PARABOLLAR EŞİTSİZLİKLER

EŞİTSİZLİKLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler: a, b ∈ R  ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b >0    ;    ax + b < 0  ,   ax + b ≥ 0  ,   ax + b ≤0 şeklindeki  ifadelerin her birine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Bu eşitsizlikleri sağlayan x reel sayıların kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi  denir. Çözüm  kümesini bulmak için ax + b =  0    denkleminin kökü olan     x =  (-b) / a  değeri  sayı doğrusuna  yerleştirirsek;

a> 0 ise a<  0 ise Tabloda   işaretler belirlendikten sonra   ax + b   > 0  eşitsizliği için pozitif ;  ax + b < 0   eşitsizliği için negatif kısımlar çözüm olarak alacağız. ax + b > 0   ve ax + b < 0  eşitsizliklerinde  kok olan  (-b)/a  değeri çözüm kümesine dahil edilmez. ax + b ≥ 0 ve ax + b ≤0   eşitsizliklerinde  kok olan  (-b)/a  değeri çözüm kümesine dahil edilir.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler: a ≠ 0  a, b , c  ∈ R  olmak üzere ; ax2+ bx + c >0   ,   ax2+ bx + c < 0 ,     ax2  + bx + c  ≥ 0    ,     ax2  + bx  + c ≤0 şeklindeki eşitsizliklere ikinci  dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.  Eşitsizliği sağlayan x gerçel sayılarının oluşturduğu küme eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturur. İkinci dereceden  bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi  aranırken

f(x) =  ax2 + bx + c fonksiyonunun ∆  (diskriminanat )ve a ya bağlı olarak işaret tablosu yapılır. ax+ bx + c  =0 denkleminde ∆= b2 – 4ac    (diskriminanat ) ∆<0    ise reel kok yoktur

Not: a ≠ 0  x  ∈ R  olmak üzere ; ax2+ bx + c   eşitsizliğinin daima sağlanması için  a>0  ve ∆< 0 ax2 + bx + c   eşitsizliğinin daima sağlanması için  a<0  ve ∆> 0 olmalıdır. ∆=  0  ise  Çakışık  (eşit) iki reel kökü vardır. x1  = x2  dir.

∆> 0  ise farklı iki reel kökü vardır. x1  ve x2  gibi iki farklı reel kökü vardır. x1  < x2   kabul edilirse f(x) =  ax2 + bx + c  nin işaret tablosu

Çarpım ve Bölüm Şeklindeki  Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi : Eşitsizliğin bir tarafı sıfır yapıldıktan sonra pay ve paydada bulunan her bir çarpanının gerçel kökleri bulunarak sayı doğrusunda küçükten büyüğe doğru sıralanır. Pay ve paydada bulunana her bir çarpanın en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpımım eşitsizliğin işaretini verir. Eşitsizliğin işareti tabloda bulunan en büyük kökün sağına yazılır. Tabloda sola doğru  tek katlı köklerde işaret değiştirerek, çift katlı köklerde işaret değiştirmeden devam edilir. Bölüm durumundaki eşitsizliklerde ifadeyi tanımsız yapan sayılar çözüm kümesine dahil edilmez.

Tek katlı kökleri         ,   Çift katlı kökleri          ,  İfadeyi tanımsız yapan kökleri         şeklinde göstereceğiz. Örnek:

(2-x )2 = = 0 ise x = 2 (çift katlı kök) Eşitsizliğini sağlayan x  in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım. Çözüm: 4-x = 0   ise  x= 4 (2-x )2 = = 0 ise  x = 2 (çift katlı kök) x2 -x-42 = 0  ise x = -6  veya x = 7  olarak bulunur. Şimdi eşitsizliğin işaretini belirleyelim. En büyük dereceli terimler

(-x ) , (-x )2 , (x )2 olduğundan işaretler çarpımı (-). (+) (-x ) , (-x )2  , (x )2 olduğundan işaretler  çarpımı  (-).(+).(+) = (-) (-) işareti tabloda en büyük kökün sağının işaretini belirler. Şimdi de tablomuzu çizelim.

Çift katlı köklerde işaret  değiştirmediğimize dikkat edelim. İfadeyi tanımsız yapan  paydanın kökleri    x = -6 ve   x = 7   nin çözüm kümesine dahil  etmiyoruz. Bu durumda  çözüm kümesi; Sonuç olarak x in alabileceği en büyük   tam sayı d

PARABOLLAR

A. TANIM (PARABOL)   a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir. İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir. Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI 1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası T(r, k) olmak üzere, Ü Parabol    doğrusuna göre simetriktir

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır. doğrusu parabolün simetri eksenidir. y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır. C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun. ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser. D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez. D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir. D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır. .a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır. 3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür. |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için, 1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur. 2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur. 3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir. E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir. Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır. 2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir. Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır. 3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz. y1 = ax12 + bx1 + c ... (1) y2 = ax22 + bx2 + c ... (2) y3 = ax32 + bx3 + c ... (3) Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz. F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim. f(x) = g(x)  ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... (*) (*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir. Buna göre, (*) denkleminde;  D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.   D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.  D = 0 ise, parabol doğruya teğettir. Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

ÖMER HAYYAM Tarihçilerin verdigi bilgiye göre Ömer Hayyam 1048 yilinda Nisabur kentinde dogdu. (Dogum yilini 1044 olarak veren kaynaklar da vardir.) Asil adi Giyaseddin Ebu'lfeth Bin Ibrahim El-Hayyam dir. Selçuklu döneminin yetistirdigi büyük matematikçi ve astronomlardandir. Edebiyat , tip, tarih, hukuk ve astronomi konularinda genis bilgisiyle ünlüdür. Ancak Hayyam'in felsefe , tasavvuf, fikih, tarih ve tip konularinda yazdigi bilinen bir çok yapiti günümüze ulasamamistir. Hayyam ,Matematikçi ruhuyla sair ruhu arasinda bocalayan , körü körüne inanmaya ve baglanmaya isyan eden , gerçegin sirlarini gizleyen karanligin önünde yapayalniz kalmis, yeni seyler ögrendikçe bilgisizligin bilincine varmis, materyalist ve natüralist bir bilim adamidir.

ALİ KUŞÇU Ali Kuşçu asıl adı Ali Bin Muhammed (d. 1403, Semerkant - ö. 16 Aralık 1474, İstanbul), Türk.[1]  gökbilimci, matematikçi  ve dilbilimci. Gökbilimci ve kelam alimi olan Ali Kuşçu, 15. yüzyıl'da Semerkant'ta doğdu. Babası Muhammed, Timur İmparatorluğu Sultanı ve astronomu Uluğ Bey'in kuşçusu olduğu için, ailesi "Kuşçu" lakabıyla meşhur oldu. Küçük yaştan itibaren matematik ve astronomiye ilgi duyan Ali Kuşçu, Bursalı Kadızâde Rumî, Gıyâseddin Cemşîd ve Muînuddîn Kâşî’den matematik ve astronomi dersi aldı. Daha sonra bilgisini artırmak için Kirman'a gitti. Burada Hall-ü Eşkâl-i Kamer (Ay Safhalarının Açıklanması) adlı risale ile Şerh-i Tecrîd adlı eserini yazdı. Ali Kuşçu, Semerkant ve Kirman'da eğitimini tamamladıktan sonra Uluğ Bey'e yardımcı ve rasathanesine müdür oldu. 1449'da hacca gitmek istedi. Tebriz'de Akkoyunlu hükümdarı Uzun Hasan kendisine büyük saygı gösterdi ve Osmanlı Devleti ile barış görüşmelerinde yardımını istedi. Ali Kuşçu, Uzun Hasan'ın sözcülüğünü yaptıktan sonra II. Mehmed'in davetiyle İstanbul'a geldi. Osmanlı - Akkoyunlu sınırında II. Mehmed'in emriyle büyük bir törenle karşılanan Ali Kuşçu, Ayasofya  medresesine müderris oldu. Ali Kuşçu, 16 Aralık 1474  tarihinde İstanbul'da öldü.

Salih Zeki Bey (1864 - 1921) XIX. yüzyılın ikinci yarısında yetişmiş, değerli eserler vererek, 57 yaşında hayata gözlerini kapamış, bir ilim ve fikir adamıdır. Salih Zeki Bey, 1864 yılında İstanbul'da doğmuştur. Ortaöğrenimini Darüşşafaka' da görmüş, yüksek öğrenimini Paris'te elektrik mühendisliği bölümünü bitirmiştir.Salih Zeki, Darüşşafaka ve Mühendis Mektebi'nde matematik ve fizik dersleri okutmuştur. Daha sonraki çalışmalarının tümünü üniversiteye vermiştir. Bugünkü gerçek üniversitenin kurucusu Salih Zeki'dir. Türkiye'ye, matematik, fizik ve fen derslerini batılı yöntemleriyle ilk getiren odur. Birçok gazete ve dergide çıkan güzel yazılarıyla Türk gençliğini edebiyat kadar matematiğe yönelten ve matematiği sevdiren yine o olmuştur.  Salih Zeki, aydın fenciler silsilesinin en dikkate değer son halkasıdır. İlk ve ortaöğrenimin ihtiyacı olan matematik, geometri, cebir, astronomi, trigonometri ve fizik kitaplarından başka binlerce sahifeyi bulan, yüksek seviyedeki Darülfünun ders kitapları yazmış; felsefi konularda telif-tercüme eserler bırakmış, bilim tarihi ile ilgili incelemeler yayınlamış, bizzat Mizan-ı Tefekkür adlı bir matematik kitabı yazmış, anıt bir eser olarak Kamus-ı Riyaziyat'ı hazırlayarak bunun ilk cildini yayınlamıştır.

Cahit Arf (1910 - 26.12.1997) Ülkemizde matematigin simgesi haline gelen Cahit ARF 1910 yilinda Selanik'te dogdu. 1932 yilinda Galatasaray Lisesi'nde matematik ögretmenligi, 1933 yilinda Istanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde profesör yardimcisi (Doçent adayi) olmustur. Doktorasini 1938 yilinda Almanya'da Clölting Üniversitesi'nde tamamladi. Daha sonra Istanbul Üniversitesi'ne dönen ARF. 1943'de profesör. 1955'de Ordinaryüs Profesör oldu. 1964-1965 yillari arasinda Fransa'da bulunan Prineiton'daki Yüksek Arastirma Enstitüsü'nde konuk ögretim üyesi olarak görev yapti. 1938 yilindan ben Cahit ARF cebir, sayilar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematigi gibi çok çesitli alanlarda yaptigi çalismalarla matematige temel katkilarda bulunmus, yapisal ve kalici sonuçlar elde etmistir. Bütün Türk matematikçilerine dolayli veya dolaysiz bir sekilde esin kaynagi olmus, yaptigi uyarilar ve verdigi fikirlerle çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarini genisletmis ve çalismalarini yeni bir bakis açisiyla yönlendirmelerini saklamistir.

Ali Nesin (1956 - ?) 1956′da İstanbul’da doğdu. İlkokuldan sonra ortaokulu İstanbul’da Saint Joseph Lisesi’nde, liseyi de İsviçre’nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 yılları arasında Paris VII Üniversitesi’nde matematik öğrenimi gördü. Daha sonra ABD’de Yale Üniversitesi’nde matematiksel mantık ve cebir konularında doktora yapan Ali Nesin, 1985-1986 arasında Kaliforniya Üniversitesi Berkeley Kampusü’nde öğretim üyeliği yaptı. Türkiye’ye kısa dönem askerlik görevi için geldiği sırada “orduyu isyana teşvik” iddiasıyla tutuklanarak yargılandı. Yargılanma sonunda beraat ettiği halde pasaport verilmediği için işine dönemeyen Nesin, sonunda yeniden passaport alarak yurtdışına gitti. 1987-1989 arasında Notre Dame Üniversitesi’nde yardımcı doçent, ardından 1995′e kadar Kaliforniya Üniversitesi Irvine Kampusü’nde doçent ve daha sonra profesör olarak görev yaptı. 1993-1994 Öğretim Yılı’nı Bilkent Üniversitesi’nde misafir öğretim görevlisi olarak geçirdi. 1995′te, babası Aziz Nesin’in ölümü üzerine yurda kesin dönüş yaptı ve Nesin Vakfı yöneticiliğini üstlendi. Ayrıca Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü Başkanı olan Ali Nesin iki çocuk sahibidir. Kasım 2004′den beri de Nesin Yayınevi genel yönetmenliğini yapmaktadır. Ali Nesin’in Matematik ve Korku, Matematik ve Doğa, Matematik ve Sonsuz, Develerle Eşekler, Önermeler Mantığı adlı kitaplarının yanısıra çeşitli dergilerde çıkmış bilimsel makaleleri ve İngilizce bir kitabı bulunmaktadır. Matematiksel araştırma alanı “Morley mertebesi sonlu gruplar”dır. Aynı zamanda, üç ayda bir yayımlanan, Matematik Dünyası adlı bir matematik dergisi çıkarmaktadır. Matematik araştırmaları, bölüm başkanlığı ve Nesin Vakfı yöneticiliğinin yanı sıra yağlıboya resim, desen ve portre çalışmaları da yapmaktadır.  

Suphan Oruç-Gazi Araz Sınıf:10-A