DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ BÖLÜM 9

Kontrol hacmi analizi Diferansiyel analiz 9.2. Kütlenin Korunumu-Süreklilik Denklemi Reynolds transport teoreminin uygulanması ile Bir Kontrol hacmi için kütlenin korunumu: (9-1) Bu denklem hız vektörü mutlak hız olmak koşuluyla Hem sabit, hem de hareketli kontrol hacimler için kullanılabilir.

Denklem 9-1 tekrar düzenlenirse : (9-2) Diverjans (Gauss) teoremini kullanarak kütlenin korunumu Denklemini türetme: Diverjans teoremi: herhangi bir Vektörü için: (9-3) Alınabilir. Denklem 9-3, 9-1 de yerine yazılırsa alan integrali Hacim integraline dönüşür: Genel süreklilik denklemi

Sonsuz Küçük kontrol hacmi kullanarak kütlenin korunumu Denklemini türetme: Kutunun her bir yüzeyi için P noktası civarındaki Taylor serisi açılımını yazalım: Herbir yüzeyin merkezi ile kutu merkezi (P) arasındaki mesafe dx/2, dy/2, dz/2 dir merkezdeki yoğunluk ρ ve hız bileşenleri u, v, w olsun. Herbir yüzey için yoğunluk ve hız değerlerini yazarsak :

Kontrol hacmi bir noktaya küçüldüğünde, denklem 9-2 nin sol yanındaki hacim integrali. Denklem 9-2 nin sağ tarfına şekil 9-5 deki Yaklaşımı uygulayarak tüm yüzeylerden Giren ve çıkan kütlesel debileri toplayalım: Giren net kütlesel debi:

Çıkan net kütlesel debi: Giren ve çıkan debiler denklem 9-2 de yerine yazılırsa, kartezyen koordinatlarda Süreklilik denklemi elde edilir: Bu denklem diverjans özdeşliği Kullanılarakta şekildeki gibi elde edilebilir.

Süreklilik denkleminin alternatif formu Eşitliği n her bir terimini ρ ile bölersek: alternatif formu elde ederiz.

MADDESEL TÜREV, D/Dt olarak tanımlanır ve hem yerel hem de advektif etkiyi dikkate alır. Maddesel ivme ve bileşenleri:

Süreklilik denkleminin özel durumları Özel durum 1: Daimi sıkıştırılabilir akış Özel durum 2: Daimi sıkıştırılamaz akış

AKIM FONKSİYONU Kartezyen koordinatlarda Akım Fonksiyonu 2-B sıkıştırılamaz bir akış için: İki bağımlı değişken(u,v) yerine tek bir bağımlı değişken (ψ) dönüşümü yapalım. (ψ) akım fonksiyonunu: ve olarak tanımlayalım. Süreklilik denklemini tekrar düzenlersek: Akım Çizgisi: her yerde anlık hız vektörüne teğet olan eğridir. Şekilde görüldüğü gibi sonsuz küçük uzunluktaki yayını göz önüne alalım. yayı, yerel hız vektörüne paralel olmalıdır.

Ψ’ nin akım boyunca sabit olduğu görülür. Benzer üçgen kuralına göre, akım çizgisi denklemi: elde edilir. xy-düzlemindeki bir akış için denklemi integre edersek Şekilde görüldüğü gibi, (x,y) noktasından (x+dx, y+dy) noktası na gidildiğinde ψ deki toplam değişim Ψ’ nin akım boyunca sabit olduğu görülür.

Bir akım çizgisinden diğerine ψ değerleri arasındaki fark, birim genişlik başına bu iki akım çizgisi arasından geçen hacimsel debiye eşittir. (Hiçbir akış akım çizgisini geçemez) Kesit değişse de debi değişmeyeceği için ortalama hız azalacaktır. Bu durum için Şekil 9-19 a bakınız. Kesite bağlı olarak hız vektörlerinin büyüklüklerinin değiştiği görülmektedir. Matematiksel İspat Şekil 9-22 de görüldüğü gibi sonsuz küçük bir ds uzunluğu ve buna Ait birim normal vektör alalım. Yukarıdaki vektörlerin skaler çarpımı yapılır ve akım fonksiyonu dönüşümü yapılırsa: SKALER ÇARPIM NEDİR??? Denklem 1 akım çizgisinden 2 akım çizgisine integre edilirse B Kesitinden geçen hacimsel debi bulunur.

Silindirik koordinatlarda akım fonksiyonu İki boyutlu Düzlemsel akış Süreklilik denklemi: Düzlemsel akım fonksiyonu: Eksenel simetrik akış Süreklilik denklemi: Düzlemsel akım fonksiyonu: DİKKAT!.. ÖRNEK 9-12 İNCELENECEK

DOĞRUSAL MOMENTUM KORUNUMU-CAUCHY DENKLEMİ Gerilme tensörü Birim zamandaki Momentum değişimi Çıkan Momentum Akış hızı Giren Momentum Akış hızı Doğrusal Momentum Denklemini Türetme Diverjans Teoremi kullanarak

2. Sonsuz Küçük Kontrol Hacmi kullanarak En genel haldeki momentum denklemini bu dönüşümlerden sonra tekrar yazarsak, Cauchy Denklemini elde ederiz: 2. Sonsuz Küçük Kontrol Hacmi kullanarak Denklemleri basitleştirmek için x-bileşenin alalım:

Şekilde görülen kontrol hacminden tüm yöndeki giren ve çıkan momentum akılarını çıkarırsak X-yönündeki net momentum akışını elde ederiz.

Kontrol hacmimize x-yönünde etkiyen kuvvetler Şekilde görüldüğü gibi tek etki eden kütle kuvveti yerçekimi kuvvetidir. X- bileşeni için kütle kuvveti: Şekildeki tüm kuvvetleri toplayarak kontrol elemanına X- yönünde etki eden yüzey kuvveti:

NAVIER-STOKES DENKLEMİ Cauchy denklemi ve süreklilik denklemlerini kullanarak herhangi bir akışkanlar mekaniği problemlerini çözemeyiz. Çünkü gerilme tensörü σij dokuz ve yoğunlukla beraber on bileşen barındırmaktadır (ρ,u ,v, w, σxx , σxy , σxz , σyy, σyz ve σzz). On bilinmeyen ve dört denklem(süreklilik ve 3 yönde cauchy denklemi) var. Bilimeyen sayısı kadar denkleme ihtiyacımız var. Bünye Denklemleri yardımıyla gerilme tensörü bileşenlerini hız alanı ve basınç alanı cinsinden ifade edeceğiz.

εij Şekil değiştirme hız tensörü

σij gerilme tensörünü cauchy denkleminde X-yönü için yerine yazarsak

En genel halde sıkıştırılamaz akışkanlar için Navier-Stokes Denklemi X-yönü için Y-yönü için Z-yönü için En genel halde sıkıştırılamaz akışkanlar için Navier-Stokes Denklemi

Kartezyen Koordinatlarda sıkıştırılamaz akışkanlar için Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri

Süreklilik ve Navier-Stokes Denklemlerinin Tam Çözümleri

Sınır Şartları 1. Kaymama sınır Şartı: katı çeper ile temas halinde olan akışkanın hızı çeperin hızına eşittir. Kaymama Koşulu referans koordinat sistemine bağlıdır. Örnek olarak piston silindir sistemi verilebilir. Sabit bir referans sistemine göre, silindire bitişik akışkan durgun, pistona göre : hızındadır. Eğer piston üzerinde bir referans seçersek, piston yüzeyinde hız sıfır, silindir yüzeyinde ise olurdu. 2. Ara yüz Sınır Şartı: Şekilde görüldüğü gibi, iki akışkan arasındaki Hızlar eşit olduğu gibi kayma gerilmeleri de eşit olmalıdır. Şekilde görüldüğü gibi, sıvı –gaz akışkan arasında ise, hava – su çifti için

3. Serbest Yüzey Sınır Şartı Suyun vizkositesi, havını viskozitesinden 50 kat büyüktür. Kayma gerilmelerinin eşit olabilmesi için nın dan 50 kat büyük olması gerekir. Buna göre suyun yüzeyin etki eden yüzey gerilmesi suyun içindeki herhangi bir yerdeki gerilmeye göre ihmal edilebilir. Bu durumun söz konusu olduğu sıvı-gaz arayüzü nde serbest yüzey sınır şartı söz konusudur. 3. Serbest Yüzey Sınır Şartı 4. Giriş Sınır Şartı: Tüm zamanlar için hız ve basınç 5. Çıkış Sınır Şartı : Tüm zamanlar için hız ve basınç 6. Simetri Sınır Şartı: Bir eksen veya simetri düzlemi boyunca geçerlidir