taşımacılık girdisi gerekmektedir. Dış talep, enerji için 30 milyon TL lik, inşaat için 20 milyon TL lik ve taşımacılık için 20 milyon TL liktir. İç ve dış talebin denge koşullarında karşılanabil-mesi için her sektörün gerçekleştirmesi gereken çıktı ne kadar olmalıdır? Teknoloji matrisi, çıktı matrisi ve dış talep matrisi, sırasıyla, şöyledir:

O halde, iç ve dış talebin tamamının karşılanabilmesi için, enerji sektörü 64 milyon TL lik, inşaat sektörü 40.2 milyon TL lik ve iinşaat sektörü 33.8 milyon TL lik çıktı ger-çekleştirmelidir.