(Düzlem) Geometriye giriş: Kitabi giriş: Geometri’nin tanımı Terim,tanımsız terim,önerme nedir? İspat,aksiyom ,teorem nedir? Nokta,doğru, düzlem terimleri. Doğrusal noktalar,kesişen doğrular,.. ENDER ÖZDEMİR

Önerme nedir, ne değildir Önerme nedir, ne değildir? Doğru ya da yanlış fark etmez , bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir .. Örneğin, biraz önce okuduğunuz cümle de bir önermedir. Hüküm bildiren ifadelere, dilimizde önerme denmiyorsa da, o cümle matematiksel anlamda bir önermedir.

Doğru ya da yanlış fark etmez, bir hüküm bildiren ifadelere armut denir cümlesi de bir önermedir. Her üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 190 derecedir önermesi gibi, yanlıştır ama nihayetinde bir önermedir. Karenin kenar uzunlukları birbirine esittir cümlesi de bir önermedir, ama bu doğrudur.

Önermede bildirilen hüküm doğruysa önermeye doğru önerme, yanlışsa yanlış önerme deriz. Önermeler soru, emir, ünlem, istek bildiremezler. Yani, bu paragrafta geçen cümlelerin kaçı önermedir? cümlesi bir önerme değildir. Çünkü doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmiyor.

Teorem nedir? Geometri Derslerimizde zamanı gelince kanıtlar vereceğiz ve doğruluğunu kanıtladığımız bu önermelere teorem diyeceğiz. Yani anlayacağınız, doğruluğu kanıtlanmamıs önermeler teorem olamazlar.

Aksiyom nedir? Bir önermenin doğruluğunu kanıtlarken doğal olarak önceki teoremlerden yararlanırız. Önceki teoremlerin kanıtını da daha önceki teoremlere dayandıracağımızdan ilk birkaç önermeyi doğru kabul etmek zorunda kalacağız. İşte doğruluğunu kabul etmek zorunda kalacağımız ve kanıtlayamayacağımız bu önermelere aksiyom veya belit adını vereceğiz. Unutmayınız ki; aksiyomlar,kanıtlanamayan veya kanıtına gerek duyulmayan temel ilkelerdir. Bu nedenle rastgele önermeleri aksiyom kabul edemeyiz. Aksiyomlar basit ve iyi anlaşılır, olabildiğince az sayıda, bununla birlikte birbirinden bağımsız yani biri birinden elde edilemeyen, birbirini tamamlayıcı ve sonuçları birbiriyle çelişkisiz olmalıdır.

Aksiyomları matematiğin açık yanları gibi düşünmek abesle iştigalden başka bir şey olamaz. Zira biz matematikçiler, kanıtlayamadığımız şeylere aksiyom diyor değiliz, sadece ona veya ona ama birine aksiyom demeliyiz diyoruz. Çünkü mutlaka dön-dolaş bir şeyleri doğru kabul etmek zorunda kalıyoruz. Aslında hangisini seçelim diye düşündüğümüz şeylerin hepsi doğru. Teşbihte hata olmasın, ateistleri aksiyomlara inanmayanlar olarak görüyorum. Çünkü onlar her şeyin kanıtını istiyorlar. Adı üstünde, inananlar, tüm kanıtları görüp, kanıtlanamayacak olanları da öyle bilip, öyle inananlardır.

Tanımsız kavramlar neden tanımsız? Buradaki durum da aslında aksiyom-teorem ilişkisi-ne çok benziyor. Aksiyom da olsa teorem de olsa, bunu kanıtlamaya soyunan birinin başlangıçta önermeyi anlaması lazım. Yani, önermeyi oluşturan kelimeleri veya matematiksel ifadeleri bilmesi lazım ki anlasın . İşte neyin ne olduğunu anlamak için önce tanımlar vereceğiz; örneğin açıyı,üçgeni tanımlayacağız. Bunu yaparken başka kavramları kullanmak zorunda kalacağız. Bu kavramlar da daha başka kavramlara dayanacağından sonunda bazı kavramları tanımsız olarak kabulleneceğiz. Kabullenmeliyiz de. İşte bu ilkel kavramlara tanımsız kavramlar diyeceğiz. Geometrimizde bu tanımsız kavramların sayısı 3 tane.

Nokta: Geometrimizde bu eleman tanımsız kavramlar arasında yer almaktadır. David Hilbert’ten önceki matematikçiler, diğer iki kavram gibi noktayı da tanımlamak için boşuna çaba harcamışlardır. Aşağıda bazı matematikçilerin nokta için vermiş oldukları tanımları ve bu tanımlarda açıklamaları daha zor olan başka kavramların yer aldığını göreceksiniz. EUCLID: ‘’Nokta parçasız nesnedir.’’ LEGENDRE: ‘’Çizgilerin ucuna nokta denir.’’ ROCHE: ‘’Çizgilerin arakesitine nokta denir.’’ Noktanın tanımı için açıklamaları hiç de kolay olmayan ‘parça’, ’çizgi’, ’uç’, ’arakesit’ gibi kavramlar yer almaktadır

Doğru: Bu da bir başka tanımsız kavram ama doğruyu tanımlamak için de nafile uğraşlar verilmiş: EUCLID: ‘Doğru, noktalarına göre düzgün yayılan nesnedir.’ HERON: ‘Sabit tutulan iki nokta etrafında döndürüldüğünde durumunu değiştirmeyen nesneye doğru denir.’’ GRASSMANN: ‘Hareketi esnasında yönünü koruyan bir noktanın çizdiği çizgiye doğru denir.’’ LEGENDRE: ‘’Doğru, iki nokta arasındaki en kısa yoldur.’ BARBARIN: ‘İki noktasıyla tamamen belirli nesneyedoğru denir.’ Bu tanımlarda da durum, noktanınkiyle aynıdır.

Düzlem: Geometriye başlamak için sonuncu tanımsız kavramımız. EUCLID: ‘’Düzlem doğrularına göre düzgün yayılan nesnedir.’’ LEIBNIZ: ‘’İki noktaya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yerine düzlem denir.’’ THEON – SIMSON - LEGENDRE: ‘’Düzlem, herhangi iki noktasından geçen doğruyu içine alan yüzeydir.’’ DUHAMEL: ‘’Bir noktadan bir doğruya dik olarak çizilen doğruların geometrik yerine düzlem denir.’’ Nokta ve doğru tanımsız olarak alındığında düzlemin tanımlanması için başarılı çalışmalar yapılmıştır. (GAUSS – CRELLE – VERONESE – PEANO -VEBLEN). Böyle bir tanımı vermek uzun süreceğinden biz de Hilbert’e katılarak düzlemi tanımsız nesne olarak alacağız.

Eğer nokta ve doğrunun ne olduğunu sözlükten öğrenmeyi kendiniz deneyecek olsanız, örneğin Türk Dil Kurumu’nun sözlüğünde nokta için şu tanımı bulacaksınız: ‘Nokta: Hiçbir boyutu olmayan işaret.’ Noktanın tanımı boyut kavramına dayandırıldığı için boyutun ne olduğunu anlamak ister ve sözlükten sunu okursunuz: Boyut: Doğruların, yüzeylerin veya cisimlerin ölçülmesinde ele alınan üç doğrultudan yani uzunluk, genişlik ve derinlikten biri.’ Boyut kavramının ‘’doğru’’, ‘’yüzey’’, ‘’ölçü’’,‘’doğrultu’’, ‘’uzunluk’’, ‘’genişlik’’, ‘’derinlik’’gibi kavramlar yani sonuç olarak ‘‘nokta’’ nın tanımının ‘‘doğru’’ kavramına ve ‘‘doğru’’ kavramının da ‘‘nokta’’ kavramına dayandırıldığını görmüş oluyorsunuz, O halde ‘‘nokta’’, ‘‘doğru’’ve ‘‘düzlem’’i tanımsız nesneler olarak ele almak zorundayız.

Son