VARYANS ANALİZİ

Sunum Planı F Dağılımı İki Varyansın Oranının Testi Varyans Analizi Tek Yönlü Varyans Analizi İki Yönlü Varyans Analizi

F-Dağılımı F Dağılımı, Sir Ronald Aylmer Fischer tarafından bulunmuştur. Temelde Fischer'in F dağılımı, beklenen ve gözlenen değerlerin uyumunu test etmeye yarayan chi-square (kay kare/ki kare) dağılımından türetilmiş bir dağılımdır.

F Dağılımı Dağılımları normal 2 anakütle Bu anakütlelerden çekilen iki örneklem Örneklem varyansının evren varyansına oranının (n-1) ile çarpımını, n-1 serbestlik derecesinde bir ki kare dağılımı verir

F Dağılımı Ki kare istatistiğini her iki örneklem için de yazarsak

F Dağılımı Burada pay ve paydadaki ki kare değerleri birer tesadüfi değişkenlerdir. Dolayısı ile bunların oranı olan F de bir tesadüfi değişkendir.

F Dağılımı F değeri sadece pozitif değerler alır F, ki kareden farklı bir değişkendir ve farklı bir olasılık dağılımına sahiptir. P(F) F

F Dağılımı F nin olasılık dağılım fonksiyonu

F Dağılımı F nin belli aralıklarına karşı gelen olasılıklar F tablosu yardımı ile bulunur. Tablolar 2 farklı serbestlik derecesine göre hazırlanmıştır. Aslında çok fazla tablo vardır ama bunların hepsini bir araya getirmek imkansızdır. En çok başvurulan olasılıklar dikkate alınarak özet tablolar hazırlanmıştır.

F Dağılımı Örnek 8 ve 6 serbestlik değerleri için F dağılım eğrisi altında kalan alanın sağdan 0,10’unu ayıran F değeri nedir? P(F) F 0,10 F=2,98

Serbestik derecesi 8 ve 6 olan F dağılımında eğri altında kalan alanın sağdan 0,10 unu ayıran F değerinin bulunması n1-1 (v1) 1 2 3 4 5 6 7 8 39,86 49,5 55,83 57,24 58,2 58,91 59,44 8,53 5,54 4,54 4,06 3,78 2,98 n2-1 (v2)

F Dağılımı Sorumuz şöyle olsaydı… F dağılımında eğri altında kalan alanın soldan 0,10 luk kısmını ayıran F değerini nasıl hesaplarız? P(F) F 0,90 0,10 Bu F değeri, eğri altında kalan alanın sağdan 0,90 lık kısmını ayıran F değeri ile aynıdır.

F Dağılımı 0,90 lık tablolar elimizde bulunmuyorsa (kitabımızda yok) aşağıdaki bağıntıdan yararlanırız P(F) F 0,90 0,10

F Dağılımı Örnek 5 ve 10 serbestlik dercelerinde soldan 0,05 ik alanı ayıran F değeri nedir? Tablo yardımı ile

Varyans Analizi Hipotez testlerinde 2 ortalama veya oran arasındaki farkın üzerinde durmuştuk z/t testi ikiden fazla örneklemin ortalamalarının/oranlarının birlikte karşılaştırılmasına uygun değildir Peki bunu nasıl yapacağız?

Varyans Analizi k sayıdaki örneklemin ikişer ikişer gruplandırılması bir çözüm yolu mudur? Çok işlem gerektirir Örneğin 6 örneklem ortalamalarının testi için 15 ayrı test yapılmalıdır: C(6,2)=15 Yanlış karar verme olasılığı artar %5 anlamlılık düzeyinde, yanlış karar verme olasılığı, örneklem sayısı 3 iken 1-(0,95)3=%14,26, örneklem sayısı 6 iken %53,67, örneklem sayısı 7 iken %65,94 tür. (Serper,1996)

Varyans Analizi Varyans analizi (ANOVA), 3 ya da daha çok grup arasında, belirli bir (çok da olabilir) değişkene dayalı olarak farklılık olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılır. “alt, orta ve üst sosyo-ekonomik düzeylerdeki kişilerin depresyon düzeyleri birbirinden farklı mıdır?” sorusuna, varyans analizi, bu gruplardan toplanmış olan depresyon puanlarını karşılaştırarak cevap verebilir.

Varyans Analizi Yönetici, işçi, memur ve işsizlerin yaşam doyumu düzeylerinin birbirinden farklı olup olmadığı test edilebilir. Varyans analizinden deneysel çalışmalarda da yararlanılabilir. Deney, kontrol ve bekleme gruplarının, deneysel işlem sonrası son test puanlarının farklı olup olmadığı varyans analizi ile test edilebilir.

Varyans Analizi Varyans analizinde gruplar/örneklemler topluca ele alınır sadece farklılığın anlamlı olup olmadığına bakılır Varyans analizinde farklılık varsa bu farklılığın kaynağı bilinemez. Farklılık kaynağının tespiti için çoklu karşılaştırma testleri yapılabilir. Örneğin Tukey testi.

Varyans Analizi ANNOVA MANOVA Tek Yönlü ANOVA (Tek Faktör/Etken , Tek Değişken) İki Yönlü ANOVA (İki Etken , Tek Değişken) İlişkili (Tekrarlı Örneklemler) için Tek/İki Yönlü ANOVA MANOVA (Birden Çok Değişken)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Üç farklı sosyoekonomik düzeyden (SED) kişilerin yaşam doyumu düzeylerini karşılaştıralım. Eğer gruplar arasında fark varsa, her bir SED grubu kendi içinde, küçük bir varyansa sahip olmalı yani yaşam doyumu puanları birbirine yakın olmalıdır. Ayrıca gruplardaki her bir bireyin yaşam doyumu diğer gruptaki herhangi bir bireyden hatırı sayılır ölçüde farklı olmaldır.

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Gruplar arası varyans büyük, Grup içi varyans küçük

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Bazı durumlarda farklı gruplarda yer alan bireyler arasındaki farklılıktan çok aynı grupta yer alan bireyler arasındaki farklılık daha büyük olabilir.

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Burada grupların farklılığından çok, aynı grupta yer almasına rağmen birbirinden çok farklı yaşam doyumuna sahip bireyler söz konusudur. Varyans analizinin yapmaya çalıştığı şey şudur: Gruplar arasındaki varyansı ve grupların kendi içlerindeki varyansı hesaplayarak birbirine oranlamak ve bu varyansların büyüklüklerine göre bir karar vermektir.

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Varyans Analizinin Şartları: Grupların anakütleleri normal dağılmalı Grupların anakütle varyansları eşit olmalı (F testi, Levene F Testi) Gruplar (Örneklemler) birbirlerinden bağımsız olmalı

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) ANOVA Tablosu Değişimin Kaynağı Serbestlik Derecesi Kareler Toplamı Kareler Ort. F Gruplar Arası b-1 KTB KOB KOB/KOe Gruplar İçi (hatalar) b(a-1)=n-b KTe KOe Toplam ab-1=n-1 KTT

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) 3 öğrenci grubuna 3 farklı matematik öğretim tekniği uygulanmakta ve bu farklı tekniklerin elde edilen notlar üzerinde etkili olup olmadıkları %5 anlamlılık düzeyinde belirlenmek istenmektedir (Serper,1996) Grup1 Grup2 Grup3 10 30 50 20 60 70 40 80 90 100

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Hipotezler ve Karar

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Varyans Analizi şartları sağlanıyor mu? - Veriler sınav notlarıdır. Evrende bunların normal dağıldığını kabul edebiliriz (normal dağılım şartı) - Örneklem verileri hem kendi içinde hem de birbirlerinden bağımsızdır. Farklı öğretmenlerin farklı öğrencilerinin notları.(bağımsızlık şartı) - Grupların kitle varyansları eşit mi? Bunu anlamak için en büyük ve en küçük varyansların oranını test etmeliyiz (F testi)

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Sonuç Üç grubun ortalamaları eşit değildir Diğer bir deyişle 3 farklı tekniğin verdiği sonuçlar arasında anlamlı (önemli) bir farklılık vardır.

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Kısa Formüller (her faktörün eşit gözleme sahip olması durumunda Burada Ti. i ninci satırdaki değerlerin toplamı, T.. ise a.b adet gözlemin hepsinin toplamıdır.

Tek Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Bir sağlık laboratuarında çalışan 4 teknisyenin peşpeşe beş hafta içinde yaptıkları yanlış sayıları kaydedilmiştir. Teknisyen1 - 13,16,12,14,15 Teknisyen2 - 14,16,11,19,15 Teknisyen3 - 13,18,16,14,18 Teknisyen4 - 18,10,14,15,12 Bu teknisyenlerin hatalarının ortalamaları arasındaki farkın şansa bağlanıp bağlanamayacağını %5 anlamlılık düzeyinde inceleyin EXCEL

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Önce veriler girilir. Burada Gruplar ilk sütunda ifade edilmiştir. Örneklem (Grup) verilerimiz toplam sütunu altındadır.

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Options seçilerek ilerlenir

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Burada yararlı olacak bazı istatistikler seçilebilir Homogeneity of variance test ‘in seçimi önemlidir bunun sayesinde grupların kitle varyanslarının eşit olup olmadığı kontrol edilebilir

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Sonuçta OK e basılır ve çıktı incelenebilir

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA sig. (anlamlılık) değeri 0,05'ten küçük çıktı ise varyanslar homojen değil demektir yani grupların kitle varyansları farklıdır.Bu durumda varyans analizine devam edilmez. Tersi durumda varyans analizi tablosu olan ANOVA tablosu okunmaya devam edilir.

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Asıl varyans analizi tablosu ANOVA tablosudur. ANOVA tablosunda en sonraki sig. değeri 0,05 ‘ten küçükse karşılaştırılan grupların ortalamaları arasında anlamlı bir fark olduğuna karar verilir.

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Varyans analizi karşılaştırılan grupların hangileri arasında fark olduğunu bildiremez. Bu nedenle anlamlı fark bulunduğu zaman bu farkın hangi gruplar arasındaki farktan kaynaklandığını bulmak amacıyla post-hoc test denen karşılaştırmaların yapılması gereklidir. Eğer ANOVA sonucunda sig. değeri 0,05'ten büyük çıktı ise post-hoc test yapılmaz

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Örnek1 3 öğrenci grubuna 3 farkı matematik öğretim tekniği uygulanmakta ve bu farklı tekniklerin elde edilen notlar üzerinde etkin olup olmadıkları belirlenmek istenmektedir. Bu amaçla birinci gruptan 4, ikinci gruptan 5 ve üçüncü gruptan 6 öğrenci rassal olarak seçilmiş ve bunların 100 üzerinden elde ettikleri notlar kaydedilmiştir. Söz konusu 3 öğretim tekniği arasında önemli(anlamlı) bir farkın olup olmadığı konusunda %5 lik anlamlılık düzeyine göre karar veriniz (Serper,1996) SPSS

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Örnek2 Bir sağlık laboratuarında çalışan 4 teknisyenin peşpeşe beş hafta içinde yaptıkları yanlış sayıları kaydedilmiştir. Teknisyen1 - 13,16,12,14,15 Teknisyen2 - 14,16,11,19,15 Teknisyen3 - 13,18,16,14,18 Teknisyen4 - 18,10,14,15,12 Bu teknisyenlerin hatalarının ortalamaları arasındaki farkın şansa bağlanıp bağlanamayacağını %5 anlamlılık düzeyinde inceleyin SPSS

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Tek Yönlü Varyans Analizi, incelenen olay (bağımlı değişken) üzerinde tek bir faktörün etkisini araştırır. “Bostancı- Tuzla 3 farklı yol” örneği İki Yönlü Varyans Analizinin amacı, gruplar arası iki faktörün bir bağımlı değişken üzerindeki etkisini ayrı ayrı test etmek yerine, faktörlerin temel etkilerini ve iki faktörün bağımlı değişken üzerindeki ortak etkisini eş zamanlı olarak test etmektir. “Bostancı- Tuzla 3 farklı yol ve haftanın farklı günleri” örneği

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) İki farklı bir desende genelde 3 ayrı test işlemi söz konusudur (Nie,1975 akt. Büyüköztürk,1997): İki faktörün bir bütün olarak istatistiksel olarak anlamlı bir etkiye sahip olup olmadığı incelenebilir. Ortak etkinin anlamlı olup olmadığı araştırılabilir Her bir faktörüntemel etkisinin anlamlılığı test edilebilir

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Ptesi Salı Çar Per Cuma Yol 1 22 26 25 31 Yol 2 27 28 29 Yol 3 33 30 Yol 4

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Bir yönlü varyans analizindeki gibi ortalamadan farkların karelerini (değişimleri) tanımlayabiliriz Son denklemde her iki tarafın kareleri alınıp, KT ifadesinde yerine konursa…

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Değişimin Kaynağı Serbestlik Derecesi Kareler Toplamı Ortalama Kare F Satırlar a-1 KTA KOA KOA/KOe Sütunlar b-1 KTB KOB KOB /KOe Hata (a-1)(b-1) KTe KOe Toplam ab-1 Faktörleri ortak etkisinin olmadığı varsayılmıştır

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Kısa Formüller

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin)

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Ptesi Salı Çar Per Cuma Yol 1 22 26 25 31 Yol 2 27 28 29 Yol 3 33 30 Yol 4 Yolda geçen süre ile ilgili tablo baz alınarak, dört ayrı yol ve beş ayrı gün arasındaki farkların 0,05 düzeyinde anlamlı olup olmadığına karar veriniz. Çözüm

SPSS ile İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Örnek Durum: Öğrencilerin cinsiyet ve yerleşim yerine göre OKS matematik netleri (puanları) değişiyor mu? İşlem yolu: Analyze / General Linear Model / Univariate

SPSS ile İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Dependent Variable kutusuna alınan puanlar (bağımlı değişken) atıldı. Fixed Factor(s) kutusuna cinsiyet ve yerleşim yeri (bağımsız değişkenler/faktörler) atıldı.

SPSS ile İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Options… seçeneğinden Descriptive ve Homogeneity of variance test işaretlenir. Continue

SPSS ile İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Son olarak OK yapılarak SPSS çıktıları elde edilir.

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Bir işyerinde çalışanların bulundukları mevkilerin ve mevkilerinde geçirmiş oldukları sürelerin iş tatminlerine etki edip etmediği araştırılmaktadır. Çalışanlara yaptıkları işten memnun olup olmadıkları belli aralıklarla (1. hafta, 3 ay, 6 ay, 1 yıl sonlarında) sorulmuştur. Cevap olarak 1’den 10’a kadar kendisine uygun rakamın işaretlenmesi istenmiştir. SPSS

İki Yönlü Varyans Analizi (İlişkisiz Örneklemler İçin) Bir üniversitedeki öğrencilere, belli bir konu, 2 ayrı öğretim tekniği ile (drama ve geleneksel) gösterilmiştir. Bu öğrencilerin cinsiyetlerinin ve konuyu öğrenirken verilmiş olan öğretim tekniğinin konu ile ilgili yapılan bir sınavdaki başarılarına etkisi incelenmek isteniyor. Öğretim tekniğinin sınav başarısında %1 anlamlılık düzeyinde bir etkisi var mıdır? (öğretim teknikleri arasında %1 anlamlılıkta bir fark var mıdır?) Cinsiyetler arasında elde edilen sınav başarısı ile ilgili bir fark var mıdır? (%1 anlamlılıkta) SPSS

SPSS İle Tek Yönlü ANOVA Örnek_roket Dört değişik yakıtla 3 değişik fırlatıcının belli bir roketin menzili üzerindeki etkilerini değerlendirmek amacıyla bir deney yapılıyor. Aşağıda km cinsinden menzillere dayanarak yakıtlardaki farklardan ve fırlatıcılardaki farklardan doğan anlamlı bir etki olup olmadığını sınayın. 0,01 anlamlılık düzeyini kullanın. (Miller,1999) SPSS

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Bu tekniği aynı örnekleme uygulanan 3 veya daha çok deney ölçümlerinin ortalamalarını karşılaştırırken veya aynı örnekleme farklı 3 veya daha çok konuya ilişkin görüşlerini karşılaştırırken kullanabiliriz Tek faktör - 3 düzey ölçüm 1 2 3

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Bir gruba uygulanan ön test-son test-izleme testinin sonuçlarını, Bir ilacın etkilerini ölçmek için ikişer hafta arayla yapılan dört farklı testin sonuçlarını, Öğretmenlerin A, B, C eğitim yöntemlerine ilişkin görüşlerini İlişkili Örneklem Tek Yönlü Varyans Analizi yöntemini kullanarak karşılaştırabiliriz.

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Varsayımlar: Bağımlı değişkene ait puanlar, gruplar içi faktörünün her bir düzeyi için evrende normal dağılırlar Fark puanları evrende çok değişkenli bir normal dağılım gösterir Gruplar içi faktörün herhangi iki düzeyi için hesaplanan fark puanlarının evrendeki varyansları eşittir Bir denek için hesaplanan fark puanı diğer denekler için hesaplanan fark puanlarından bağımsızdır

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Varsayımlar: Bağımlı değişkene ait puanlar, gruplar içi faktörünün her bir düzeyi için evrende normal dağılırlar Fark puanları evrende çok değişkenli bir normal dağılım gösterir Gruplar içi faktörün herhangi iki düzeyi için hesaplanan fark puanlarının evrendeki varyansları eşittir Bir denek için hesaplanan fark puanı diğer denekler için hesaplanan fark puanlarından bağımsızdır

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Öğrtmn eleşt yapılandır gelenek 1 3 5 2 4 6 7 8 9 10 11 12 Örnek: İstanbul Levent Bölgesindeki İlköğretim Okullarında görev yapan öğretmenlerin yapılandırmacı öğrenme, eleştirel öğrenme ve geleneksel öğrenme yöntemlerine ilişkin görüşleri arasında fark var mıdır?

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi ANALYZE » GENERAL LINEAR MODEL » REPEATED MEASURES Bu iletişim kutusunda number of levels kaç ölçüm yaptığımızı gösterir (Örneğimizde,3) Daha sonra sırasıyla Add ve Define tuşlarını tıklayınız.

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Karşınıza Repeated Measures iletişim kutusu gelecektir. Karşılaştırılacak değişkenler aradaki ok kullanılarak Within-Subjects Variables kutucuğuna gönderilir

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Daha sonra Options tuşuna basın. Karşınıza Repeated Measures: Options iletişim kutusu çıkacaktır. Bu iletişim kutusunda daha önce tanımladığınız ve üzerinde işlem yapacağınız faktörü aradaki oku kullanarak Display Means for kutucuğuna gönderin. Son olarak Continue ve OK tuşlarına basın

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Descriptive Statistics tablosundan örneğimizdeki yapılandırmacı öğrenme yaklaşımının en yüksek ortalamaya sahip olduğu, bunu eleştirel öğrenme yaklaşımının izlediği, geleneksel öğrenme yaklaşımının ise en düşük ortalamaya sahip olduğu anlaşılmaktadır.

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Ancak bu karşılaştırmalar sonucu gözlenen farklılıkların anlamlı olup olmadığını belirlemek içinse Tests of Within-Subjects Effects tablosunu incelememiz gerekir. Tablonun anlamlılık sütunundaki değerlerden (p = 0,00, p < 0,01), söz konusu değişkenlerin ortalamaları arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olduğu görülmektedir.

İlişkili (Tekrarlı)Tek Yönlü Varyans Analizi Ancak söz konusu farklı değişkenlerden kaynaklandığını belirlemek, diğer bir ifade ile değişkenler arasındaki farklılıkları ikişerli gruplara halinde karşılaştırmak için Bonferroni testi sonuçları incelenmiştir.

İlişkili (Tekrarlı) İki Yönlü Varyans Analizi Öğretmenlerin A, B, C eğitim yöntemlerine ilişkin görüşlerini İlişkili Örneklem Tek Yönlü Varyans Analizi yöntemini kullanarak karşılaştırdık. Burada tek faktör söz konusu idi. Öğretmenlerin farklı eğitim yöntemlerine ilişkin görüşlerinin kıdemlerine göre farklılık gösterip göstermediğini bulmak istediğimizi varsayalım. Bu durumda 2 faktör söz konusu olacaktır.

İlişkili (Tekrarlı) İki Yönlü Varyans Analizi Örnek: Bir işletmede çalışanların tatmin düzeyleri işletmede başlatılan “kalite çemberi” uygulamaları öncesi, bu uygulama tamamlanır tamamlanmaz ve uygulamadan bir ay sonra ölçülüyor. Çalışanların uygulama öncesi ve uygulama sonrasındaki iş tatmin düzeyleri cinsiyetlerine göre farklılık gösterir mi?

İlişkili (Tekrarlı) İki Yönlü Varyans Analizi ANALYZE » GENERAL LINEAR MODEL » REPEATED MEASURES

İlişkili (Tekrarlı) İki Yönlü Varyans Analizi

İlişkili (Tekrarlı) İki Yönlü Varyans Analizi Bu karşılaştırmalar sonucu gözlenen farklılıkların anlamlı olup olmadığını belirlemek için Multivarite Tests tablosunu incelememiz gerekir.

Kaynaklar Baykul,Yaşar.(2000) İstatistiksel Metodlar ve Uygulamalar. Ankara: Anı. Büyüköztürk,Şener.(2005) Veri Analizi El Kitabı. Ankara: Pegem. Büyüköztürk, Şener.(1997) İki Faktörlü Varyans Analizi. Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Dergisi Cilt 30 Sayı 1. Efe,Ercan ve diğerleri.(2000) SPSS’te Çözümleri ile İstatistik Yöntemler 2. Kahramanmaraş: Sütçüimam Üni.(BAUM). Miller,I &Miller,M.(2007) Matematiksel İstatistik. Çev. Ümit Şenesen. İstanbul: Literatür. Orhunbilge Neyran.(1997) Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri. İstanbul: Avcıol. Serper, Özer.(1996) Uygulamalı İstatistik 2. İstanbul: Filiz Kitabevi. www.istatistikmerkezi.com