LİMİT

Matematiğin, ekonomi ve diğer uygulamalı bilimlerde en çok kullanılan kavramları olan türev ve integral kavramları limit kavramı üzerine inşa edilmiştir. Limit kavramı, x bağımsız değişkeninin belirli bir sayıya yaklaşırken y=f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını konu alır.

Bağımsız değişken olan x sayısının verilen bir sayıya yaklaşması demek, a sabit bir sayı olmak üzere, x ile a arasındaki fark x değiştiğinde istenildiği kadar küçük bir sayıdan daha küçük kalıyorsa x sayısı a sayısına yaklaşıyor demektir. Başka bir deyişle x değişkeni a dan farklı ve a sayısına istenildiği kadar yakın değerler alıyorsa x, a sayısına yaklaşıyor denir. Sembolik olarak şeklinde gösterilir.

Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve ile gösterilir. Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük soldan yaklaşma denir ve ile

f(x) değerlerinin anlamlı olması için a ya yaklaşan x değerlerinin fonksiyonun tanım kümesine ait olması gerekir. Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. x değişkeni 2 ye yaklaşırken f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığı aşağıdaki tabloda incelenmiştir.

Tabloda görüldüğü üzere hem için hem de için fonksiyon değerleri 1 sayısına yaklaşmaktadır. İşte bu 1 sayısına f(x) fonksiyonunun 2 noktasındaki limiti denir ve sembolik olarak biçiminde gösterilir.

Bu fonksiyonun 2 noktasındaki limitini aşağıdaki grafikte inceleyebiliriz.

LİMİT ÖZELLİKLERİ 1. c bir sabit sayı ve olmak üzere; olur. 2.

3. fonksiyonları verilsin ve olsun. Bu durumda f+g fonksiyonlarının x=a noktasında limiti vardır ve olur. Toplamın limiti limitler toplamına eşittir. Aynı şekilde çıkarmanın limiti çıkarılan fonksiyonların limitlerinin farkına eşittir.

4. fonksiyonları verilsin ve olsun. f.g fonksiyonunun x=a noktasında limiti var ve olur. Çarpımların limiti limitlerin çarpımına eşittir.

5. fonksiyonları verilsin, ve ise fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.

6. fonksiyonu verilsin ve olsun. olmak üzere, olur.

7. fonksiyonları verilsin ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için eşitsizliği sağlansın. Eğer oluyorsa bu durumda f fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.

8. için limit alınırken aşağıdaki kurallar uygulanır. * * a>1 olmak üzere: * * olmak üzere:

9. ile ilgili işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır.

Tek Yönlü Limitler: Eğer için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite a noktasındaki sağdan limit denir ve biçiminde gösterilir. soldan limit denir ve

Bir sayının belirli bir noktada limitinin olması için o noktada sağdan ve soldan limitlerinin olması ve bunların eşit olması gerekir. Aksi takdirde fonksiyonun o noktada limiti yoktur denir.

Örnek: limitini hesaplayalım. olur. Sağdan ve soldan limitler vardır fakat eşit değildir. Bu durumda bu verilen noktada fonksiyonun limiti yoktur denir.