Geometrik Dönüşümler

Genel Bakış 2 ve 3 boyutlu, Çevirim(Translation) Dönüş(Rotation) Ölçeklendirme(Scaling) Homojen koordinatlar Koordinat sistemleri

2 Boyutlu Konum Değiştirme (Translation) Bir nesneyi bir koordinattan bir diğerine düz bir çizgi boyunca yeniden konumlandırma Orijinal koordinat pozisyonuna tx ve ty, çevirim mesafelerini ekleme Konum değiştirme katılarda, Nesneyi bozmadan hareket ettirir.

2 Boyutlu Dönüş (Rotation) Orijin etrafında dönüş:…….. Orijinal kutup koordinatları:…….. Yerlerine yerleştirdikten sonra:…….. Matris yapısı:……… Pozitif dönüş açıları saat yönünün tersini gösterirken, negatif açılar saat yönünü gösterir.

2 Boyutlu Dönüş Rastgele bir nokta etrafında dönüş:……… Önce translation(xr,yr) ve yerlerine koymadan sonra dönüş:……..

2 Boyutlu Dönüş Dönüşlerde işlem sırası önemlidir. Sonuç imge farklı olabilmektedir. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi...

2 Boyutlu Dönüş Bir doğru, doğrunun bitiş noktalarına dönüş denklemi uygulanarak döndürülür ve yeni bitiş noktaları arasına yeniden çizilir. Çokgenler her tepe noktasını belirlenen dönüş açısıyla döndürülürler ve daha sonra yeniden çizerler. Eğriler tanımlama noktalarının yeniden konumlandırılması ve eğrinin yeniden çizilmesiyle döndürülür.

2 Boyutlu Ölçeklendirme Nesnenin boyutunu değiştirir Bir nesne her tepe noktasının (x,y) koordinatlarının birer ölçekleme katsayısı olan sx ve sy ile çarpılmasıyla ölçeklendirilir. Sx ve sy herhangi bir pozitif değer alabilir. 1’den küçük değerler nesnenin boyutunu küçültür. 1’den büyük değerler genişleme sağlarlar Sx ve sy 1 ise, boyut değişmez.

2 Boyutlu Ölçeklendirme Tek düze ölçeklendirme: Sx ve sy aynı değerdedirler. Diferansiyel ölçeklendirme: Sx ve sy eşit değildirler. 1’den küçük ölçekleme değerleri nesneyi orijine yaklaştırır. 1’den büyük ölçekleme değerleri nesneyi orijinden uzaklaştırır. Sabit nokta: (xf,yf) sabit noktası ölçeklemeden sonra konumu kontrol etmek içindir. (xf,yf) sabit noktasının koordinatları herhangi bir pozisyonda olabilir.???? xf(1-sx) ve yf(1-sy) nesnenin tüm noktaları için sabit taşıma (translation) oluşturur.

Homojen koordinatlar Soru: Çevirim(Translation) matrisleri toplama gerektirmesine rağmen, ölçekleme ve dönüş matrisleri çarpım gerektirir. Bunları nasıl birleştiririz? Çözüm: Kartezyen koordinatları yerine homojen koordinatlar kullanılır. Bu koordinat sisteminde çevirim, ölçekleme ve dönüş genel bir matris çarpım yöntemiyle ifade edilebilir.

Homojen koordinatlar 2 boyutlu koordinatta temsil edilen p1(x1,y1) noktasını bir “h” değişkeni ekleyerek p1h(hx1,hy1,h) olarak gösterilir. h=1 olduğunda (x,y) için kartezyen koordinatlardaki değer elde edilir. Homojen koordinatlarda p(m,n,h) ile verilen nokta p(m/h,n/h,1) kullanılarak kartezyen koordinatlardaki değerler bulunabilir. Her nokta için aynı doğru üzerinde “h” değerine bağlı olarak birden çok homojen koordinatla gösterilebilir.

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Çevirim Matris temsili:………….. Ters çevirim matrisi tx ve ty’yi –tx ve –ty ile değiştirilerek yapılır. P den P’ ne: ve P’ nden P’’ ye çevirim………..

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüş Matris temsili:……. Ters dönüş matrisi θ’nın –θ’ya dönüştürülmesi ile gerçekleştirilir. İki başarılı dönüş:………..

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Ölçekleme Matris temsili:…….. Ters ölçekleme matrisi sx ve sy’nin 1/sx ve 1/sy ile değiştirilmesiyle elde edilir. P den P’ ne ve P’ den P’’ ne ölçekleme:….

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüşüm Birleşimi Açık GL sadece orijin etrafında bir dönüş fonksiyonu sağlar. Rasgele bir nokta etrafında bir nesneyi döndürmek için ardı ardına 3 esas dönüşüm yapılmalıdır. Eksen noktası orijine çevrilir. Orijin etrafında dönülür. Eksen noktası tekrar orijinal haline çevrilir.

2 Boyutlu Çevirimin Bileşenleri

DİĞER DÖNÜŞÜM ÇEŞİTLERİ Makaslama-Kaykılma(Shear) Yansıma(Reflection)

Makas(Shear-Kaykılma) Çevirimi Bir nesnenin şeklini sanki birbirleri üzerinden kayan iç tabakalardan oluşmuş gibi gösterecek şekilde biçimini bozar X-yönünde makas Y- yönünde makas

Yansıma Çevirimi Bir nesnenin ayna yansımasını oluşturur.

Temel Dönüşüm Sınıfları 1)Katı kütle(Rigid Body) Çevirim:Uzunluk, açı ve yönelim(orientation) korunur. Örn: Dönüş (Rotation) ve çevirim(Translation) 2)Yakın(Affine) Çevirim: Doğruların uzunlukları ve açılarını değil, paralelliklerini korur. Çizgiler çizgi olarak kalır. Örn: Çevirim(translation), Dönüş(rotation), Ölçekleme(scaling), Makaslama(shear), ve Yansıma (reflection) 3)(Conformal) Çevirim: Sadece Açı ve yönelimin (orientation) korunduğu çevirim. Orn: Dönüş (Rotation), çevirim(Translation) ve düzenli ölçekleme (uniform scaling). Bu özellikler aynı zamanda 3 boyutlularda da geçerlidir.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Çevirimler 4’e 4’lük homojen bir matris Ters çevirim matrisi tx , ty ve tz’yi; –tx ,–ty ve –tz ile değiştirerek elde edilir.

3 Boyutlu Dönüşüm 3 Boyutlu Çevirim Tüm tanım noktası çevrilmiştir. Nesne bir çokgense, her tepe noktası ayrıca çevrilir.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Ölçekleme 4’e 4’lük bir homojen matris Ters ölçekleme matrisi sx, sy ve sz yerine 1/sx, 1/sy ve 1/sz konularak oluşturulur.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Ölçekleme Sabit bir noktaya göre ölçekleme

3 Boyutlu Dönüşüm 3 Boyutlu Dönüş z ekseni etrafında dönüş x ekseni etrafında dönüş y ekseni etrafında dönüş

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri İlk hali:…. son hali:…… Dönüşümü başarabilmek için iki yol vardır. T, rx,ry, rz dönüşümlerini oluştur. Dikey matrisin özelliklerini kullan

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri 2 boyutlu bileşenleriyle aynı şekilde yapılır. P1’i orijine dönüştür. y ekseni etrafında çevir (p1, p2 (y,z) düzleminde uzanmaktadır.) x ekseni etrafında çevir (p1, p2 z ekseni üzerindedir) z ekseni etrafında çevir (p1, p3(y,z) düzleminde uzanmaktadır) Bileşik matris aşağıdaki gibidir:……

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri Dönüş matrisini çapraz çarpım kullanarak oluşturunuz RZ z eksenine dönecektir RX x eksenine dönecektir RY y eksenine dönecektir Bileşik matris:…