Genelleştirilmiş Araç Rotalama Problemi için Modeller ve Dal-Kesi Algoritmaları YAEM 2010 02.07.2010 Tolga Bektaş, Southampton University Güneş Erdoğan, Özyeğin Üniversitesi Stefan Røpke, Technical University of Denmark

Sunumun İçeriği Problem tanımı Literatür Tamsayısal Programlama modelleri Önişleme algoritması Geçerli eşitsizlikler Hesapsal deneyler Sonuç

Problem Tanımı Tüm serim G = (V, E) ; V = {0,1,…,n} Nokta kümesinin alt kümeleri : salkımlar V = C0  C1  … Cm Her salkıma ait bir talep miktarı Depodan çıkan Q kapasiteli K araç Her salkımdan bir noktaya uğrayıp, depoya dönüş Amaç : Toplam seyahat mesafesinin enküçüklenmesi

Gösterim : KARP

Gösterim : GARP

Yazın Ghiani ve Improta (2000), GARP’ı Kapasiteli Ark Rotalama Problemine dönüştürerek çözmeyi önerdi ve uyguladı. Kara and Bektaş (2003), GARP için Miller- Tucker-Zemlin kısıtları kullanan polinom boyutlu bir formülasyon önerdi ve uyguladı. Bautista ve diğerleri (2008), GARP’ın özel bir halini Karınca Kolonisi Sezgisel Yöntemini kullanarak çözdü.

Yazın Baldacci, Bartolini ve Laporte (2010), GVRP’nin olası uygulamaları üzerine bir çalışma yaptı. Moccia, Cordeau ve Laporte (2010), zaman kısıtlı GARP için bir tabu araması algoritması önerdi ve uyguladı.

Model 1

Model 2

Model 3

Model 4

Kısıt 27

Kısıt 27

Kısıt 27

Kısıt 27

Teorik Analiz Teorem: F1 modelinin, Doğrusal Programlama alt modelinin bulduğu alt sınırlar, F2 modelinden her zaman daha kuvvetlidir. Deneysel çalışma, F2 modelinin azaltılmış değişken sayısının bazı durumlarda çözüm süresini kısalttığını göstermiştir Teorem: F4 modelinin, Doğrusal Programlama alt modelinin bulduğu alt sınırlar, F3 modelinden her zaman daha kuvvetlidir.

F3 – F4 Karşılaştırması

Önişleme Algoritması Eğer i ve j noktaları, j ∈ C(i), j  i her iki a ve b noktası, a, b ∈ V \ C(i); (a)  (b) için cai + cib ≥ caj +cjb ve q(i) +q(a) +q(b) ≤ Q koşullarını ve c0i ≥ c0j koşulunu sağlıyorsa, j noktası i noktasından üstündür. Bu durumda, i noktasının problem verisinden çıkartılması, en iyi çözümü etkilemez. Naif çözüm karmaşıklığı : O(n4) İyileştirilmiş karmaşıklığı : O(n3)

Geçerli Eşitsizlikler Teorem: Her salkımın tek bir noktaya toparlandığı serimde, Kapasiteli Araç Rotalama Problemi için geçerli olan her kısıt, F1, F2, F3 ve F4 için de geçerlidir. Ayrıştırma algoritması: Modelin Doğrusal Programlama alt modelini çöz Çözümü her salkımı bir noktaya toparlayacak şekilde işle KARP için literatürde var olan kısıtları işlenmiş çözümden ayrıştır ve modele ekle

Hesapsal Deneyler Deneysel veri, Fischetti vd. 1997 yılında Gezgin Satıcı Probleminden, Genelleştirilmiş Gezgin Satıcı Problemi için veri oluşturma yöntemi kullanılarak oluşturuldu. Kullanılan ham veri: http://branchandcut.org/VRP/data/ Salkım sayısı, nokta sayısının yarısı ve üçte biri olarak belirlendi ve her iki durum için hesapsal deneyler yapıldı.

Hesapsal Deneyler CPLEX 10.0 ve 2.4 GHz AMD Opteron 250 CPU kullanıldı Tüm deneylerde F4 hem çözüm süresinde hem de alt sınır kuvveti açısından en yüksek başarımı sergiledi. Nokta sayısı 13-43 arasında iken, iki saatlik hesap süresi sınırı dahilinde, 148 problem enstantanesinin tümünde en iyi çözüm bulundu Nokta sayısı 101-262 arasında iken, altı saatlik hesap süresi sınırı dahilinde, 10 problem enstantanesinin 3 tanesinde en iyi çözüm bulundu

Sonuç GARP için dört Tamsayısal Programlama modeli oluşturuldu Modeller kendi aralarında teorik ve deneysel olarak karşılaştırıldı Önişleme algoritması ile enstantane boyutu küçültüldü Literatürde KARP için var olan kısıtların GARP’a uyarlanabileceği gösterildi Dal-kesi algoritması uygulandı Deneysel olarak 101 nokta ve 51 / 34 salkımlık iki enstantane iki saat içinde çözülebildi

Genelleştirilmiş Araç Rotalama Problemi için Modeller ve Dal-Kesi Algoritmaları YAEM 2010 02.07.2010 Tolga Bektaş, Southampton University Güneş Erdoğan, Özyeğin Üniversitesi Stefan Røpke, Technical University of Denmark