Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

İşletme İstatistiği Araçları Tanımlayıcı İstatistik Veriyi toplama, sunma ve betimleme Çıkarımsal İstatistik Sadece örneklem verisine dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma ve/veya karar verme Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Popülasyonlar ve Örnekler Bir Popülasyon araştırmaya konu olan öge veya bireylerin kümesidir. Örnekler: Gelecek seçimlerdeki muhtemel tüm seçmenler Bugün imal edilen tüm parçalar Kasım ayı için alınan tüm makbuzlar Bir Örnekler popülasyonun bir alt kümesidir Örnekler: Bir görüşme için rastgele seçilmiş olan 1000 seçmen Tahribatlı test için seçilmiş olan çok az sayıdaki parça Denetim için rastgele seçilmiş olan makbuzlar Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Popülasyona karşı Örneklem a b c d ef gh i jk l m n o p q rs t u v w x y z b c g i n o r u y Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Neden Örneklem? Genele göre daha az zaman alıcı Genele göre daha düşük maliyetli Örnekleme dayanan yeterince yüksek bir hassasiyet ile istatistiksel sonuçlar elde etmek mümkündür. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Basit Rastgele Örneklem Popülasyondaki tüm nesneler eşit seçilme şansına sahiptir Nesneler bağımsız bir şekilde seçilmektedir Örnekler rastgele sayılar tablosundan veya bilgisayardaki rastgele sayı üreteçlerinden elde edilebilmektedirler Basit bir rastgele örneklem diğer örneklem yöntemleriyle kıyaslandığında en ideal olanıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Çıkarımsal İstatistik Örneklem sonuçlarını inceleyerek bir popülasyon hakkında çıkarımda bulunma Örneklem İstatistiği Popülasyon parametreleri (bilinen) çıkarım (bilinen fakat, örneklem bulgularından tahmin edilebilinen) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Çıkarımsal İstatistik Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir. Kestirim Örneğin, örneklem ortalama ağırlığını kullanarak popülasyon ortalama ağırlığını kestirmek Hipotez testi Örneğin, popülasyonun ortalama ağırlığının 62 kg olduğu iddiasının test edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Dağılımları Bir örneklem dağılımı bir popülasyondan seçilmiş olan verilmiş bir örnek büyüklüğü için olan bir istatistiğin tüm muhtemel sonuçlarının dağılımıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bölümün Anahatları Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi Bir popülasyon olduğunu varsayınız… Popülasyon büyüklüğü N=4 Rassal Değişken, X, bireylerin yaşıdır X Değerleri: 18, 20, 22, 24 (yıl olarak) D A C B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Popülasyon Dağılımı için Özet Ölçütler: P(x) 0,25 x 18 20 22 24 A B C D Tekdüze Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel örneklemleri göz önüne alınız Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel örneklemleri göz önüne alınız 16 Örneklem Ortalamaları 16 muhtemel örneklem (yerine koyarak örnekleme) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem Dağılımı Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem Dağılımı 16 Örneklem Ortalamaları Örneklem Ortalamalarının Dağılımı _ P(X) .3 .2 .1 _ 18 19 20 21 22 23 24 X (artık Tekdüze değil) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri: Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Popülasyonun Örneklem Dağılımı ile Karşılaştırılması Örneklem Ortalamaları Dağılımı n = 2 Popülasyon N = 4 _ P(X) P(X) 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 _ 18 20 22 24 A B C D X 18 19 20 21 22 23 24 X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Ortalamasının Beklenen Değeri X1, X2, . . . Xn bir popülasyondan olan rassal örnekleri temsil ediyor olsun Bu gözlemlerin Örneklem Ortalaması değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ortalamanın Standart Hatası Aynı popülasyondan olan aynı örneklem büyüklüğündeki farklı örnekler farklı örneklem ortalamalarına yol açabilirler Örneklemden örnekleme göre değişen ortalamanın değişkenliğinin bir ölçütü de Ortalamanın Standart Hatası ile verilmektedir Ortalamanın standart hatasının, örneklem büyüklüğü arttıkça azaldığına dikkat ediniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Eğer örneklem değerleri bağımsız değilse (devam) Eğer örneklem büyüklüğü n, popülasyon büyüklüğü N’e göre küçük bir kesri temsil etmiyorsa, o halde bireysel örneklem üyeleri bir diğerinden bağımsız olarak dağılmamışlardır O halde, gözlemler bağımsız olarak seçilmemişlerdir Bunu hesaba katan bir düzeltme yapmak gerekir veya Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Eğer Popülasyon Normal ise Eğer bir popülasyon μ ortalama ve σ standart sapma ile normal dağılıyorsa, örneklem dağılımı da ortalama ile normal olarak dağılmaktadır ve Eğer örneklem büyüklüğü n popülasyon büyüklüğü N’e göre büyük değilse, o halde Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ortalamanın Örnekleme Dağılımı için Z-değeri ‘in örnekleme dağılımı için Z-değeri: burada: = örneklem ortalaması = popülasyon ortalaması = ortalamanın standart hatası Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnekleme Dağılımının Özellikleri Normal Popülasyon Dağılımı (yani yansız ise) Normal Örnekleme Dağılmı (aynı ortalamaya sahiptir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnekleme Dağılımının Özellikleri (devam) Yerine koyarak örnekleme için: n arttıkça, azalır Büyük örneklem büyüklükleri Küçük örneklem büyüklüğü Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa Merkezi Limit Teoremi uygulanabilir: Popülasyon normal olmasa bile, …popülasyondan olan örneklem ortalamaları, örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğu ölçüde yaklaşık olarak normal olacaktır. Örnekleme dağılımının özellikleri: ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme dağılımı popülasyonun şekli ne olursa olsun neredeyse normale dönüşür Örneklem büyüklüğü yeterince büyük oldukça… n↑ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa (devam) Popülasyon Dağılımı Örnekleme dağılımı özellikleri: Merkezi Eğillim Örneklem Dağılımı (n arttıkça normale dönüşür) Varyasyon Büyük örneklem büyüklüğü Küçük örneklem büyüklüğü Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ne Kadar Büyük Olmalı? Pek çok dağılım için, n > 25 neredeyse normal bir örnekleme dağılımı verecektir Normal popülasyon dağılımları için, örnekleme dağılımları daima normal olarak dağılmıştır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnek Ortalaması μ = 8 ve standart sapması σ = 3 olan bir büyük popülasyonu ele alınız. Büyüklüğü n = 36 olan rassal bir örneklemi ele alınız. Örneklem ortalamasının 7,8 ile 8,2 arasında olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnek (devam) Çözüm: Popülasyon normal olarak dağılmamışsa bile, merkezi limit teoremi kullanılabilmektedir (n > 25) … yani örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir … ortalaması = 8 …ve standart sapması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Standart Normal Dağılımı Örnek (devam) Çözüm (devam): Popülasyon Dağılımı Örnekleme Dağılımı Standart Normal Dağılımı 0,1915 +0,1915 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Örneklem Standardize et ? ? 7,8 8,2 -0,5 0,5 Z X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Kabul Aralıkları Amaç: Bir popülasyon ortalaması ve varyansı verilmişken örneklem ortalamalarının meydana gelmesinin muhtemele olacağı bir aralığı tespit ediniz Merkezi Limit Teoremi ile, dağılımının eğer n yeterince büyükse μ ortalama ve ile yaklaşık olarak normaldir. zα/2 normal dağılımda α/2 ‘lik bir alanı kaplayan z-değeri olsun (yani - zα/2 ‘den zα/2 ‘ye kadar 1 – α’lik bir olasılığa karşılık gelir) O halde, X’i 1 – α olasılık ile kapsayan bir aralıktır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Orantısının Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı P = aynı özelliklere sahip olan popülasyonun orantısı Örnek orantısı ( ) P’nin bir tahmini verir: 0 ≤ ≤ 1 bir binom dağılıma sahiptir, fakat nP(1 – P) > 5 olduğunda bir normal dağılıma yaklaştırılabilirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

’nin Örnekleme Dağılımı Normale yaklaşma: Özellikler: ve Örnekleme Dağılımı 0,3 0,2 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (burada P = popülasyon orantısı) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Orantılar için Z-Değerleri ’yi aşağıdaki formül ile Z değerine standardize ediniz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnek Halk oylaması A’yı destekleyen seçmenlerin orantısı P = 0,4 ise, büyüklüğü 200 olan bir örneklem için orantının 0,40 ile 0,45 arasında olma olasılığı nedir? yani: eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnek eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? ‘yi bulunuz: (devam) eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? ‘yi bulunuz: Standart normale dönüştürünüz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Standardize Normal Dağılım Örnek (devam) eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Standard normal tabloyu kullanınız: P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = 0,4251 Standardize Normal Dağılım Örnekleme Dağılımı 0,4251 Standardize ediniz 0,40 0,45 1,44 Z Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Varyansı x1, x2, . . . , xn bir popülasyondan rassal örneklem olsun. Örneklem varyansı aşağıdaki gibidir örneklem varyansının kare kökü örneklem standart sapması olarak anılmaktadır. örneklem varyansı aynı popülasyona ait olan farklı rassal örneklemler için farklı varyansa sahiptirler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örneklem Varyanslarının Örnekleme Dağılımı s2’ in örnekleme dağılımı σ2 ortalamasına sahiptir Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde has bir n – 1 serbestlik derecesi ile 2 dağılımına sahiptirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ki-kare Dağılımı Ki-kare dağılımı serbestlik derecesine bağımlı olan bir dağılımlar ailesidir: ν = n – 1 2 Tabloları ki-kare olasılıklarını içermektedir. 2 2 2 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 ν= 1 ν= 5 ν= 15 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Serbestlik Derecesi (ν) Fikir: Örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra değişkenlik gösterebilme serbestliğine sahip olan gözlem sayısı Örnek: 3 sayının ortalamasının 8,0 olduğunu varsayınız X1 = 7 X2 = 8 ise X3nedir? Eğer bu üç değerin ortalaması 8,0 ise, X3 9 olmalıdır (yani, X3 değişkenlik gösterme serbestliğine sahip değildir Burada, n = 3, yani serbestlik derecesi = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 değer herhangi bir değer i almaktadır, fakat üçün değer verilen bir ortalama için değişebilme serbestliğine sahip değildir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ki-kare Örnek Bir ticari soğutucu imalatçısı sıcaklığı çok küçük bir varyasyonla muhafaza etmelidir. Şartnameye göre standart sapma 4 dereceden daha yüksek olmamalı (16 derece2). 14 soğutucudan oluşan bir örneklem test edilecektir Popülasyon standart sapmasının 4’ü aşma olma olasılığı 0,05 ise örneklem varyansının üst limit olan (K) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ki-kare Değerinin Bulunması serbestlik derecesi ile dağılmış olan ki-kare dağılımıdır Üst kuyrukta alanı 0,05 alanı olan ki-kare dağılımını kullanınız: 213 = 22,36 (α = 0,05 and 14 – 1 = 13 ν.) olasılık α =0,05 2 213 = 22,36 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ki-kare Örnek 213 = 22,36 (α = 0,05 ve 14 – 1 = 13 ν) O halde: (devam) 213 = 22,36 (α = 0,05 ve 14 – 1 = 13 ν) O halde: veya (burada n = 14) so Eğer n=14 örnekleminden olan s2 27,52’den daha büyükse, popülasyon varyansının 16’yı aştığına dair güçlü bir kanıt mevcuttur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER