KLASİK VE BULANIK KÜME KURAMLARI 1 Geçişmiş sınırlar, Ara değerler Keskin sınırlar Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Zadeh,1965

2.1.Bulanık Küme Kavramına Neden İhtiyaç Duyarız? Bir çok büyüklüğü ve ifadeyi kesin sınırlarla sınıflara ayırmak mümkündür. Dişi-erkek,elma-armut açık bir şekilde farklı kategorilere aittir. Bazı kavramlar ise birden çok özelliği aynı anda gösterebilir.Bu kavramı,baskın özelliğini gösterdiği sınıfa dahil etmek,diğer özelliğini ihmal etmek doğru bir yaklaşım gibi görünse de bazı durumlarda sakıncalı olabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Örneğin aşağıda gördüğümüz alanı mayınlı bölge ve güvenli bölge olarak kesin sınırlara ayırmak isteyelim Mayınların x-y düzlemindeki konumları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Mayınlı bölgenin sınırlarını genel hatlarıyla aşağıdaki gibi çizebiliriz.Fakat diğer bölgelerde de seyrek de olsa mayın olduğundan bu sınıflama hatalıdır. Mayınlı bölge güvenli bölge sınıflaması Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bu özelliklerin varlığı düşük dereceyle de olsa temsil edilmelidir. Mart ile mayıs bahar özelliklerini aynı derecede mi gösterirler? 31 mayıs bahar özelliklerini gösterirken,1 haziran yaz özelliği mi gösterir? Gerçekte mevsim özellikleri birbiri içine geçmiştir ve bir günde böyle ani bir değişiklik göstermez. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Aylar ve ait oldukları mevsimlerin klasik küme ile gösterimi Aylar ve ait oldukları mevsimlerin bulanık küme ile gösterimi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Benzer bir şekilde boy için klasik ve bulanık küme tanımlarını verelim.Klasik küme için aşağıdaki gibi olacaktır. Klasik kümelerle boy sınıflaması Klasik küme tanımlamasına bakıldığında 1.59 boyundaki biri kısa sınıfına ve ya kümesine girerken;1.60 boyundaki arkadaşı orta boylu kabul edilmektedir.Aynı şey 1.74 boyundaki biri için de geçerlidir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Bulanık kümelerle boy sınıflaması Bu gösterimde klasik kümedekinden farklı olarak bu kişilerin birbirine yakın özellikler gösterdiği daha anlamlı bir biçimde ifade edilebilmektedir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr 2.2.Klasik Kümeler Klasik anlamda küme nesnelerin iyi tanımlanmış şeklidir. X=[0,120]. A kümesi, bu X evreni üzerinde bir alt küme olsun ve 30 ile 40 yaş arasındaki yaşları temsil etsin. A=[30,40]. A kümesinin liste ve şematik gösterimi aşağıdaki gibidir. A={30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40} Liste gösterimi Bu gösterimlerle biz bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığını anlayabiliyoruz.Peki bunu bilgisayarlara anlatmak istersek nasıl bir komut yazmalıyız? Kümeler hakkında sözel ifade edebileceğimiz şeyleri matematiksel terimleriyle örneğin fonksiyonlarla ifade edebilir miyiz? Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.3.Klasik Kümelerde Karakteristik Fonksiyonlar Klasik küme kuramına göre bir eleman bir kümenin ya elemanıdır ya da değildir.Başka bir deyişle nesne kümeye tam üyedir ve üyelik derecesi 1’dir veya üye değildir ve bu nedenle üyelik derecesi 0’dır. Bu yüzden klasik kümelerde elemanların üyelik dereceleri {0,1} şeklinde iki değer alabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Söylediklerimizi yaş grubunu temsil eden küme üzerinden tekrar değerlendirelim. X=[0,120], A=[30,40] idi.Klasik kümelerde, bir x yaş değerinin A yaş gurubu kümesine üye olup olmadığını gösteren bağıntı karakteristik fonksiyonu ile verilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Herhangi bir x değerinin X evreni üstündeki A klasik altkümesine üyelik ifadesi matematiksel olarak aşağıdaki biçimde bir üyelik fonksiyonu ile gösterilir. Bu yüzden bir değerin kümeye üyelik derecesi 1 yani tam (%100) veya 0,yani yok (%0)’tur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.4.Bulanık Kümeler ve Üyelik Fonksiyonları Bazı değerler klasik kümelerdeki gibi kolayca sınıflanamaz.Sınıflansa bile o kümenin ve diğer bir kümenin özelliklerini aynı anda göstermeleri nedeniyle sınıflamamız yanlış olur. Zadeh, sadece iki üyelik derecesi alan bu ifadeyi, 0 ile 1 arasında çeşitli üyelik dereceleri alabilen bir başka gösterim şekline genişletmiştir ve bu yeni üyelik fonksiyonunu ile temsil etmiştir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Bu nedenle klasik kümeleri, bulanık kümelerin özel bir durumu olarak kabul edebiliriz. Sonuçta her iki küme de elemanlardan oluşur. Kümelerin sınırları dışında iki küme türünde de üyelik dereceleri sıfırdır çünkü kümelerin buralarda elemanları yoktur. Klasik küme (Kesin değerli küme) ve (b) bulanık küme Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr X evreni ve dolayısıyla buradaki elemanlar ve üyelik dereceleri ayrık olabilirler. Bu durumda bulanık kümeler için aşağıdaki gibi bir gösterim biçimini kullanabiliriz. X evreni sürekli ise kümesinin gösterimi aşağıdaki hale dönüşür. Bölme değil sınırlama yani kümenin hangi x değeri için hangi üyelik derecesini aldığını gösterir. Cebirsel Toplama değil grafiksel anlamda bir araya getirme, birleştirme anlamına gelir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.Üyelik Fonksiyonu Çeşitleri Üyelik derecelerinin 0’dan 1’e ne şekilde değişeceğini üyelik fonksiyonunun belirlediği açıktır. Üyelik fonksiyonunun şekli, kümenin ifade etmek istediği uygulama alanına göre değişiklik gösterir. 0’dan 1’e üyelik değerlerinin değişimi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.1.Üçgenler ve Yamuklar Parçalı-doğrusal fonksiyonlardır. Grafiksel gösterimleri, oluşturmaları ve hesaplamaları oldukça kolaydır. Üçgen ve Yamuk Üyelik Fonksiyonları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Üçgen üyelik fonksiyonu, : (a,0) başlangıç, (c, 0) tepe ve (b,0) bitiş noktalarıyla tanımlanmaktadır. Normal bir üyelik fonksiyonunda ’dir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Üçgen üyelik fonksiyonunu Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. Üçgen X=[0 20] evrensel kümesinin alt kümesi olsun. a=3,c=5,b=8 olsun ve xi=5.5 elemanının bu kümeye üyelik derecesini hesaplayalım. ucgen(0,3,5,8,20,5.5) komutuyla program çalıştırılır. Açıklamalar program üzerinde verilmiştir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Üçgen üyelik fonksiyonu ile ilgili program kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Program, bulanık kümeyi temsil eden üçgen üyelik fonksiyonunun grafiğini çizer ve xi=5.5’in üyelik derecesini = 0.8333 olarak hesaplar. Üçgen üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Yamuk üyelik fonksiyonu ise: (a,0) başlangıç, (c, α) ve (d, α ) tepe ve (b,0) bitiş noktalarıyla tanımlanmaktadır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Yamuk üyelik fonksiyonunun Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. Yamuk da yine X=[0 20] evrensel kümesinin alt kümesi olsun. Şekli a=4,c=8,d=12,b=16 noktalarıyla tanımlanan ve xi=15 elemanının bu kümeye üyelik derecesini hesaplayalım. yamuk(0,4,8,12,16,20,15) komutuyla program çalıştırılır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Yamuk üyelik fonksiyonuyla ilgili program kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Yamuk üyelik fonksiyonunun şekli aşağıda görülmektedir ve xi=15 için = 0.25 bulunmuştur. Yamuk üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.2.Gauss Üyelik Fonksiyonları Gauss üyelik fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır. Burada c, Gauss eğrisinin merkezini, ise genişliğini ayarlayan parametrelerdir. c=0 ve değerleri bize Standart Gauss Üyelik Fonksiyonu ’yi verir Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Gauss Eğrileri Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Gauss üyelik fonksiyonunu Matlab’ta yazalım ve grafiğini çizdirelim. X=[0 20] evrensel kümesi altında merkezi c=10, genişliği değeriyle belirlenen bir Gauss üyelik fonksiyonu çizelim. Bu fonksiyonun temsil ettiği kümeye xi=15 elemanının üyelik derecesini hesaplayalım. GaussEgrisi(0,20,10,1,15) komutuyla program çalıştırılır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Gauss üyelik fonksiyonuyla ilgili program kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Üyelik derecesi, = 0.0019 bulunmuştur. Gauss üyelik fonksiyonunun verilen aralıktaki grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.3.Cauchy Üyelik Fonksiyonu Genelleştirilmiş çan eğrisi olarak da bilinen bu üyelik fonksiyonu : formülüyle tanımlanır. c: eğrinin merkezini, taban genişliğini, n ise tavan genişliğini belirler. Programı aşağıdaki gibidir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Çan eğrisi ile ilgili matlab kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr CanEgrisi(0,20,10,4,4,9) komutu, [0,20] arasında, merkezi c=10 noktasında olan taban genişliği =4 , tepe genişliği n=4 parametreleriyle belirlenen çan eğrisi grafiğini çizer. = 1 bulunur. Çan eğrisi grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.4. S ve Z şeklindeki sigmoid fonksiyonları Aşağıdaki gibi tanımlıdır. ’nın işareti; fonksiyonun artan mı (S), yoksa azalan mı (Z) olduğunu, değeri ise artma veya azalmanın şeklini ifade eder. Pozitif değerleri S tipi, negatifler ise Z tipi eğri oluşturur. m :fonksiyonun merkezi yani eğimli kısmın orta noktasıdır. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Sigmoid eğrileri ile ilgili matlab kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

SigmoidEgrisi(0,20,10,+1, 5) komutu [0,20] aralığında merkezi m= 10’de olan = +1 aşağıdaki S grafiğini çizer. xi=5 için = 0.0067 bulunur S tipi sigmoid fonksiyonunun grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Benzer şekilde; SigmoidEgrisi(0,20,10,-1, 5) komutu aynı aralık ve merkez değerinde= -0.1 için Şekil2.23’deki Z grafiğini çizer. xi=5 için = 0.9991 çıkmıştır. Z tipi sigmoid fonksiyonunun grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr olduğundan aynı şekiller tanjant hiperbolik fonksiyonları ile de elde edilebilir. Tüm bu şekiller bulanık mantık uygulamalarında oldukça kullanışlı olabilmektedir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.5.Tek darbe (tek ton, singletone) fonksiyonu A kümesi tek bir eleman, , değerinden oluşur. x=a noktasında üyelik derecesi 1, diğer noktalarda 0 olan anlık bir impuls fonksiyonudur. Genelde sistemlerin çıkış üyelik fonksiyonlarını temsil etmek için kullanılırlar. Programı aşağıdaki gibidir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Tek darbe üyelik fonksiyonu ile ilgili matlab kodları Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Tekton(0,1.713,15,0) komutu, altsınır=0 ile üstsınır=15 arasında, x=a=1.713 noktasında =1 olan bir fonksiyon çizer. Tek darbe üyelik fonksiyonunun grafiği Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.5.6.Birden fazla bulanık kümenin evrensel küme üzerinde gösterimi İnsanlar pek çok kavramı ve büyüklüğü, sözel olarak derecelendirebilir veya sınıflayabilir. Evrensel küme üzerinde birden fazla bulanık kümenin gösterimi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Psikiyatri alanında yapılan çalışmalara göre insanlar bir değişkeni alt ve üst sınır değerlerini 5 ile 9 değere kadar ayırt edebilmektedir. 7+-2 Böylece insanlar boy, hız, sıcaklık, gibi sözel değişkenleri çok sayıda dereceye ayırabilirler. Bulanık mantıkta bu ayırma işlemi matematiksel olarak her biri bir sözel sınıfı temsil eden birbiri içine geçişmiş birden fazla üyelik fonksiyonunun tek bir çizimde gösterilmesi ile temsil edilebilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Evrensel küme üzerinde birden fazla bulanık küme çizen program Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Buradaki üyelik fonksiyonlarını grafik çizdirmek için kullandığımızdan üyelik derecesine ihtiyaç duymuyoruz. Bu nedenle üyelik derecesi hesaplanacak elemanı hep 0 seçtik ve hesaplanan üyelik derecelerini de şimdilik bir yerde kullanmadık. Elde edilen grafik şu şekildedir. Evrensel küme üzerinde bulanık kümelerin bilgisayar çizimi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.6.Klasik Kümeler ve Bulanık Kümelerde İşlemler 2.6.1-Klasik Kümelerde İşlemler Klasik kümeler kesişim, birleşim ve tümleme işlemleri aracılığıyla birbirleriyle birleştirilebilir veya birbirlerinden çıkarılabilirler. X evreni üzerinde ,ve olmak üzere 2 tane küme tanımlayalım. Evrene ait bir x elemanı için temel küme işlemleri: Kesişim İşlemi: A B = Birleşim İşlemi: A B = Tümleme İşlemi: X – A = Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Klasik küme işlemlerinin şematik gösterimleri ise şu şekildedir: Klasik kümelerde işlemlerin şematik gösterimi Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Yukarıda birleşim işleminin bilgisayarda yapılabilmesi için programda kullanılan operatörün, A ve B kümelerine ait üyelik değerlerinin en büyüğünü alması gerekir. Bu işlem de bilgisayar programındaki örneğin; maximum gibi bir fonksiyonla yapılabilir. Benzer şekilde kesişim işlemi minimum fonksiyonu ile ve tümleyen işlemi 1’den çıkarılarak hesaplanabilir. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Klasik Kümelerde Birleşim,Kesişim ve Tümleme İşlemleri Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

2.6.2.Bulanık Kümelerde İşlemler X evreni üzerinde A ve B olmak üzere 2 tane bulanık küme tanımlayalım. Bulanık kümelerde işlemler, klasik kümelerde olduğu gibidir.Küme işlemlerinin Venn şeması gösterimleri verilmiştir. Bulanık kümelerde işlemler Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Bulanık Kümeler İçin İşlemler Birleşme Kesişme Tümleme Tümleme işleminin bulanık kümelerde daha farklı olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle temel küme özellikleri, tümleme işlemini içeren iki özellik hariç,bulanık kümelerle klasik kümelerde aynıdır. Bu özellikler ve grafiksel gösterimleri şu şekildedir Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Bulanık Küme ve Tümleyeni Arasındaki İşlemler Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Genelde burada gördüğümüz küme işlemleri örnekleri açıklamak için aynı evrensel kümenin, örneğin X’in iki bulanık kümesi arasındaki işlemler şeklinde verilmiştir. Aslında gerçek bulanık mantık uygulamalarında küme işlemleri, bir X evrensel kümesi üzerindeki bulanık kümesiyle başka bir boyuttaki Y evrensel kümesi üzerinde bulunan kümesi arasında kartezyen çarpım şeklinde olur. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Özet Bulanık kümeler belirsiz, tam ve kesin değeri olmayan sözel kavramları betimlemek için kullanılır (hızlı koşucu, sıcak su, …gibi) Bulanık bir küme bir nesnenin kendisine kısmi üyeliğini kabul eder (hava biraz sıcak).Burada sıcak: bulanık küme, havanın durumu: nesnemiz, biraz: nesnenin kümeye ne oranda üye olduğunu ifade eder. Ne oranda üye olduğu, bulanık kümelerde, kümenin üyelik fonksiyonu tarafından [0,1] arasında sayısal bir değer olarak belirlenir ve üyelik derecesi olarak adlandırılır. Örneğin “hava, sıcak tanımına 0.8 derece uymaktadır” gibi... Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr

Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr Kaynaklar Fuzzy Logic with Engineering Applications, Ross T. J., Mc. Graw Hill,1995, New York. Fuzzy Logic Toolbox For Use with Matlab, Users Guide, Mathworks Inc.,1998. Nguyen, H.T., Prasad, N.R., Walker, C.L., Walker, E.A., (2003). A First Course in Fuzzy and Neural Control, Cahpman &Hall/CRC, New York. Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr