OLASILIK VE İSTATİSTİK KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI YRD.DOÇ.DR.PINAR YILDIRIM OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE MİMARLIK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Rassal Değişkenler: Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir değişkene rassal değişken adı verilir. Otomobil sayısı X değişkeni ile gösterilir. Bir rassal değişken, kesikli (discrete) ya da sürekli (continuous) olabilmektedir.

Kesikli Rassal Değişken: Bir kesikli değişken, değerleri sayımla elde edilen değişkendir. Başka bir deyişle bir kesikli değişkenin birbirini izleyen değerleri arasında belirli boşluklar vardır. Örnekler: Bir galerinin herhangi bir ayda satmış olduğu otomobil sayısı Herhangi bir günde bir tiyatroya gelen izleyici sayısı Bir ailenin çocuk sayısı

Sürekli Rassal Değişken: Değerleri ölçüm ya da tartımla elde edilen, başka bir anlatımla sayımla elde edilemeyen bir değişkene sürekli rassal değişken denir. Sürekli bir rassal değişkenin değerleri aralıklar halinde tanımlanır. Örnekler: Bir kişinin boy uzunluğu Sınavda bir sorunun çözülme süresi Bir bebeğin ağırlığı

Kesikli bir rassal değişkenin olasılık dağılımı:

Kesikli bir rassal değişkenin olasılık dağılımı: B- ∑P(x) = 1 Örneğin seçilen ailenin ikiden çok otomobile sahip olma olasılığı:

Eski verilerden yararlanılarak bir makinenin birer hafta süresince yaptığı arıza sayıları listelenerek verilmiştir. Olasılık dağılım grafiği

Kesinlikle iki arıza olma olasılığı: Birden çok arıza olma olasılığı: En çok bir arıza olma olasılığı:

Örnek:Yapılan bir araştırmaya göre; üniversite öğrencilerinin % 60’ nın matematik derslerini sevmedikleri (fobi) ve sınavlarından korktukları elde edilmiştir. x matematik derslerini sevmeyen öğrenci sayısını göstermek üzere, bu gruptan rassal seçilen iki öğrenci için deneyin olasılık dağılımını yazınız. NN- Her iki öğrencide de matematik fobisi yok NM- İlk öğrencide matematik fobisi yok ikinci de var MN- İlk öğrencide matematik fobisi var ikinci de yok MM- Her iki öğrencide de matematik fobisi var N = Seçilen öğrencide matematik fobisi yok M = Seçilen öğrencide matematik fobisi var

P(M) = 0.60 P(N) = 1- P(M) = 1- 0.60 = 0.40

Kesikli Bir Rassal Değişkenin Ortalaması: Kesikli bir rassal değişkenin ortalaması, X değişken değerlerinin kendilerine karşılık gelen olasılıklarla çarpılıp toplanması işlemi ile hesaplanır. X kesikli değişkenin ortalamasına, beklenen değer (expected value) denir ve E(x) ile gösterilir = E(x) Örnek: Bir makinenin bir haftada yaptığı arıza sayılarına ilişkin olasılık dağılımının ortalamasını bulalım.

∑

Kesikli Bir Rassal Değişkenin Standart Sapması: standart sapma değerinin büyük olması, x değerlerinin ortalama etrafında geniş bir aralıkta değerler aldığını gösterirken, küçük standart sapma değeri bu aralığın dar olduğunu, gözlenen X değerlerinin ortalamaya çok yakın değerler aldığını ifade eder. Kesikli bir rassal değişkenin standart sapması: Varyans Standart Sapma

Örnek: Bir elektrik firması bilgisayar parçaları üreterek satışa sunmaktadır. Üretilen her parça tek tek kalite kontrolünden geçirildikten sonra piyasaya sürülmektedir. Ancak tüm bu titiz kontrollere karşın, az sayıda da olsa bazı bozuk parçalar da gözden kaçabilmektedir. x arızalı parça sayısını göstermek üzere, 400 parçalık bir sevkiyatın olasılık dağılımı verilmiştir. x değerinin standart sapmasını bulunuz.

∑ ∑ = 1.20 400 parçadan oluşan sevkiyatın, 1.2 standart sapma değeriyle ortalama 2.5 tanesi arızalıdır.

Örnek:Yeni bir mutfak aleti üreterek piyasaya sürmeyi planlayan bir firmanın finansal kaynaklar bölümü; bu ürüne yüksek talep olursa yılda 4.5 trilyon TL, normal talep olursa 1.2 trilyon TL kar edeceklerini, düşük talep olursa yılda 2.3 trilyon TL zarar edeceklerini hesaplamıştır. Bu üç talep beklentisine ilişkin olasılıklar sırasıyla 0.32, 0.51 ve 0.17 olduğuna göre, a) x yıllık karı göstermek üzere, x‘in olasılık dağılımını yazınız. b) x ‘in ortalama ve standart sapma değerlerini bulunuz.

A- B- Standart sapma =

Faktöriyeller ve Kombinasyonlar: Faktöriyeller: “!” sembolü faktöriyel işareti olup, verilen değerden 1’e kadar tüm pozitif tamsayıların çarpımından oluşur.

Kombinasyonlar: Bir grup içerisinden az sayıda birimin çekilmesi durumunda; Bir öğrenci dört soruluk bir sınavda iki soruyu cevaplayacaktır Bir fakültedeki 20 profesör arasından üç kişilik bir komite seçilecektir N eleman arasından her seferinde x tanesinin seçilmesinde kombinasyon sayısı olarak okunmaktadır.

Örnek: Dört soru arasından iki tanesinin seçilmesi durumunda; Örnek: Beş kişi arasından üç kişiden oluşacak bir jüri oluşturulması:

Binom (iki terimli) olasılık dağılımı: Binom olasılık dağılımı, n tekrarlı bir deneyde x kez istenen sonuç gelmesi durumunda, olasılıkların bulunması amacıyla kullanılmaktadır. Örneğin bir fabrikada üretilen TV setlerinin arızalı olma olasılığı % 5 olarak verilmişse bu fabrikada üretilen TV setlerinden üç tanesinin seçilmesi durumunda, bunlardan bir tanesinin arızalı olma olasılığının bulunmasında kullanılmaktadır.

Binom Deneyi: Eğer bir deney aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa bu deneye binom deneyi denmektedir. N tane özdeş deneme vardır. Yani verilen deney n kez özdeş (aynı) koşullarda tekrarlanmaktadır. Her denemenin sadece ve sadece iki sonucu vardır. Bu sonuçlara genellikle başarı ya da başarısızlık denmektedir. P başarı olasılığı, q ise başarısızlık olasılığı olmak üzere p+q = 1 dir. Bir denemenin sonucu öteki denemenin sonucunu etkilememektedir (bağımsız).

Örnek: Hatasız bir paranın 10 kez atıldığı bir deney, bir binom deneyimidir?

Binom Olasılık Dağılımı ve Binom Formülü: Bir binom deneyinde n denemede elde edilen başarı sayısı X ile ifade ediliyorsa, X rassal değişkenine binom rassal değişkeni, dağılımaysa binom dağılımı denir. Binom dağılımı, n denemeden X başarılı sonucun elde edildiği binom deneyinde olasılık hesaplamak amacıyla kullanılmaktadır.

Örnek: Arızalı olma olasılığı %5 olan TV seti örneğinde, rassal seçilmiş olan 3 TV setinden sadece bir tanesinin arızalı olma olasılığı nedir? D = Seçilmiş bir TV setinin arızalı olması G = Seçilmiş bir TV setinin arızalı olmaması

Aynı sonucun binom formülü ile bulunması:

Örnek:Yüksek kalitede hizmet sunan bir kargo şirketinin, paketlerinden sadece % 2’sini belirlenen sürede yerine ulaştıramadığı bilinmektedir. Bir müşteri 10 tane paketi bu kargo firmasına getirerek, belirli bir sürede üzerlerinde yazılı adreslere ulaştırılmasını istemiştir. a) Bu paketlerden bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaflmama olasılığı nedir? b) Bu paketlerden en çok bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaşmama olasılığı nedir?

Örnek:Bir araştırma sonucunda 6 yaşından küçük çocuklu, evli kadınların % 60’ nın ev hanımı olmadıkları bulunmuştur. Bu gruptan evli üç kadın rassal olarak seçilmiştir. x, ev hanımı olmayan kadın sayısını göstermek üzere, üç kadının da ev hanımı olmama olasılığını bulunuz, x rassal değişkeninin olasılık dağılımını yazarak grafiğini çiziniz.

Binom olasılığı ve binom dağılımının biçimi:

Binom dağılımın ortalama ve standart sapması: n: toplam deneme sayısı P: başarı olasılığı q: başarısızlık olasılığı

Örnek:Yapılan bir araştırmayla bir kasabadaki erişkinlerin % 58’inin psikolojik sorunu olduğu bulunmuştur. Bu kasabadan rassal 25 erişkin seçilmiştir. x , bu örneklemdeki psikolojik sorunu olan kişi sayısını göstermek üzere, x ‘in olasılık dağılımının ortalama ve standart sapmasını bulunuz.

Poisson Olasılık Dağılımı: Pek çok deneyler sürekli bir zaman aralığında, bir alanda(bölgede), ya da hacimde bir olayın(başarının) sayılması sonucunda 0,1,2,3… değerlerinin verilmesiyle oluşur. Birim zaman, dakika, saat, gün, hafta, uzunluk, alan ve hacim olabilir.

Poisson rastgele değişkeni: Aşağıdaki koşulları sağlayan X’e Poisson rastgele değişkeni denir. Deney, verilmiş bir birim zaman, alan ya da hacimde bir olayın(başarının) elde ediliş sayılarının sayılmasıyla oluşur. İki ayrık birim zamanda, alanda ya da hacimde elde edilecek başarıların sayıları birbirinden bağımsızdırlar. Bir birim zaman, alan veya hacimdeki başarı olasılığı, tüm birimler için aynıdır. Çok küçük bir zaman aralığı, alan ya da hacimde iki ya da daha çok başarının olması hemen hemen olanaksızdır. Bir birim zaman, alan ya da hacimde bir sonucun ortalama elde ediliş sayısı λ dır.

Örnekler: Büyük bir şehirde ender rastlanan bir hastalıktan her yıl meydana gelen ölümlerin sayısı Bir üretim malındaki kusurların sayısı Bir telefon santralında her bir dakika için gerçekleşen telefon konuşmalarının sayısı Bir hava alanına her saat inin uçakların sayısı

Poisson Olasılık Dağılımı Formülü:

Örnek:Yapılan bir araştırmadan 18-24 yaş grubundaki tüketicilerin ayda ortalama 6.9 kez alışverişe çıktıları bulunmuştur. Poisson olasılık dağılımına uyduğu düşünülen rassal değişken için, 18-24 yaş grubunun ayda 5 kez alışverişe çıkması olasılığını bulunuz. P(X = 5)

Örnek:Bir çamaşır makinesi, ayda ortalama, üç kez sıkma arızası yapmaktadır. Poisson olasılık dağılımından yararlanarak bu makinenin gelecek ay a) iki kez arızalanması, b) En çok bir kez arızalanması olasılıklarını bulunuz.

Ayda ortalama üç kez sıkma arızası olduğuna göre bu durumda; a) Gelecek ay iki kez sıkma arızası olma olasılığı;

P (En çok bir arıza) = P(x ≤ 1) = P (0 ya da 1) = b) Gelecek ay, en çok bir sıkma arızası ifadesiyle; hiç arıza olmaması ve sadece bir arıza olması kastedilmektedir. P (En çok bir arıza) = P(x ≤ 1) = P (0 ya da 1) = P(x = 0) + P(x = 1) olarak elde edilir.

İstatistik Yöntemleri, Doç. Dr. Murat Karagöz,7 İstatistik Yöntemleri, Doç.Dr.Murat Karagöz,7.Baskı,Ekin Basın Yayın Dağıtım,2009 Anadolu Üniversitesi, Olasılık ve İstatistik Ders Notları