7. GERİBİLDİRİMLİ SİSTEMLERDE KARARLILIK KAVRAMI Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Bir sistemin kararlı olması, sınırlı girişler karşısında yine sınırlı çıkışlar vermesi olarak tanımlanır. Örneğin sınırlı bir giriş olan birim basamak girişi karşısında aşağıdaki sistemin yanıtının sürekli biçimde büyüyerek sistemi nasıl kararsızlığa ittiğini görebiliriz. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Buradan sistem kararlılığının, sistemin çıkış yanıtıyla, dolayısıyla sistemin karakteristik denkleminin köklerinin s düzlemindeki yeri ile yakından ilişkili olduğu açıktır. Karakteristik denklemin transfer fonksiyonunun payda kısmı olduğu, köklerinin de bu nedenle transfer fonksiyonun kutupları olduğunu biliyoruz (Dorf ve Bishop,2005). Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Öncelikle kökler sağ yarı düzlemde ise (s=+k) yanıt (..e+kt) zamanla sonsuza gideceğinden sistem kararsızdır. Sol yarı düzlemdelerse (..e-kt) sınırlı bir değerde kalacağından sistem mutlak kararlıdır.Belirtilmedikçe “mutlak kararlı” yerine sadece “kararlı” diyeceğiz. Kökler imajiner eksen üzerindeyse sistemimiz sınırda kararlıdır. En azından kararsız değildir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Yine olaya geribildirim açısından bakalım. Normalde açık çevrim cevabı kararsız olan sistemleri geri bildirim yardımıyla kararlı hale getirebiliriz. Örneğin uçakların manevra yapabilmeleri için kullanılan (kanatçık, motor vs.’den oluşuyordu) açık çevrim sistemler normalde kararsız sistemlerdir. Pusula ve denetleyiciden (Pilot veya otopilot) oluşan bir geribildirimli sistem yardımıyla sistemi kararlı hale getiririz aksi halde uçak kontrolden çıkar. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

7.1. Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri (Dorf ve Bishop,2005) Günümüzde çeşitli programlar veya hesap makineleri aracılığıyla yüksek dereceli sistemlerin karakteristik denklem köklerini bulmak ve buradan kararlılık tahmininde bulunmak oldukça kolaylaştı. Bu kökleri bulmadan da sistemin köklerinin en azından hangi bölgede olduğunu bulmak için geliştirilmiş bir yöntemimiz daha var. Routh kararlılık tablosu veya Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri adını verdiğimiz tablo bize özetle şunları söyler. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Tablonun birinci sütunundaki katsayılar boyunca hiçbir işaret değişikliği olmuyorsa bütün kökler sol yarı düzlemdedir ve bu nedenle sistemimiz kararlıdır. Yukarıdan aşağıya doğru ilk sütundaki katsayılar kaç kere işaret değiştirmiş ise sağ yarı düzlemde o kadar sayıda kök vardır. Dolayısıyla sistem kararsızdır. İşaret değiştirmenin sınırına kadar gelinmiş ise yani ilk sütundaki katsayılardan biri sıfır olmuş ama daha ileri gidilmemiş yani hiç işaret değişikliği olmamışsa sistem sınırda kararlıdır. Ancak ilk sütunda birden fazla sıfır var ise bu durumda sistem yine kararsızdır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Örnek7.1. q(s) = -s5 -2s4 + 2s3 + 4s2 + 11s + 10 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr İlk sütun, 3. satırda bir tane ‘0’ var. Devamındaki satırların birinin ilk sütununda bir tane dahasıfır varsa, hatta daha da ötesi işaret değişimi varsa sistem kesinlikle kararsız idi. Ama tek 0 bu ise sınırda kararlıdır. Hangisi olduğunu öğrenebilmek için işlemlere devam edebilmemiz gerekir. Fakat değer alacağından bundan sonraki değerleri hesaplayamayız.Bunun önüne geçebilmek için bir kabullenme yapalım.a=0 yerine 0’a çok yakın küçük bir ε değeri olduğunu kabul edelim.İşaret değişikliği olmaması için (asıl değeri 0)işareti negatif olsun a= - ε ( ε>0  - ε<0) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr son satırda işaret değişmiştir. Sistem kararsızdır. Sınırda kararlı değildir. Yine de diğer değerleri de bularak tabloyu tamamlayalım. Gerçekten de basamak yanıtı üstteki gibi artmaktadır. Bir kere işaret değiştirdiğinden sağ yarı düzlemde bir tane kök olduğu anlaşılmaktadır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Örnek7.2. : q(s) = s3 + 2s2 + 4s + K Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Sistemin kararsız olmaması için ya veya olmalı. i)Sistemin mutlak kararlı olması için olmalı ii)Sistemin en azından sınırda (marjinal) kararlı olabilmesi için K=8 veya K=0 olmalı. Tablolar: veya K=8 için K=0 için Örneğin K=8 için olan doğruluk tablosundan yararlanarak karakteristik denklemin köklerini de hesaplayabiliriz Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Kökleri Tablodan Yararlanarak Hesaplama Yöntemi: Yardımcı Polinom Oluşturma Yukarıdaki örnek gibi tüm satırın sıfır olduğu özel durumlarda yardımcı polinomdan yararlanarak yüksek dereceli karakteristik denklemlerin köklerini de doğrudan bulabiliriz. Örneğin yukarıdaki sistemde K=8 için 3. satırın tamamı sıfır çıkıyor. Bir an için K’ları unutalım ve bu tablonun bu sayılardan oluştuğunu düşünelim. Önceden hesaplamış olmasaydık devamını hesaplayabilmek için 0’lar yerine ’lar koyardık. Son satır 8 değil de ona yine biraz hatalı da olsa ona yakın ve pozitif bir değer olan 6 çıkacaktı. Sonuç yine ilk satırdaki tek sıfırdan ve başka sıfır olmaması ya da işaret değişikliği olmamasından dolayı sınırda kararlı çıkacaktı. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Buna neden olan kökleri bulalım: Bunun için önceki satırın (s2 ve s0’lı terimlerin olduğu satır) katsayılarını yardımcı polinom olarak seçebiliriz.y(s) = 2s2 + 8. Bu polinom bizim karakteristik denklemimizin çarpanlarından biridir. Bu nedenle kökleri, denklemin de kökleridir: ±2j . İmajiner eksen üzerindeki eşlenik kökler, sınırda kararlılığı açıklıyor Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Özetle (bir alt satırı sıfır yapan) yardımcı polinomun kökleri; sistemi sınırda (marjinal) kararlı yapan köklerdir. Fakat sistem 3. dereceden yani bir kök daha olmalı. Onu bulmak için karakteristik polinomu, bir çarpanı olan yardımcı polinoma bölelim. Köklerin konumu sistemin sınırda kararlı olduğunu doğruluyor. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Örnek.7.3: Kaynak robotunun denetimi: Kaynak robotları otomotiv sektöründe gövde parçalarını birleştirmek için puntalama amacıyla kullanılır. Kaynak başlığı hedef noktalara hızla ve hata yapmadan ulaşmak zorundadır. Denetim sisteminin blok şeması aşağıda verilmiştir. Kapalı çevrim sistemin kararlı olduğu bölgeyi sağlayan K kazanç aralığını bulun. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Payda : yani karakterisik denklem Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Sistemin kararlı olabilmesi için a, ve d’nin olması gerektiğinden i) a K>-6 ii) d = iii) c >0 , payda kısmının koşulunu i’de belirtmiştik geriye pay kısmı kalıyor. >0 , >0 iki çarpan da aynı işaretli olmalı ya iv) K>56.2 ve K>-22.95 veya v) K<56.2 ve K<-22.95 V nin K>-22.95 ve ii nin K>-6 koşulu örtüşmüyor.Bu nedenle iki çarpan da pozitif olmalı K>56.2 ve K>-22.95 Robotun sorunsuz çalışabilmesini sağlayan aralık : 56.2 < K < 77.76 olarak belirlenir Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

7.2. Geribildirimli Sistemlerde Bağıl Kararlılık Bazen sistemlerin sınırda kararlı olmasını isteriz. Osilatörler bu şekilde çalışır. Salınımları azaltmak için ise karakteristik denklem köklerini gerçel eksene ve mümkün olduğu kadar sola yerleştirmeye çalışırız. Bir yolcu uçağının kararlılığının yüksek olması istenen bir durumdur. Bir rotayı kararlı bir şekilde izlediğinden, yolcular için oldukça konforlu bir uçuş sağlar. Bu kararlılık değişim komutlarından yavaş etkilenmesine, manevra kabiliyetinin düşük olmasına yol açar. Savaş uçaklarında da bu istenmeyen bir durumdur. İstenen manevraları ne kadar konforsuz da olsa hızlı ve ani bir şekilde gerçekleştirmesi gerekir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Bu yüzden uçak tasarımcıları, savaş uçaklarının kararlılığının yolcu uçağına göre görece daha düşük olması isterler. Daha az, ya da daha çok kararlı olmak, kontrol sisteminin karakteristik denklem köklerinin gerçel kısımlarının sol yarı düzlemde daha sağda veya daha solda olmasına karşılık gelir. Aşağıdaki şekilde r3, eşlenik köklerine sahip olan sistem, r2 gerçel köküne sahip olan sistem ya da daha sağda olan r1, eşlenik köklerine sahip olan sisteme göre daha kararlıdır. Tabii görece r2 olan sistem görece r1 olana göre daha kararlıdır.   Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Örnek.7.4: Paletli Aracın Dönüş Kontrolü: Paletli bir aracın dönüş kontrol sisteminin tasarlanması iki parametrenin seçimine bağlı olarak yapılır (Şekilde görülen a ve K parametreleri, a:0.1- 4 ve K:1-10 000 arasında ayarlanabilen fiziksel elemanlardır). Aracı döndürmek için iki palet birbirlerinden farklı hızlarda çalıştırılır (Dorf ve Bishop,2005). Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr İstenenler: Birim rampa şeklinde zamanla değişen bir girişe sistemin yanıtında oluşabilecek kalıcı durum hatası en fazla 0.24 olmalıdır. Aynı zamanda sistem kararlı olmalıdır. Bunun için uygun K ve a değerleri seçin. = a) ess = , Khız = = ess = <= 0.24, Ka >= 41.67, Ka için sınır değeri 41.67 dir. b) Kararlılık koşulunu da Routh-Hurwitz tablosundan bulalım. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Sistemin kararlı olabilmesi için işaret değişikliğinin olmaması gerekir. i)  K<126 , ii)  (K, a ,126-K ve 10 hep pozitif sayılar, dolayısıyla: kesinlikle negatif bir sayı , biz zaten K ≥ 1 olduğunu biliyoruz. “K>negatif bir sayı” eşitsizliğine ihtiyacımız yok) iii) K.a > 0 (zaten K ve a’nın pozitif olduğunu biliyorduk). Elimizde işe yarar üç bilgi var 1 ≤ K < 126 , 0.1 ≤ a ≤4 ve Ka ≥ 41.67. Bu üç koşulu sağlayan kararlı bölgeyi program yardımıyla çizdirelim. Taralı bölgenin dışındaki her hangi bir (K,a) noktası kararlılık ve kalıcı durum koşulunu sağlar. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Örneğin sınırdaki bir nokta olan (0.6, 70) tüm koşulları sağlar. Bunu hemen sistemin birim rampa yanıtında görelim. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Örnek.7.5: Şekildeki sistemin kararlı olabilmesi için K hangi aralıkta olmalıdır? Denklemin Routh-Hurtwitz tablosu Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Sağ tarafta kök olmaması için Bu aralıkta karakteristik denklemde K’ya çeşitli değerler vererek farklı karakteristik denklemler ve bunlara ait farklı kökler bulabiliriz. Her bir karakteristik denklemin 3 kökü olacaktır. Bunları K’nın 0’dan 20’ye kadar değişiminde karmaşık düzlem üzerinde “x” simgesiyle çizdirirsek; Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr K’nın belirli bir değerinden sonra (8’ den büyük değerleri) q(s) karateristik denkleminin köklerinin sistemi kararsızlığa götüren sağ yarı düzleme geçtikleri görülmektedir. Kaynaklar 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr