YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

Doğrusal (Lineer) Denklem Sistemleri

GİRİŞ (ı) Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gösterimidir. Lineer Denklem Sistemleri: Lineer denklemlere karşılık birden fazla bilinmeyenli denklemler de vardır.

GİRİŞ (2) (n+1) noktaları boyunca ilerleyen n dereceli bir polinomun katsayılarını bulmak istersek (n+1) denklemlerin bir lineer sistemi gösterilir. Örneğin x ve y noktaları boyunca ilerleyen 2. dereceden bir parabol için denklem bulma; (-1,0) ; (1,1) ; (2,-1) a0, a1 ve a2 bilinmeyen katsayılar için aşağıdaki denklemleri çözebiliriz. 2. derecedeki bir polinom için genel denklem her bir x ve y noktasının değeri ile elde edilir.

Durum Örneği Üç Demiryolu Aracının Titreşimi Newtonun 2. Kanununa göre her aracın kazancı -k1 x1 + k2 (x2 – x1) = m1 a1   -k2 (x2 – x1) + k3 (x3 – x2) = m2 a2 -k3 (x3 – x2) = m3 a3

Durum Örneği Üç Demiryolu Aracının Titreşimi k1=k2=k3=k=10000 kg/s ve m= 2000 kg , m2=3000 kg ve m3= 1000 kg’dir. Hepsinin ivmesi 1m/s olduğu durumda her bir aracın konumunu belirleyiniz. Bu temsili değerler ile denklem ve kazanç düzenlenirse;   -2x1 + x2 = 0.2 x1 - 2x2 + x3 = 0.3 x2 - x3 = 0.1 Bu özel form denklem sistemlerinin matris temsili için çok uygundur. [A]{X} = {C} [A] katsayıların matris gösterimi, {x} bilinmeyen vektör temsili, ( x1,x2,x3 ) ve {C} eşitliğin karşı tarafındaki katsayılardır.

Durum Örneği Basit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç Serbest cisim diyagramı çizilir ve x- ve y- yönlerinde kuvvetlerin toplamı ayarlanarak sıfıra yaklaştırılır ve aşağıdaki denklem elde edilir; a ile: Fax + Fab cos45 + Fad cos30 = 0 Fay + Fab sin45 + Fad sin30 = 0 b ile: -Fab cos45 + Fbc cos45 + 3 = 0 -Fab sin45 – Fbc sin45 –Fbd = 0 c ile: -Fcd cos30 – Fbc cos45 = 0 Fcy + Fcd sin30 + Fbc sin45 = 0   d ile: -Fad cos30 + Fcd cos30 = 0 Fbd – Fad sin30 – Fcd sin30

Durum Örneği Basit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç Denklem yeniden düzenlenirse; Denklem organize biçimde yeniden düzenlendiğinde bu değerler bir matris formunda kolaylıkla yerine koyulabilir. F1 =Fax, F2 = Fay, F3 = Fab, F4 =Fad, F5 = Fbc, F6 = Fbd, F7 = Fcd, ve F8 = Fcy Matris denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. [G]{F} = {L} G geometrik matris, F Güç vektörü ve L yol vektörüdür.

Durum Örneği Basit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç Denklem sistemi 8 bilinmeyen için çözülebilir. 8 bilinmeyenli denklemin çözümü 8 denklem yardımıyla olur. Elbette bu istenilen bir iş değildir. Bu yüzden hesap ve çözüm algoritmalarını şu an bu bölümde bu görevi nispi kolaylaştırma ile yerine getirebiliriz.

Matris Cebirinin İncelenmesi [A] 3*3 matrisi belirler a11 a12 a13 [A] = aij = a21 a22 a23 a31 a32 a33 İlk indeks i=1,2,3 satır sayılarını belirtir ve 2. indeks j=1,2,3 sütun sayıları belirtir. Aii(a11, a22, a33 ) elemenları köşegen elemanlardır. Bu köşegen elemanların üstündeki elemanlar üst köşegen elemanlar altındakileri ise alt köşegen elemanlar olarak adlandırılır.   Alt köşegen elemanlar 0 olduğunda üst üçgen matris üst köşegen elemanlar 0 olduğunda alt üçgen matris olarak adlandırılır. Bir matris genellikle m satır ve n sütun ile belirtilir. [A] = aij ; i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n m=n eşit olduğunda kare matris olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü n*m ile belirtilir.

Matris Cebirinin İncelenmesi Toplama İki matrisi toplayabilmek için aynı büyüklükte olmaları gerekir. İki matrisin toplanabilmesi için bu işlem elemanlarının uygun olması gerekir.   [A] + [B] = [C] yani aij + bij = cij Örneğin c11 = a11 + b11; c12 = a12 + b12; c21 = a21 + b21 vs.

Matris Cebirinin İncelenmesi Çarpma 1.matrisin sütun sayısı ile 2. matrisin satır sayısı aynı olması şartıyla iki matris çarpılabilir.   [A]mxn [B]nxk = [C]mxk   Matrisin çarpım sonucu 2. matrisin sütun sayısı ile 1. matrisin satır sayısıyla aynı olduğu görülür. İki matris çarpımında rakamlar aşağıdaki denklem ile gösterir;  aij bjk = cik Toplam j indeksi üzerinde ise önemli not : çarpımda yerler değiştirilemez. [A][B]  [B][A]

Örnek 3.2.1 Problem: Aşağıda verilen matrisin çarpımını bulunuz 1 -1 0 1 -1 0 [A] = aij = 2 -2 1 3 0 -1 2 -2 [C] = cik = 7 -4 3 -3 Çözüm: i=1, k=1 c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1 * 2 + -1 * 0 + 0 * 3 = 2 i=2,k=1 c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 * 2 + -2 * 0 + 1 * 3 = 7 i=3,k=1 c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 3 * 2 + 0 * 0 + -1 * 3 = 3 i=1,k=2 c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 * -1 + -1 * 1 + 0 * 0 = -2 i=2,k=2 c12 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 * -1 + -2 * 1 + 1 * 0 = -4 i=3,k=2 c12 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 3 * -1 + 0 * 1 + -1 * 0 = -3

Matrisin Transpoz ve Determinantı Bir matrisin transpozu, [A]T matrisin sütunlarıyla satırlarının yer değiştirmesiyle elde edilir. [B] = [A]T ; bij = aji Bir simetrik [A] matrisi için; [A]T = [A]. Bir matrisinin determinantı şu şekilde tanımlanır. det[A] = (-1)i+j aij Minormatris j sütun ve i satır bağlantısıyla elde edilen orijinal matrisin örneğidir. Eğer 2 satır yer değiştirirse bu determinant değişikliği işaretidir. En küçük 2 ncil matris 2 * 2 dir ve determinantı: Eğer Det [A] =0 ise, [A] matris tanımsızdır ve sistemin tek çözümü yoktur.  

Örnek E3.2.2 - Bir Matrisin Determinantını bulma

Bir Matrisin Tersi ve Özdeşi [A] matrisinin tersi [A]-1 olarak tanımlıdır. [A][A]-1 = [I] = [A]-1[A] [I] birim matris olarak adlandırılır. Bu matrisin köşegen elemanı 1 diğer tüm elemanları 0 dır. Örneğin 4 * 4 tanımınlı matris;

Bir Matrisin Tersi

Bir Matrisin Tersi

Matris Cebirinin Kuralları Birleşme Kuralı ([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C]) ([A][B])[C] = [A]([B][C])   Yerdeğiştirme Kuralı [A] + [B] = [B] + [A] Dağıtma Kuralı [A]([B]+[C]) = [A][B] + [A][C] ([A][B])T = [B]T [A]T ([A] + [B])T =[A]T + [B]T Tersi ([A][B])-1 = [B]-1 [A]-1 (c=Sabit) (c[A]) -1 = [A]-1/c Determinant det([A][B]) = det[A]det[B] det([A]T) = det[A] (c=Sabit) det(c[A]) = cn det[A] (n.derece)

Matris Normları Bir vektörün normu veya bir matris negatif olmayan sayılardır. Bu sayılar matris veya vektörün büyüklüğünün bir ölçümüdür. Scaler sayıların büyüklüğü tam değerlerdir. Çünkü bir skaler birden fazla vektörü ve matrisi içerir. Vektörler ve matrisler için normlar birden fazla yolla hesaplanabilir ve tanımlanabilir. Vektörün büyüklüğü elemanların karelerinin toplamının karekökü ile tanımlanır. örneğin {v} = -1i + 2j -3k; v1 = -1, v2 = 2, v3 = -3 {V} = Bu normlar Euclidian norm olarak bilinir. Genellikle bir ‘’p’’ normu tanımlanabilir.  

Matris Normları (II) for 1 i  n Diğer yaygın kullanım normu uniform (tekbiçimli) vektör norm olarak adlandırılır. 1 i  n için Benzer normlar n*n büyüklüğündeki bir [A] matrisi ile tanımlanır. Frobenius norm: Uniform matris normu (ya da satır-toplam normu): for 1 i  n Sütun normu (ya da sütun-toplam normu): for 1 j  n

Örnek E3.2.3 Problem: Aşağıdaki matrisi 3 yaygın normlarla hesaplayınız.   Çözüm: Tanımlamaların kullanımıyla elde edelim Frobenius norm: {(1)2 + (2)2 + (3)2 + (-2)2 + (3)2 + (4)2 + (-1)2 + (-2)2 + (5)2 }1/2 = 8.54 Uniform matris normu: max{(1+2+1), (2+3+2), (3+4+5)} = max(4,7,12) = 12 Sütun normu: max{(1+2+3), (2+3+4), (1+2+5)} = max(6,9,8) = 9

Koşul Sayıları ve Koşullandırılmış Sistemler Bir matrisin koşul sayısı A ile tanımlanır.  Cond([A]) =   Sembol matrisin bir normunu gösterir. Cebir matrisiyle gösterilebilir. Bir matrisin koşul sayısı genellikle 1 den büyük ve eşittir. Cond ([A]) = Eğer bir matrisin koşul sayısı büyükse ona kötü şart denilebilir. Denklem sistemlerinde kötü şart içeren sistem varsa zor çözülürler. Bir sayısal çözümün bulunma denenmesinden önce bu sistemler ilk olarak önceden hazırlanmalıdır. Kötü şartlı sistemler için katsayıdaki küçük bir değişiklik çözümde büyük bir değişikliğe götürür.

Örnek E 3.3.1. Problem:Verilen matrisin koşul sayısını bulunuz   [A] = [A]-1 = (1/56) Çözüm: Tek matris normu kullanımı : = Max (4, 7, 12) = 12; = Max[(1/56) (36, 24, 18)] = 36/56 = 9/14 Cond ([A]) = (12)(9/14) = 54/7 Sütun Normu Kullanımı: = Max (6, 9, 8) = 9; = Max[(1/56) (40, 24, 14)] = 40/56 = 5/7 Cond ([A]) = (9)(5/7) = 45/7

Bir matrisin koşulunu kontrol için gözden geçirme kuralları Matris ölçümünden sonra uygulama denemelerini izleme, [A] gibi geniş elemanlarda her bir satır 1 dir. Eğer kapalı köşegen elemanlarının tam değerlerinin toplamı ,ayrı ayrı her bir satır için köşegen elemanlarının tam değerinden daha az ise bu matris muhtemelen iyi koşullanmamıştır. Not :Satırların kısmi eksende yer değiştirmesi bir matrisin koşul sayısını değiştirmez. Eğer det[A]  0. ise bu matris kötü koşullanmıştır. Eğer [A]-1 in elemanlarının ve varsa [A]-1 elemanlarının sırası bir diğerinden büyükse muhtemelen kötü koşullanmıştır. [I]* = [A] [A]-1; Eğer [I]* , [I], özdeş matrisinden farklı özellikteyse matris muhtemelen kötü koşullanmıştır. [A]* = {[A]-1}-1 ; Eğer [A]* orijinal [A] matris inde kapalı değilse muhtemelen kötü koşulludur.

Örnek E 3.3.2. Problem: Verilen gösterimde   satırlar yer değiştiği zaman matrisin koşul şartının yer değişmediğini gösterelim.  Çözüm: Şimdi aşağıdaki matrisi elde etmek için satırları değiştirin. Matrisin tersinin doğruluğu çarpımın kontrolüyle gösterilir. [B][B]-1 = I Froberius normu kullanarak bulabiliriz ; cond([A]) = ||[A]||e||[A]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001 cond([B]) = ||[B]||e||[B]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001

Doğrusal Sistemlerin Çözümü için Direk Metodlar Genelde yaygın olarak Direk Metot kullanılır. Bu metodu anahat prosödürü veya algoritması koşullandırıldığı zaman çözebiliriz. Bu nedenle yaklaşık çözüm geliştirmede iterasyona ihtiyaç yoktur.   Cramer’s Metodu: Bu metod liner bir denklemin çözüm metodundan çok kullanışsız ve masraflıdır. n*n matrisin determinantının hesaplanması istenirse n bilinmeyen sayısıdır. Bu kural ; xi = det{[A]*}/det[A] i=1,2,3,...,n için (3.4.1) [A]* matrisin değişimidir “i”ninci matris diğer tarafındaki sütunun değişimidir örneğin {c}T = (c1,c2,c3, ...

Örnek E 3.4.1 Problem: (3.1.4).denklem sistemin çözümünü bulunuz   Çözüm: İlk olarak denklemin matris formunu yazmalıyız [A]{X}={C} x1 = a0 = det[A*]1/det[A]; x2 = a1 = det[A*]2/det[A]; x3 = a2 = det[A*]3/det[A] Daha sonra det[A] = 6 a0 = 8/6 a1 = 3/6 a2 = -5/6

Bölüm 3a Sonu

Referanslar Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001 http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm