GEOMETRİ PROJE ÖDEVİ BERRİN CANERİ 9/G 419 KONU: koordinat DoGRUSU, DIK KOORDINAT DUZLEMI,VEKTORLER KAYNAK: INTERNET,FEM YAYINLARI.

Eksenlerin kesiştiği noktaya “orijin” denir. GEOMETRİ Dik koordinat düzlemi Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu düzleme “ analitik düzlem “ denir. Analitik düzlem dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak adlandırılır. Dik koordinat sisteminde yatay eksen X ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise Y ekseni (ordinat ekseni)’dır dır Eksenlerin kesiştiği noktaya “orijin” denir.

Orjin koordinatları 0(o,o)’dır. Analitik düzlemde her noktaya her noktaya bir (x,y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir. P(x,y) noktası iççin ,x noktasının apsisi, y de ordinatı dır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır Orjin koordinatları 0(o,o)’dır.

*koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayrılırlar. X ekseni üzerinde noktaların ordinatları sıfırdır. A(a,0) noktası gibi, y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır B(0,b) noktası gibidir. *koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayrılırlar. 1- Bölge = x>0 y>0 2-Bölge = x<0 3-Bölge = x<0 y<0 4-Bölge = x>0 Y<0

Örnek-1 : A(5,y+2) noktası 0x ekseni üzerinde B(x+4,3) Noktası 0y ekseni üzerinde olduğuna göre C(x.y) noktası hangi bölgelerdir? (A) 1. BÖLGE (B) 2.BÖLGE (C) 3.BÖLGE (D) 4.BÖLGE (E) HİÇBİRİ Çözüm-1: cevap C’dir Y+2=0 x+4=0 Y=-2 x=-4 C (-4 -2)

(2,-3) (B) (1-2) (C) (1,1) (D) (0,1) (E) (4,-4) Örnek-2 : (a-3, b+2) noktası kordinat sisteminin 3, Bölgesinde olduğuna göre (a,b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? (2,-3) (B) (1-2) (C) (1,1) (D) (0,1) (E) (4,-4) Çözüm- : cevap A dır. (a-3,b+3) a-3<0 b+2<0 a<0 b<-2 (a,b)

DOĞRU ANALATİĞİ . Doğrunun denklemi: Bir doğru üzerindeki denklemin kordinatlarını veren eşitliğe “ doğrunun denklemi” denir. Y= mx+n Y= mx+n eşitliğine m= eğim n= sabit sayıdır. Ax+by+c=0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa. Y= - a x – c elde edilir. b d x’in katsayısı - a eğimi verilir. Öyle ise, b Ax + by+c =0 doğrusunun eğimi M = - a B Eğimi eşit olan doğrulara “paralel doğrular” denir.

Çözüm: Cevap B dir çünkü ; Örnek: A(1) ve B(11) olmak üzere c noktası A ile B arasında bulunup [AC] = 2 koşulunu sağlıyorsa c noktası kordinatını bulunuz. [CB] 3 A-7 B-9 C-8 D-10 E-2 Çözüm: Cevap B dir çünkü ; [AC] =x-1 [BC] = x-11 x-1 = 2 11-x 3 3x-3 =22-2x 5x=25 X=5 C (9)

AB vektörü AB =( xy : xy =AB )’ şeklinde gösterilebilir. Vektörler Düzlemdeki yönü doğru olan parçaların üzerinde tanımlı eşlik bağlantısın oluşturduğu denkilk, sınıflarının her birine vektör denir. AB yönlü doğru parçasına eş olan doğru parçalarından bazıları gösterilmiştir. AB yönlü doğru parçasına eş olan tüm yönü doğru parçaların kümesi ( xy : xy =AB )’ dir AB vektörü AB =( xy : xy =AB )’ şeklinde gösterilebilir.

SIFIR VEKTÖRÜ Başlangıç ve bitim noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü’’ denir. O = (AA , BB ,…) kümesinde 0 = AA = BB,… şeklinde gösterilir. 0 vektörünün uzunluğu [AA] = [BB] = 0 yönü ve doğrusu tanımsızdır…

TERS VEKTÖRLER Doğrultuları aynı yönleri ters olan vektörlere denir. Bu yönlü doğru parçalarlının boyları eşit de olabilir farklıda olabilir.

BİR VEKTÖRÜN NORMU AB yönlü doğru parçalarının A noktasının ile B noktasının arasındaki uzaklığı AB vektörünün normu denir. AB yönlü doğru parçasının uzunluğu , |AB| sembolü ile gösterilir. AB vektörünün büyüklüğü(normu) , ||AB|| sembolü ile gösterilir. AB vektörünün normu diye okunur. ||AB|| = ||AB|| =a ise , a > 0’dır. ||AA|| = ||0|| = 0 dır.

A=(-3 , 5) ve B=(-6 , -2) vektörleri veriliyor. ÖRNEK A=(-3 , 5) ve B=(-6 , -2) vektörleri veriliyor. 3.A - C = 2.B olduğuna göre , C vektörü kaçtır ? A) (4.12) B) ( 8,10) C) (10 , 14 ) D) (3 , 12) E) (3 , 19) ÇÖZÜM Cevap E’ dir. çünkü ; 3A – 2B = C 3(-3 , 5) – 2( -6,-2) = C (-9 , 15) +(12 , 4 ) = C C = ( 4 , 19)

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

S-1) A(2 , 1) VE B(1 ,3) noktaları ile CD = (4 , 5) vektörü veriliyor S-1) A(2 , 1) VE B(1 ,3) noktaları ile CD = (4 , 5) vektörü veriliyor. Buna göre , AB – CD vektördür aşağıdakilerden hangisidir ? ( -5 , -1) B) ( -5 , 1) C) ( -4 , -1) D) ( -4, -1) E) ( 3 , 9) ÇÖZÜM Cevap A’dır . Çünkü ; AB = B – A =(1,3)-(2,-1) AB =(-1,4) AB – CD = (-1 , 4) – (4,5) =(-5,-1)

S-2) e1 ve e2 birim vektörler olmak üzere ; A:3e1 + 4e2 B:12e1 + 5e2 İse |A| + |B| kaç birim’dir ? A ) 14 B) 18 C ) 20 D) 24 E) 25 ÇÖZÜM Cevap B’dir. Çünkü ; A= 3e1+4e2=A =(3 , 4) B=12e1+5e2=b=(12,5) |A|=√ 3^2+4^2 = 5 I B I = √12^2+5^2 = 13 13+5=18

S,3= iki koordinat sisteminde a(m+3,n-1) noktası, 4 S,3= iki koordinat sisteminde a(m+3,n-1) noktası, 4. Bölgesinde B(m,n) noktası kaçtır? A ) (-2,-1) B) (-2,3) C) (3,4) D) (8,2) E) (10,-7) ÇÖZÜM Cevap A dır. Çünkü: A(m+3, n-1 ) noktası 4 . bölgede ise M+3 > 0…..m>-3 n-1 <0……..n<1 =(-2,-1)

S. 4 A(-3,7) ve B(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir S.4 A(-3,7) ve B(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A ) 20 B) 30 C) 15 D) 10 E) 5 ÇÖZÜM Cevap C dir çünkü ; [AB] = √ (-3-5)2+(7-1)2 =√64+36 = √100 =10 birim

S.5 A(1,4) ve B(3-10) noktaları veriliyor [AB] orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir? A) √12 B) √13 C) 14 D) 24 E) √10 ÇÖZÜM Cevap B dir Çünkü; [AB]’ nin orta noktası C(x0,y0) olsun X0= 1+3 =2, y0 4-10 =-3 C(2,-3) noktasının orjine uzaklığı, [0C] =√22+(-3)2 =√13 birimdir.

S.6 Köşe noktalarının ordinatları, A(-4 ,5), B(-2,7), C(6,10), D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 18 E) 12 ÇÖZÜM Cevap E dir çünkü ; -4+6 =-2+ aa = 4 5+10 = 7+bb= 8 A+b = 4 + 8 = 12 olur.

S.7 Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4) B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları G (4,3) ise a+b kaçtır? A) 12 B) 18 C) 24 D) 25 E) 11 ÇÖZÜM Cevap E dir çünkü ; 4 = 5 -1 + aa = 8 3= 4 +2 + bb = 3 Buradan = a+b = 8+3 =11 olur.

S.8 0x ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (-2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? A) 1 B) 4 C) 5 D) 3 E) 0 ÇÖZÜM Cevap E dir Çünkü ; a= 45m = tan45 =1 Eğimi m=1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi y-1=1(x+2) y-x-3 =0 olur

S. 9 Dik koordinat sisteminde d doğrusunun denklemi nedir S.9 Dik koordinat sisteminde d doğrusunun denklemi nedir ? A) 1 B) 0 C) 2 D) 4 E) 8 ÇÖZÜM Cevap b dir çünkü A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğrunun denklemi 3x – 2y +b = 0 dir.

S. 10= 2x-y+4=0 ve x+y +2=0 doğrularının kesiştiği nokta nedir S.10= 2x-y+4=0 ve x+y +2=0 doğrularının kesiştiği nokta nedir? A) (-2,2) B) (-3,4) C) (-2,0) D) (0,0) E) (1,-2) ÇÖZÜM Cevap C dir. Çünkü; 2x-y+4=0 X+y+2=0 3x+6=0x =-2 elde edilir. Denklemlerin herhangi birinde x=-2 yazılırsa y=0 bulunur bu göre bu iki doğru (-2,0) noktaları kesişirler.

S.11= Köşelerinin koordinatları A(3,8) B(4, -6) C(-8,-2) olan ABC üçgenin BC kenarına ait kenar ortay uzunluğu kaç birimdir? A) 8 B) 14 C) 18 D) 24 E) 13 ÇÖZÜM Cevap E dir Çünkü; √(29+144) =√169 =13 olur.

S.12 Dik koordinat düzleminde verilen A(2,a-3) B(a+2,-5) noktaları aynı bölegede olduğuklarna göre a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) -3< a <3 B) 3< a <-2 C) -2< a <3 D) a< -2 <3 E)-2< 3 <a ÇÖZÜM Cevap C dir Çünkü; a+2 > 0 a>-2 a-3<0 a<0 buna göre; -2<a<3

S.13 A(-2) ve B(x) noktaları arasındaki uzaklık 6 birim ise x değerini bulunuz ? A) (4,-8) B) (-8,9) C) (4,12) D) (-4,8) E) (4,8) ÇÖZÜM Cevap A dir. Çünkü ; a ile b arası uzaklık [a-b] [x-(-2)] = 6 [x+2]=6 X+2=6 x+2= -6 X=4 x=-8 X=(4,-8)

S.14 Sayı doğrusu üzerinde A(-2) ve B (7) olmak üzere [AC]=2[BC] eşitliğini sağlayan C noktalarını bulunuz. A) 4 veya 8 B) 5 veya 10 C) 3 veya 9 D) 4 veya 16 E) 16 veya 24 ÇÖZÜM Cevap D dir. Çünkü; C(x) [x+2] =2[7-x] x+2=2(x-7) X+2=2(7-x) x+2= 2x-14 X+2 = 14-2 x x=16 3x=12 X=4 4 veya 16.

S. 16 A(3,1) , B(3,-3) ise AB vektörünün uzunluğu kaç birim. Dir S.16 A(3,1) , B(3,-3) ise AB vektörünün uzunluğu kaç birim. Dir. ÇÖZÜM AB = (3,-3, -3-1) AB = (0,-4) [AB]=√0^2+(-4)^2 [AB]= 4 br S.17 A(5,-2) noktası ve BA=e₁ +3e₂ vektörü veriliyor B vektörünün uzunluğu kaçtır? ÇÖZÜM BA = A-B B= A-BA B= (5-2)-(1,3) B= (4,-5) [B]=√4^2+(-5)^2 = [B] = √41 birimdir.

S.18 V₁=(2,-3) ve V₂ = (-4,m) vektörleri doğrusal bağımlı olduğuna göre m kaçtır. ÇÖZÜM: 2/-4 = -3/m == m=6

S.19 [A] = 6 , [B] =5 Vektörleri arasındaki açı 30 derece olduğuna göre A . B skalel çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM A . B = [A] . [B] . cos30 A . B = 6,5 √3/2 A . B =15√3

S. 20 A(1,4), B(3,3),(-2,-5) noktaları veriliyor S.20 A(1,4), B(3,3),(-2,-5) noktaları veriliyor. AB+BC toplam vektörünün bileşenleri kaçtır? A) (4, 8) B) (-3,-9) C) (-4,-4) D) (8,16) E) (9,3) ÇÖZÜM: Cevap B dir Çünkü : AB+BC= AC AC=C-A = (-2,-5)-(1,4) AC= (-3,-9) olur.

GEÇEN YıLLARDA ÇIKMIŞ SORULAR

1-) A(2) ve B(x) noktaları arasındaki uzaklık 6 br ise x değerini bulunuz. [x-(-2)] = 6 [x+2]=6 X+2=6 x+2=-6 X=4 x2 = 8 X=4-8

2-) 4x-3y+2 = 0 doğrusu ile 2√2x-y+1=0 doğrusunun arasındaki açının cosinisü aşağıdakilerden hangisidir? A)1/3 B) 3-8√2/15 C)3+8√2/15 D)√3/2 E)√2/2 CEVAP : C

3-) [6,-2] ve [3,x] ikililerine eşlenen serbest vektörlerin birbirine dik olması için x aşağadakilerin hangisine eşit olmalıdır.? A)9 B)4 C)-6 D)-9 E)2 CEVAP : A

4-) A=(3,4) vektörünün y=x doğrusu üzerindeki iz düşümü uzunluğu kaç birimdir.? A)3√2 B)4√2 C)7√2 D)4/√2 E) 7/√2 CEVAP : D

5) V₁= (3,4) V₂= (12,5) vektörleri arasındaki açıyı ortalayan bir vektör V= (1,a) olduğuna göre a kaç olabilir? A) 5/7 B)7/9 C)9/11 D)11/13 E)13/15 CEVAP : E

6) A=[2-4], B[8,-6] vektörleri veriliyor 6) A=[2-4], B[8,-6] vektörleri veriliyor. X A+yB =[-4,-2] eşitliğini sağlayan x,y değerleri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1,-2 B)1,-1 C)2,-1 D)2,1 E)2,2 CEVAP : C

7) A=(2,-2) ve B= (√3,1) vektörleri arasındaki açı kaç derecedir ? A) 90 B) 75 C)60 D)45 E)30 CEVAP : B

8) A(1,0,-1) noktasından geçen ve N=(-1,-2,1) vektörüne dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir. A) x+2y –z -2 =0 B)x-2y+2z=0 C)x+y+z-1=0 D)2x-y+z=0 E) x-y-z-1=0 CEVAP :A

9) Denklemleri d₁: x+1/-2 = y-2/3 = z-4/-1 d₂: x/a = y/2 = z/-4 ola doğrunun birbirine dik durumu olması için a kaç olmalıdır? A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5 CEVAP : E

10) Köşe noktaları koordinatları A(-4,5), B(-2,7) C (6,10) D (a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatı toplamı aşağıdakilerden hangisidir. A)12 B)24 C)14 D)9 E)18 CEVAP: A