AKIŞKAN KİNEMATİĞİ Akışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır. Bu bölümde aşağıdaki kavramlar üzerinde duracağız: Lagrange akış tanımlaması Euler akış tanımlaması Akım çizgileri, çıkış çizgileri, yörünge çizgileri, zaman çizgileri Maddesel türev Akışkan elemanların şekil değiştirme biçimleri Sistem ve kontrol hacmi Reynolds Transport Teoremi
Lagrange ve Euler Tanımlamaları Akışkan kinematiği,akışkanların nasıl aktığının ve akışkan hareketinin nasıl tanımlanacağının incelenmesini konu alır. Parçacık dinamiğinin akışkan akışına uygulanmasında Lagrange tanımlaması denir ve her bir parçacığın hızının ve konumunun izlenmesini gerektirir. Bu yaklaşım Termodinamikten bilinen sistem yaklaşımına benzerdir.
Akışkan akımının EULER tanımlamasında, akışkanın içerisinden girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmi adı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Böylece, sabit kütleli akışkan parçacıklarının konum ve hızlarının izlerinin sürülmesine gerek kalmaz. Bunun yerine kontrol hacmi içerisinde konumun ve zamanın fonksiyonu olan alan değişkenleri tanımlanır. EULER yönteminde her nokta konum ve zamana bağlı olarak ifade edilir. Hız alanı:
Buna göre (x, y) = (-0.625, -1.875) noktası bir durma noktasıdır. ÖRNEK 4-1: Durma Noktası Daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu bir hız alanı, olarak verilmektedir. Bu akış alanındaki durma noktasını tespit ederek (x, y) = (2, 3) noktasındaki hız vektörünü çiziniz. ÇÖZÜM: Durma noktasında her iki hız bileşeni de (u ve v) sıfır olmalıdır. Buna göre (x, y) = (-0.625, -1.875) noktası bir durma noktasıdır. Verilen noktada hız bileşenleri hesaplanırsa, u = 2.10 m/s ve v = -0.900 m/s elde edilir. u = 2.10 m/s u = -0.900 m/s Bileşke hız vektörü
İVME ALANI Newton’un hareket yasasını bir akışkan parçacığına uygulayabiliriz. Bu durumda parçacığın ivmesi, Öte yandan; Buradan,
Ancak, ve Lagrange tanımlamasında parçacığın konum vektörü Euler tanımlamasında (x, y, z) konum vektörüne eşit olacağından, Akışkan parçacığı akış alanıyla hareket ettiğinden, parçacığın ivmesi, o konumdaki akış alanının ivmesine eşit olmak durumundadır. Buna göre, Yerel ivme Advektif (taşımsal) ivme İVME ALANI: GRADYEN Operatörü:
İvme alanının bileşenleri (Kartezyen koordinatlar):
Advektif İvme = hızın konumsal değişiminden kaynaklanan ivmedir. Akış daimi olmasına rağmen lüle içerisindeki hız akış yönünde artar. ÖRNEK 4-2: Büşra Şekil 4-8’de gösterilene benzer bir fıskiye kullanarak arabasını yıkamaktadır. Fıskiyenin giriş çapı 10 mm, çıkış çapı 5 mm ve uzunluğu 100 mm’dir (Şekil 49’a bakınız). Bahçe hortumu (ve fıskiye) içerisinden geçen suyun hacimsel debisi 3.2 L/dakika olup akış daimidir. Fıskiyenin eksen çizgisi boyunca hareket eden akışkan parçacığının ivmesini hesaplayınız.
ÇÖZÜM 4-2: Yöntem A Yöntem B Akış daimi olduğundan ivmenin sıfır olacağı düşünülebilir. Ancak, bu daimi akış alanı için yerel ivme sıfır olmasına rağmen, advektif ivme, sıfır değildir. Yöntem A Yöntem B Buna göre her iki yöntem de aynı sonucu vermektedir. Değerler yerine yazılırsa,
MADDESEL TÜREV, D/Dt olarak tanımlanır ve hem yerel hem de advektif etkiyi dikkate alır. Maddesel ivme ve bileşenleri:
ÖRNEK 4-3 Örnek 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanını ele alınız. (a) (x = 2 m, y = 3 m) noktasındaki maddesel ivmeyi hesaplayınız. ÇÖZÜM:
(x = 2 m, y = 3 m) noktasında ax = 1.68 m/s2 ve ay = 0.720 m/s2 olur. Örnek 4-1 ve Örnek 4-3’teki hız alanına ait ivme vektörleri. Ölçek üstteki ok ile gösterilmiştir . Siyah eğriler ise, hesaplanan hız vektörlerine göre çizilmiş bazı akım çizgilerinin yaklaşık şekillerini temsil etmektedir (Şekil 4-4’e bakınız). Durma noktası kırmızı daire ile gösterilmiştir.
AKIŞIN GÖRSELLEŞTİRİLMESİ Dönen beysbol topu. F. N. M. Brown son yıllarının çoğunu Notre Dame Üniversitesi’ndeki rüzgar tünellerinde duman görüntülemesi oluşturmaya ve bunu kullanmaya adamış biridir. Burada akış hızı 23.47 m/s ve top 630 devir/dakika ile dönmektedir Akım Çizgisi: her yerde anlık hız vektörüne teğet olan eğridir. xy-düzlemindeki bir akış için:
ÖRNEK 4-3 xy-düzleminde Akım Çizgileri—Analitik Çözüm Denklem 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanı için, akışın üst yarısının sağ tarafında (x > 0) birkaç akım çizgisi çiziniz ve Şekil 4-4’te çizilen hız vektörleri ile karşılaştırınız. Örnek 4-4’teki hız alanına ait akım çizgileri (siyah eğriler); karşılaştırma için Şekil 4-4’teki hız vektörleri de (kırmızı oklar) akım çizgilerinin üzerine eklenmiştir.
Yörünge Çizgisi (Pathlines) Yörünge çizgisi tek bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca kat ettiği gerçek yoldur. Yörünge çizgisi bir akışkan parçacığının izlediği gerçek yörünge izlenerek oluşturulur. ÖRNEK: Aşağıdaki hız alanına ait yörünge çizgilerini ve t = 6 s’de parçacığın konumunu belirleyiniz. Parçacık başlangıçta (2, 8) noktasında bulunmaktadır.
t = 6 s’de parçacığın konumu: t = 6 s’de parçacığın hız vektörü: Parçacığın yörünge çizgisinin denklemi: Denklemlerinden t’yi yok etmek üzere bunları birbirleriyle çarparsak,
AKIŞKAN ELEMANLARININ ŞEKİL DEĞİŞTİRME BİÇİMLERİ a – Ötelenme b – Dönme c – Doğrusal şekil değiştirme d – Kayma şekil değiştirmesi Akışkan elemanları sürekli hareket halinde olduklarından, akışkanlar dinamiğinde akışkan elemanlarının hareketlerinin veya şekil değiştirmelerinin birim zamana göre tarif edilmesi daha uygundur.
Birim zamandaki ötelenme: HIZ Birim zamandaki dönme: AÇISAL HIZ Dönme vektörü Doğrusal şekil değiştirme hızı: UZAMA HIZI Kayma şekil değiştirmesi hızı:
Kartezyen koordinatlarda ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI tensörü Eğer akışkan sıkıştırılabilir ise, aynı zamanda hacimsel şekil değiştirme hızı da tanımlanabilir. HACİMSEL ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI, doğrusal şekil değiştirme hızlarının toplamından oluşur: Hacimsel şekil değiştirme hızı Ötelenme, dönme, doğrusal şekil değiştirme, kayma şekil değiştirmesi ve hacimsel şekil değiştirmeyi gösteren bir akışkan elemanı. ÖĞRENCİLER DİKKAT!.. ÖRNEK 4-6 İNCELENECEK
ÇEVRİNTİ VE DÖNÜMLÜLÜK Çevrinti vektörü Kartezyen koordinatlar Dönme vektörü Akış alanındaki bir noktada çevrinti sıfır değilse, uzayda o noktayı işgal eden akışkan parçacığı dönmektedir ve bu bölgedeki akış dönümlü olarak adlandırılır. Aynı şekilde, akış alanının bir bölgesinde çevrinti sıfır ise (veya yok denecek kadar küçük ise), bu bölgedeki akışkan parçacıkları dönmez ve akış dönümsüz olarak adlandırılır. Dönümsüz Dönümlü
ÖRNEK 4-8 İki-boyutlu Akışta Dönümlülüğün Belirlenmesi hız alanının dönümlü olup olmadığını belirleyiniz. olduğundan bu akış alanı dönümlüdür. Her bir ayrı akışkan parçacığı çevrinti vektörünün yarısına eşit olan bir açısal hızda dönmektedirler. Dönme vektörü sabit olmadığından bu bir rijit-cisim dönmesi akışı değildir. Daha doğrusu, dönme vektörü y ile doğrusal olarak değişmektedir. Daha detaylı bir analiz ile bu akış alanının sıkıştırılamaz olduğu gösterilebilir. Şekil 4-47’de akışkan parçasını gösteren gölgelendirilmiş alanlar her üç durumda da sabittir.
REYNOLDS TRANSPORT TEOREMİ, RTT Akışkanlar mekaniğinde, kontrol hacimlerle çalışmak daha uygundur ve bu yüzden kontrol hacmindeki değişimler ile sistemdeki değişimler arasında bir bağlantı kurmak gerekir. Bir sistem için ve bir kontrol hacmi için, bir yaygın özelliğin birim zamandaki değişimleri arasındaki ilişki Reynolds Transport Teoremi (RTT) ile ifade edilir. t anında KH ve SİSTEM üst üste çakışmaktadır. Zaman ilerledikçe KH yerinde sabit kalırken SİSTEM hareket etmektedir. t + t anında SİSTEM = KH – I + II olarak ifade edilebilir. B herhangi bir özellik, b ise bunun birim kütle başına düşen değeri olsun.
olarak ifade edilebilir. elde ederiz. için limit alınırsa, Öte yandan, olarak ifade edilebilir.
DENKLEMİN GENELLEŞTİRİLMESİ: yazılabileceğinden, Sabit KH için RTT: VEYA: Sabit KH için RTT:
Hareketli KH için RTT
İyi tanımlı giriş/çıkışlar söz konusuysa, ortalama değerler cinsinden RTT ifade edilebilir.