ÇAĞDAŞ MATEMATİĞİN DOĞUŞU

Yaklaşık sekiz asırlık bir dönemde Ortadoğu, İran ve Türkistan’da yürütülen bilimsel faaliyetler Eski Yunan matematiğini işleyerek çok daha ileri konumlara taşımıştır. Eudoxous’un, Diophantus’un ve Archimedes’in cebiri çok gerilerde kaldı. Harizmi, Abu Kamil, Karkhi ve Hayyam ile cebirde önemli ilerlemeler oldu, yeni algoritmalar geliştirildi, kübik denklemler sınıflandırıldı, birçoğunun rasyonel çözümleri bulundu. Ptolemy’nin astronomisi yerinde durmuyordu. Ebul Vefa, Beyruni ve Uluğ Bey ile astronomi çok ilerlemişti. Artık güneş sistemi biliniyor ve dünyanın güneşin etrafında döndüğünün ispatı Galile’den çok önce Beyruni tarafından kanıtlanmıştı. Avrupa’nın trigonometriye ekleyeceği fazla bir şey yoktu. Trigonometrik oranlar biliniyor, açıların trigonometrik değerleri en hassas bir şekilde hesaplanabiliyordu. Pi sayısının değeri virgülden sonra dokuzuncu basamağa kadar hesaplanabiliyordu.

Doğudan gelen bu birikim Avrupa’nın çağdaş matematiği kurması için yeterli alt yapıyı hazırlamıştı. Sözgelimi, Hayyam’ın çözümlerinden yararlanarak yeni yöntemler geliştirmek Cardano’ya kalıyordu. Gerçekten, Cardano 1545 yıllarında türünden kübik denklemlerin çözümünü veren formülü buldu:

Kökün içi negatif çıkınca çözüm ne olacaktı? Bunun cevabı Cardano’dan yaklaşık 300 yıl sonra Gauss tarafından verilecektir. Gauss (1777 – 1855) herhangi bir cebirsel denklemin köklerinin olmak üzere şeklinde olduğunu ispatlayarak denklemlerin karmaşık köklerinin olabileceğini gösterdi.

Doğuda üretilemeyen fakat çağdaş matematikte dönüm noktası niteliğinde önemli gelişmeler oldu. Bunlardan biri Descartes’in koordinat düzlemi diğeri ise Cantor’un küme kavramıdır. Descartes ( ) koordinat düzlemini tanımlamakla belki de çağlar boyu matematiğe getirilmiş en büyük katkılardan birini yapmıştır. Yunan geleneğinde cebiri geometrikselleştirme vardır bunu Euclid’in ve daha sonrada Harizmi’nin çalışmalarında görmekteyiz. Descartes ile birlikte geometrik nesne, kavram ve ilişkiler cebirsel denklemlerle ifade edilerek geometrinin cebirselleştirilmesi yönünde ilk adımlar atıldı. Geometrinin cebirselleştirilmesi matematiğin Yunan geleneğinin dışına çıkılması anlamına gelmektedir. Bu hareket ilerde analitik geometri ve analizin gelişmesi için çok daha elverişli bir alt yapı hazırlamıştır.

Bütün büyük fikirlerde olduğu gibi Descartes’in buluşu da apaçık denecek kadar sadedir. Y X (x,y) x y z x 2 +y 2 = z 2 Çok sade olan bu tanım yeni bir geometrinin ve analizin doğmasına imkan vermiştir. Descartes’in koordinat düzlemiyle birlikte trigonometri, merkezi başlangıç noktası olan birim çember üzerine taşındı.

Descartes’in keşfinin analizin gelişmesinde nasıl kullanıldığına bir bakalım. Descartes’in çağdaşı Fermat ( ) analitik geometri yaklaşımını kullanarak eğrinin düzlemdeki grafiği üzerindeki bir noktadaki limiti ile o noktadaki teğeti arasındaki ilişkiyi inceledi. Bu çalışmalar daha sonra türev kavramı için Newton’a ve Leibniz’e ilham verecektir. b a (x,y) P Q (x+a,y+b)

Karmaşık sayılar tanımlanırken Descartes’in kartezyen geometrisinden yararlanılmıştır. (x,0) (0,y) P(x, y) x y Yeni tanımlamada x-ekseni üzerindeki bütün noktalar (x,0) ve y-ekseni üzerindeki noktalar da (0,y) şeklinde ikililerdir. P noktası ise (x,y) ikilisi ile ifade edilir ve bu nokta bir sayıya karşılık gelir (0,1).(0,1)=

Y-ekseni üzerinde alınan (0, 1) sayısı yerine i kullanılırsa i 2 = -1 olur. Buradan sonucuna ulaşılır. Bu sembolü ilk defa matematik dünyasına Euler( ) tanıtmıştır. Karmaşık düzlemde herhangi nokta ikililer şeklinde gösterileceği gibi olmak üzere yukarıdaki sonuçtan hareketle şeklinde gösterilecektir. Bernolli, Leibniz, Euler ve Gauss ile birlikte analizde sayısı farklı görünümler kazanacaktır.

Şüphesiz koordinat düzleminden sonra modern matematiğin gelişmesinde rol oynayan en önemli keşiflerden birisi de küme kavramıdır. Cantor( ) küme kavramını matematiğe sokarak çeşitli sonsuzluklar tanımladı. Cantor’un bu yaklaşımı matematikte bir devrim niteliğindeydi. Cantor, matematikteki geleneksel sonsuzluk anlayışının aksine birden fazla farklı sonsuzlukların olabileceğini söylüyordu. Ona göre sonsuz tek başına bir anlam içermiyordu. Anlamlı olan sonsuz küme kavramıdır. Günümüzde Cantor’un düşünceleri tamamıyla kabul edilmiş ve küme kavramı geliştirilmiş olsa bile sonsuz küme kavramını matematik dünyasına kabul ettirmesi kolay olmamıştır.

Matematiğe yeni bir nesne olarak katılan küme kullanılarak belli aksiyomları sağlayan grup adıyla yeni bir matematiksel nesne daha oluşturuldu. Kısa zamanda bu soyut matematiksel nesne, denklemlerin çözümünde, sayılar kuramında, diferansiyel geometride yaygın bir kullanım alanı buldu.

Modern matematiği karakterize eden gelişmelerden biri de Euclid-dışı geometrilerdir. Bilindiği gibi Euclid’in 5. postulatından çıkarılan sonuçu kendisinden sonra Ömer Hayyam, Nasureddin Tusi, Lambert, Lobachevsky, Bolyai gibi birçok matematikçi tarafından tartışılmıştır. Özellikle, Lobachevsky’nin hiperbolik geometri olarak yürüttüğü çalışmaları Riemann tarafından değerlendirildi.

19uncu yüzyıl matematiğinin mirasını devralan son yüzyılın matematikçileri yeni kuramlar ve çalışma alanlarıyla matematik bilimindeki birikimi bir kat daha artırmış oldu. Günümüz matematiği bir önceki yüzyılın matematiğinden daha soyut bir yapıya dönüştü. Farklı matematiksel yapılar ve uzaylar yeni çalışma alanları ortaya çıkardı. Bulanık mantık kuramı elektronikte ve programcılıkta önemli bir uygulama alanı buldu. Bilgisayar teknolojisinin matematikçilere sağladığı imkanlar sonucu fraktal geometri ve kaos kuramı son yılların gözde çalışma alanları olmuştur. Şüphesiz nasıl ki bu yüzyılın matematiği öncekine göre daha soyut, kavramsal ve yapısal ise gelecek yüzyılın matematiği de bu yüzyılın matematiğinden çok daha farklı olacaktır.