ÖNERME ANALİZİ VE YÜKLEM MANTIĞI Yılmaz KILIÇASLAN

Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (1) L0 dili yardımıyla bir önceki dersimizdeki (7. ve 8. çıkarımların yanında) 1. ve 2. çıkarımların geçerliliğini formelleştirebiliriz: p  q ¬ p ------- q ¬r  ¬ p ¬ r

Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (2) İhtiyacımız olan yalnızca aşağıdaki iki çıkarım şemasıdır: A  B ¬ A ------- B A  B A

Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (3) Fakat, 3., 4. ve 5. çıkarımları L0 diline dönüştürmek geçerliliklerini sağlayan anlamın önemli bir bölümünü kaybetmemize yol açacaktır. Benzer bir durumu aşağıdaki örnek üzerinde görebiliriz: Muhammed Ali, Richard Nixon’dan uzundur. Richard Nixon, Noam Chomsky’den uzundur. ------------------------------------------------------------- Muhammed Ali, Noam Chomsky’den uzundur. p q ------- r

Önermelerin İçsel Yapısı L0 dili ile ilgili sorun önermelerin içsel yapısına erişim olanağı vermemesidir. İhtiyacımız olan en azından önermelerin ilişki-argüman analizini sağlayabilecek bir yaklaşımdır: U(m, r) U(r, n) ------- U(m, n) Ancak, bu bile yeterli değildir. Neden?

L1 Dili (1) SÖZDİZİM: A. Temel İfadeler Kategori Temel İfade İsimler d, n, j, ve m Tek-argümanlı yüklemler M, B Çift-argümanlı yüklemler K, L B. Oluşum Kuralları Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir. Eğer γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir cümledir. Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.

L1 Dili (2) SEMANTİK: B. Semantik Kurallar A. Temel İfadeler: [d] = Richard Nixon [n] = Noam Chomsky [j] = Jacque Chirac [m] = Muhammad Ali [M] = Bütün bıyıklı insanlar kümesi [B] = Bütün sarışın insanlar kümesi [K] = Birincinin ikinciyi tanıdığı bütün yaşayan insan çiftleri kümesi [L] = Birincinin ikinciyi sevdiği bütün yaşayan insan çiftleri kümesi B. Semantik Kurallar δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) ancak ve ancak [α]  [δ] ise doğrudur. γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) ancak ve ancak <[α], [β]>  [γ] ise doğrudur. φ bir cümleyse, ¬φ ancak ve ancak φ doğru değilse doğrudur. φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak hem φ hem ψ doğru ise doğrudur. φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak φ veya ψ doğru ise doğrudur. φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak φ yanlış veya ψ doğru ise doğrudur . φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak ya hem φ hem ψ doğru ise yada hem φ hem ψ yanlış ise doğrudur.

Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (1) 5. çıkarıma geri dönecek olursak, bu çıkarımın geçerliliğine ulaşmamızı sağlayan açıkça ifade edilmemiş olan fakat bizim genel bir bilgi olarak sahip olduğumuz aşağıdaki genellemedir: “Eğer a b’den uzunsa ve b de c’den uzunsa, a c’den uzundur.” Daha doğrusu, ‘uzun olma’ ilişkisinin geçişken bir ilişki olduğuna dair sahip olduğumuz bilgi söz konusu çıkarımı yapmamızı mümkün kılar.

Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (2) ‘Uzun olma’ ilişkisinin geçişkenliğinin örneğe konu olan şahıslarla sınırlı olmadığı, ilişkiye argüman olabilecek bütün varlıklar için geçerli olduğu açıktır. Yani aşağıdaki türden bir genelleme yapmamız gerekmektedir: “Bütün a, b ve c’ler için, eğer a b’den uzunsa ve b de c’den uzunsa, a c’den uzundur.” Bu tür genellemeleri ifade edebilmek için, formel dilimize değişkenler ve niceleyiciler ekleyeceğiz. Değişkenlerimiz, değer olarak bireyleri alabilen değişkenler, niceleyicilerimiz ise varoluş niceleyicisi ve evrensel niceleyici olacaktır. Bu da bizi, Birinci Dereceden Yüklem Mantığına götürecektir.

L2 Dili (1) SÖZDİZİM: A. Temel İfadeler Kategori Temel İfade İsimler d, n, j, ve m Birey değişkenleri v1, v2, v3, ... Tek-argümanlı yüklemler M, U Çift-argümanlı yüklemler K, L B. Oluşum Kuralları Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir. Eğer γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir cümledir. Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. Eğer φ bir formül, ve u bir değiken ise, u φ bir formüldür. Eğer φ bir formül, ve u bir değişken ise, u φ bir formüldür.

L2 Dili (2) Eğer u L2’nin bir değişkeni ise, [u]M, g = g(u)’dur. SEMANTİK: A. Temel İfadeler Eğer u L2’nin bir değişkeni ise, [u]M, g = g(u)’dur. Eğer  L2’nin mantıksal olmayan bir sabiti ise, []M, g = F()’dır. B. Semantik Kurallar Eğer  tek argümanlı bir yüklem ve  bir terim ise, [()] M, g = []M, g([]M,g)’dir . Eğer  iki argümanlı bir yüklem,  ve  birer terim ise, [( ,)] M, g = ([]M, g ([]M,g))([]M,g)’dir . Eğer  bir formül ise, [] M, g = 1 eğer [] M, g = 0 ise; diğer durumlarda [] M, g = 0. Benzer yöntem (  ), (  ), (  ), ve (  ) formülleri için de geçerlidir.

L2 Dili (3) Eğer  bir formül ve u bir değişken ise, B. Semantik Kurallar (Devam) Eğer  bir formül ve u bir değişken ise, u değişkenine atanan değer dışında diğer her durumda g ile aynı olan her g’ değer atama fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise [u] M,g = 1’dir. u değişkenine atanan değer dışında diğer her durumda g ile aynı olan bir g’ değer atama fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise [u] M,g = 1’dir.

L2 Dili (4) C. M’ye göre L2 formüllerinin doğruluk tanımlaması olarak aşağıdakiler kabul edilir: L2’nin herhangi bir  formülü için, eğer tüm g değer atama fonksiyonları için []M, g = 1 ise []M = 1’dir. []M, g = 0 ise []M = 0’dır.

Alıştırmalar E = {1, 2, 3} evrensel kümesine göre aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz. ∃x ∀y [ x2 < y + 1 ] ∀x ∃y [ x2 + y2 < 12 ] ∀x ∀y [ x2 + y2 < 12 ]

İfade gücünüzü maksimum tutarak, aşağıdaki cümleleri birinci-dereceden yüklem mantığı içinde ifade ediniz. Kimse gülmedi veya alkışlamadı. Herkes tarafından sevilen bir kişi var. Eğer Ahmet’in eşekleri varsa, onları döğer. Arabası olmayanın bisikleti vardır. Herkes, kendisi dışında kimseyi sevmeyen herkesi sever.