İDEAL AKIŞKANLARIN İKİ BOYUTLU AKIMLARI BÖLÜM 7 İDEAL AKIŞKANLARIN İKİ BOYUTLU AKIMLARI ercan kahya

7.2. TEMEL DENKLEMLER 7.2.1. Süreklilik Denklemi ■ 2-B olarak x-y düzleminde incelenen zamanla değişmeyen bir akımda: ■ Kütlenin korunumu kanunu: kontrol hacmine giren ve çıkan hacimlerin birbirine eşit olmalı:

Sıkıştırılabilen akışkanlar için süreklilik denklemi: Sıkıştırılabilen akışkanın zamanla-değişen akımında süreklilik denklemi Üç boyutlu halde ise; sıkıştırılamayan akışkanlar için süreklilik denklemi: Sıkıştırılabilen akışkanlar için süreklilik denklemi: Vektörel formda: Sıkıştırılamayan Akışkanlar: Sıkıştırılamayan Akışkanlar:

7.2.2. Hareket Denklemi Newton'un ikinci hareket denklemini Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine paralel bileşenlerini X ve Y ile gösterelim.

■ Akışkan parçacığının ivmesi tanım olarak bu akışkan parçacığının hızının zamana göre türevidir. (Lagrange bakış açısı) kişisel (tam) türevler ■ Euler bakış açısına göre hız, zamana ve noktanın koordinatlarına bağlıdır. → türev almadaki zincir kuralı: yerel ivme konvektif ivme

Euler hareket denklemleri ► İdeal akışkanların iki boyutlu akımlarının hareket denklemleri: X ve Y: Birim kütleye etkiyen kütlesel kuvvetin x ve y-eksenlerine paralel bileşenleri. Not: y-ekseni yukarıya yönelmiş düşey doğrultuda düşey bir düzlem ise X = 0, Y = -g

Üç boyutlu halde Euler hareket denklemleri: Bu denklemler vektörel formda: Kütlesel Kuvvetler

7.2.3. Enerji Denklemi ● Kütlesel kuvvetlerin sadece yerçekimi ● x-y düşey düzlemi ● zamanla değişmeyen ● ideal akışkan akımında Euler hareket denklemleri (2-B): Bu akımda akım çizgisi denklemi: Bu denklemlerinden birincisini dx, ikincisini dy ile çarptıktan sonra 1den 2 ye kadar akım çizgisi boyunca integre edilirse ve akım çizgisi denklemi ile birlikte manupile edilirse:

7.3. POTANSİYEL AKIMLAR 7.3.1. Çevrinti ve Sirkülasyon Çevrinti: Bir akışkanın hareketi sırasında akışkan elemanlarının yaptığı dönme hareketinin açısal hızı ► A noktasından geçmekte olan akışkan parçasının yaptığı dönme hareketinin açısal hızı, şu iki açısal hızın ortalamasına eşit olmalıdır: (a) AB doğrusunun A etrafında dönme hareketinin ve (b) AD doğrusunun A etrafında dönme hareketinin.

Bir kapalı eğri boyunca hesaplanan integraline sirkülasyon denir:   Bir kapalı eğri boyunca hesaplanan integraline sirkülasyon denir:

7.3.2. Çevrintisiz Akım Çevrintisiz (potansiyel) akım: Her noktasında çevrintinin sıfır olduğu akım Çevrintisiz bir akımda her noktada: Not: Bir akımda hız gradyanlarının küçük olduğu bölgelerde çevrinti pratik bakımdan ihmal edilebilecek kadar küçük ise → potansiyel akım kabulü

7.3.3. Akım ve Potansiyel Fonksiyonları Akım Fonksiyonu: ● Zamanla değişmeyen ● 2-B (düzlemsel akım) ● Süreklilik denklemini NOT: fonksiyona bir sabitin eklenmesi türev almayı etkilemeyeceğinden daima bir sabit farkıyla tanımlanabilir. Bu denklem her zaman sağlanır.

Akım Fonksiyonu: fonksiyonun herhangi bir noktadaki değeri, bu nokta ile O orijini arasındaki herhangi bir çizgiden geçen (şekil düzlemine dik doğrultuda birim uzunluk için) debiyi verir.

Potansiyel Fonksiyonu fonksiyonunun tanımlanabilmesi için akımın çevrintisiz olması gerekmez. Akım çevrintisiz ise ayrıca bir potansiyel fonksiyonu tanımlanabilir: ● Çevrintisiz akımlara potansiyel akım da denir. ● Potansiyel fonksiyonu bir sabit farkı ile tanımlanır. ● Bir akım alanında ɸ = sabit çizgilerine potansiyel çizgisi adı verilir.

7.3.4. Potansiyel Akımların Temel Denklemleri Akım çevrintisiz ise, 1 ve 2 noktaları akım alanı içerisinde herhangi iki nokta olabilir, bunların bir akım çizgisi üzerinde bulunması şartı yoktur. Akım fonksiyonunu → çevrintisizlik şartı denklemine yerleştirirsek:

Potansiyel fonksiyonunu → süreklilik denklemine yerleştirilerek: Laplace denklemi ve kısaca şu şekilde yazılır:

7.3.5. Akım Ağı ■ Bir akım alanında çizilen potansiyel ve akım çizgilerinden oluşan çizgiler topluluğuna akım ağı denir. ■ Birbirleriyle kesişen bir akım çizgisiyle bir potansiyel çizgisinin daima birbirlerini dik açı altında keser. ■ Problemin sınır koşullarına uyacak şekilde eğrisel karelerden oluşan bir akım ağı deneme yoluyla çizilir. ■ Ağ çizildikten sonra bir noktadaki hızın değeri yaklaşık olarak:

Bu akım için bir potansiyel fonksiyonu tanımlanırsa: 7.4.2. Yeraltı Suyu Akımı Yeraltında zeminin boşluklarının tamamen su ile dolmuş olduğu doymuş bölgede yer alan yeraltı suyu akımı (Darcy Kanunu): Bu akım için bir potansiyel fonksiyonu tanımlanırsa: olacağından yeraltı suyu akımının potansiyel bir akım olduğu görülür.

Bir bağlamanın altındaki zeminde sızma olayı: Sınır koşulları: 1°) Bağlamanın temeli, palplanşlar ve geçirimsiz zemin boyunca akımın hızı bu sınırlara teğet olmak zorunda olduğundan bu sınırlar birer akım çizgisidir. 2°) Bağlamanın menba ve mansabında akarsu tabanında basınç hidrostatik kabul edilebileceğine göre, akarsu tabanIarı bir potansiyel çizgisidir.

GERÇEK AKIŞKANLARIN İKİ BOYUTLU AKIMLARI BÖLÜM 8 GERÇEK AKIŞKANLARIN İKİ BOYUTLU AKIMLARI ercan kahya

8.1. GİRİŞ Bir gerçek akışkanın hareketinde ideal akışkan kabulünün yapılabilmesi için şu iki koşulun birlikte sağlanması gerekir: 1°) Akışkanın viskozitesi küçük olmalıdır (su, hava). 2°) Hız gradyanı küçük olmalıdır.

GİRİŞ Buna göre akım alanını iki bölgeye ayırarak incelemek gerekir: Hareketsiz katı sınırların yakınındaki sınır tabakası: Hız gradyanının ve sürtünmelerin büyük olduğu bu bölgede → akışkan gerçek b) Katı sınırlardan yeter uzaklıktaki potansiyel akım bölgesi: Bu bölgede akım → ideal bir akışkanın potansiyel akımı ■ Hız gradyanı büyük olduğu başka bir örnek: Hareketsiz bir cismin arkasında görülen ayrılma bölgesidir.

8.2. TEMEL DENKLEMLER ● Gerçek akışkanların 2-B akımlarında süreklilik denklemi → ideal akışkanlar (7.1 denklemi) ● Enerji denkleminde (hk yük kayıbını ve aynı akım çizgisi üzerindeki iki nokta) → (6.14.a) verilen enerji denklemi ● Hareket denklemlerinde → sürtünme gerilmelerinden doğan kuvvetler Navier-Stokes denklemleri

3-B Navier-Stokes denklemleri: Bu denklemler vektörel formda;

8.3.1. İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım Süreklilik denklemi (Üniform akım): x-yönünde Navier-Stokes denklemi:

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım ► x-yönünde Navier-Stokes denklemi: İntegre edilirse ( ) Cı ve C2 sabitleri sınır koşullarından: O halde u:

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım y-yönündeki Navier-Stokes denklemi: Özel hal olarak; Couette Akımı

İki Sonsuz Plak Arasında Laminer Akım Özel hal olarak; Poiseuille Akımı U = 0 olması halinde Maksimum hız:

8.4. SINIR TABAKASI ■ Boru boyunca ilerledikçe boru çeperindeki sürtünme → bir kısım akışkan yavaşlatılır → sınır tabakası ■ Sınır tabakasının kalınlığı akım doğrultusunca artar ■ Bir süre sonra sınır tabakası bütün boru kesitini kaplar & hız dağılımı kesitten kesite değişmez.

SINIR TABAKASI Üniform bir akım alanına hız doğrultusunda yerleştirilen düz bir plak: ■ Pratikte u =0,99 U noktasına kadar olan uzaklık sınır tabakası kalınlığı kabul edilir. ■ δ (sınır tabakası kalınlığı): Boyutsal ve deneysel düşüncelerden,

8.5. SINIR TABAKASININ AYRILMASI Eğrisel bir katı sınır boyunca oluşan sınır tabakası: C noktasından itibaren sınır tabakasındaki akışkanın bir kısmı esas akım doğrultusunda ilerlemeyip geri dönecek ve bir ters akım oluşacaktır. Bu olaya sınır tabakasının ayrılması (çözülme) denir.

SINIR TABAKASININ AYRILMASI ■ Akım alanını çevreleyen sınırların eğriliğinin büyük olması halinde daima ayrılma görülür. ■ Ayrılma bölgesinde hız gradyanı ve türbülans çalkantıları büyük olduğu için önemli yük kayıpları meydana gelir. ■ Bu bakımdan su yapılarında genellikle ayrılma olmaması istenir. ■ Sınırlara uygun bir şekil vermek, akımın yavaşladığı bölgelerde büyük eğriliklerden ve özellikle keskin köşelerden kaçınmak gerekir.