EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir.

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte yer alan bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

İÇSEL DEĞİŞKEN: Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. Eşanlı modelde denklemlerin hem solunda hem de sağında aynı anda yer alan değişkenlerdir. Sistemin bağımlı yani tayin edilen değişkenleridir. Bu değişkenlerin değerleri, modelin dışsal değişkenleri ve parametreleri tarafından tayin edilirler. Sistemin içinde belirlenmektedir.

DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde etkileyici, belirleyici değişkenlerdir. Eşanlı modelde denklemlerin sadece sağında yer alan değişkenlerdir. Tam bağımsız ve gecikmeli içsel değişken olarak iki gruba ayrılırlar.

Y1: Miktar Y2: Fiyat X: Yağış Miktarı Örnek 1 1.Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Y1: Miktar Y2: Fiyat X: Yağış Miktarı Yağış miktarı(X) Arz Miktarı Y1 Buğday Fiyatı Y2 X

Örnek 2 Y=f(X)=a0+a1X +u1 X=f(Y)=b0+b1Y+b2I+u2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi I = Yatırım seviyesi X Y I

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y1=f(X1,X2,X3,................Xk,u1) Y2=f(X1,X2,X3,................Xk,Y1,u2) Y3=f(X1,X2,X3,................Xk,Y1,Y2,u3) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkeni yer alır. İkinci denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y1 yer alır. Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri tek tek basit EKKY ile çözülebilir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y1=a0+a1Y2+a3Y3+b1X1+b2X2+u1 Y2=a3+a4Y1+a5Y3+b3X3+u2 Y3=a6+a7Y1+a8Y2+b4X2+b5X3+u3 Y1=a0+b1X1+b2X2+u1 Y2=a1+a2Y1+b3X3+u2 Y3=a3+a4Y1+a5Y2+b4X1+b5X2+u3 EŞANLI MODEL GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y1 Y1 Y2 Y3 Y2 Y3 X3 X2 X3 X1 X1 X2

Geri Dönüşlü Model Y1=a10 +b11X1+b12X2+u1 Y2=a20+a21Y1 +b21X1+b22X2+u2 Y3=a30+a31Y1+a32Y2 +b31X1+b32X2 +u3 Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. Farklı hata terimleri arasında ilişki yoktur. kov(u1,u2)=kov(u1,u3)=kov(u2,u3)=0 Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı ayrı Basit EKKY uygulanabilir. Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir, bu nedenle nedensel modeller olarak da adlandırılır.

YAPISAL MODEL Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. Yapısal denklemler içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenlerin Dışsal değişkenlerin ve Hata teriminin bir fonksiyonu olarak ifade ederler.

= EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı = Y1=a12Y2+a13Y3+…….a1MYM+b11X1+b12X2+……..+b1kXk+ u1 Y2=a21Y1+a23Y3+…….a2MYM+b21X1+b22X2+……..+b2kXk+ u2 Y3=a31Y1+a32Y2+…….a3MYM+b31X1+b32X2+……..+b3kXk+ u3           YM=aM1Y1+aM2Y2+….aMMYM-1+bM1X1+bM2X2+……..+bMkXk+uM a= Y içsel değişkenlerinin yapısal katsayıları b= X dışsal değişkenlerinin yapısal katsayıları

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y1, Y2, ….YM= İçsel (Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X1, X2,…..,XK= Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler Değerleri model içinde tayin edilir. Stokastiktir Dışsal Değişkenler Değerleri model dışında tayin edilir. Önceden belli değişkenlerdir. Stokastik değildir. İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri (Yt-1) dışsal değişken olarak kabul edilir (ut hata terimi otokorelasyonsuz olduğunda geçerlidir.) Xt, Xt-1, Yt-1 dışsal değişkenler grubundadır.

Genel Daraltılmış Model DARALTILMIŞ MODEL ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y1= f(X1,X2,…….,Xk,v1) Y2= f(X1,X2,……,Xk,v2)     YM= f(X1,X2,……,Xk,vM) Genel Daraltılmış Model Yi = πi1X1+πi2X2+…….+πikXk i=1,.. …M Daraltılmış modeldeki dışsal değişken katsayıları(i) kısa dönem çarpanlarıdır.

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: Tanım denklemleri (Özdeşlikler = Eşitlikler) Davranış Denklemleri Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model Ct=a0+a1Yt +u1t Tüketim Fonksiyonu Yatırım fonksiyonu It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt=Ct+It+Gt Gelir Eşitliği Denklemi C:Toplam tüketim harcaması Y:Milli Gelir I:Yatırım G:Devlet(kamu)harcamaları Ct , Yt ve It üç içsel değişkendir. Yt-1 ve Gt dışsal değişkenlerdir. Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1,Gt)=π1+π2Yt-1+π3Gt+v1 It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 Yt=f (Yt-1,Gt)=π7+π8Yt-1+π9Gt+v3

Gelir eşitliği denkleminde 1 ve 2 numaralı denklemler yerine konursa p7 p8 p9 v3

Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1,Gt)=π1+π2Yt-1+π3Gt+v1 π1 π2 π3 v1 It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 π4 π5 π6 v2 Yt=f (Yt-1,Gt)=π7+π8Yt-1+π9Gt+v3 π7 π8 π9 v3

Daraltılmış model katsayılarının yapısal parametrelerle elde edilişi :

Yapısal model parametreleri (a,b) ve daraltılmış model parametreleri (p) farklı anlamlıdır. Yapısal parametre, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemdeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkileri gösterir. Yapısal modelin herhangi bir denkleminde açıkca görülmeyen bir değişken o denklemin bağımlı değişkenini dolaylı olarak etkileyebilir.

It üzerindeki doğrudan etki p5 daraltılmış parametresine ilişkin doğrudan ve dolaylı etkilerini bulalım: Ct=a0+a1Yt +u1t It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt=Ct+It+Gt It=f (Yt-1,Gt)=π4+π5Yt-1+π6Gt+v2 p5 Yt-1 deki bir birimlik artışın yatırım üzerinde yaptığı etkiyi ölçer Birinci Kısım Etki İkinci Kısım Etki It=b0+b1Yt+b2Yt-1+u2t Yt-1→It , It Yt , Yt Ct It üzerindeki doğrudan etki Toplam Etki = Doğrudan Etki + Dolaylı Etki

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a0+a1Pt+u1=b0+b1Pt+u2 P yalnız bırakıldığında P’nin eşitini talep veya arz denkleminde yerine koyarsak p1 v1 p2 v2

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. EKK / Varsayım-5 : Kov(ui, Xi)=0

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI 1.kov(Yt,ut)0 İspatı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 -

EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI Eşanlı bir modelde alınacak denklem sayısı, genelde modelin amacının ileriye yönelik tahmin mi yoksa belli parametrelerin en iyi tahminleri mi olduğuna bağlıdır. Eşanlı bir modelin içsel değişkenlerinin sayısı modelin denklem sayısına eşit olmalıdır. Dışsal değişken sayısı istenildiği kadar alınabilir. Ancak değişken sayısının çok fazla artması modeli karmaşık hale getirir.

C: Tüketim Y: Gelir I :Yatırım G: Kamu harcamaları K: Sermaye stoku

Örnek Bu modeldeki içsel ve dışsal değişkenleri belirleyerek modelde Basit EKKY ile tahmin edilebilecek denklemler olup olmadığını tespit ediniz.

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERDE BELİRLENME PROBLEMİ

Belirlenme Nedir? Belirlenme : Bir yapısal modelin katsayıları a, b, c’lerin değerleri daraltılmış kalıbın katsayıları p’lerden tahmin edilebiliyorsa ilgili denklem BELİRLENMİŞTİR. Yapısal katsayılar daraltılmış katsayıların tahmini değerlerinden elde edilemiyorsa ele alınan denklem BELİRLENMEMİŞ veya EKSİK BELİRLENMİŞ ’tir. Denklem sayısı = içsel değişken sayısı  model çözülebilir.

Yapısal parametrelerin değerlerinin elde edilebilmesi için eşanlı model denklemlerinin ayrı ayrı belirlenebilir olması gerekmektedir.

Belirlenme Tipleri Eksik belirlenmiş denklem (=Belirlenmemiş denklem) Tam belirlenmiş denklem Aşırı belirlenmiş denklem

Belirlenme Durumunun Araştırılması Daraltılmış kalıptan hareketle belirlenme durumunun araştırılması Yapısal modelden hareketle denklemlerin belirlenme durumunun araştırılması Yapısal katsayılara konan sınırlamalarla belirlenmenin sağlanması

Cebirsel olarak eksik belirlenme Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a0+a1Pt+u1=b0+b1Pt+u2 P yi yalnız bıraktığımızda bulunur. P nin eşiti arz veya talep denk. de yerine konur. p1 v1 p2 v2

p<a yani (2<4) olduğundan eksik belirlenme Dört yapısal parametre sadece iki daraltılmış kalıp katsayısından tahmin edilemez. Dört bilinmeyenin tahmini için dört denklem gereklidir. Ancak burada p1 ve p2 den oluşan sadece iki denklem vardır. (Arz – talep modeli yapısal denklemleri belirlenmemiş yada eksik belirlenmiş olup yapısal parametreler tahmin edilemez.)

Daraltılmış kalıp denklemleri: Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri (Arz fonksiyonunun tam belirlenmiş hali ) a) Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 = Q=b0+b1P+u2 : Arz I : Tüketici geliri Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2I+v1 Q= 3+ 4I+v2

Tam belirlenmiş denklem P=1+ 2I+v1 Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir. Q= 3+ 4I+v2 5 yapısal parametre ve bunları hesaplamak için p lerden oluşan dört denklem vardır. Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez. Talep fonksiyonu EKSİK BELİRLENMİŞ, Arz fonksiyonu TAM BELİRLENMİŞTİR.

Ancak p lerle yapısal parametreler(a,b) arasındaki ilişkilerden aşağıdaki bağlantılar elde edilebilmektedir. Yukarıdaki iki bağlantıdan yararlanarak b0 ve b1 hesaplanmakta ancak talep denkleminin katsayılarını(a0, a1 ve a2) hesaplamak için tek bir yol yoktur. Bu sebepten talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir. Arz fonksiyonu tam belirlenmiştir.

Daraltılmış kalıp denklemleri: b) Talep: Q=a0+a1P+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T +u2 T : Teknolojik gelişmeler Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2T+v1 Q= 3+ 4T+v2

P=1+ 2T+v1 Basit EKKY uygulanarak ’ler tahmin edilebilir. Q= 3+ 4T+v2 Daraltılmış parametrelerin tamamının tek değerli tahminleri elde edilemez.

Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P=1+ 2I+  3T+v1 Tam Belirlenmiş Q= 4+ 5I+ 6 T+v2 Tam Belirlenmiş

p=a

Aşırı Belirlenme Durumu Aynı yapısal parametre için birden çok nümerik değer elde edilmekte; parametrelerin tek değerli tahmini mümkün olamamaktadır. p>a yani denklem sayısı>bilinmeyen sayısı

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 1 Arz: Q=a0+a1P+u1 Talep: Q=a2+a3P+b1I+b2Z+ u2

Dört denklemden a1 için iki tahminin mümkün olduğu görülmektedir Bulunan dört farklı katsayı yani a0, a1 katsayılarıları arz fonksiyonuna ait olup fonksiyon aşırı belirlenmiştir. Talep denklemine ait katsayılar daraltılmış biçim denklemlerinden çıkarılmaz. Bu sebeple eksik belirlenmiştir.

Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli- Örnek 2

AŞIRI BELİRLENMİŞTİR Denklem sayısı > Bilinmeyen sayısı p>a Yapısal modelin tüm parametrelerinin tek değerli tahminleri elde edilemez. AŞIRI BELİRLENMİŞTİR

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması Eşanlı denklemli bir modelin herhangi bir denkleminin tahmin edilebilmesi için, bu denklemin eksik belirlenmiş olmaması, tam veya aşırı belirlenmiş olması gerekir.

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması Boy şartı Rank şartı M = Modeldeki içsel değişken sayısı (veya denklem sayısı) m = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K = Modeldeki toplam dışsal değişken sayısı k = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı

1.Belirlenmenin İlk Şartı= Boy Şartı K-k  m-1 m= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K= Modeldeki toplam değişken sayısı k= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir. K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir. K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir.

Tam Belirlenme Hali=M-1 değişken içermiyorsa Yöntem 2: Modeldeki En Az M-1 Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şartı Tam Belirlenme Hali=M-1 değişken içermiyorsa 2.Aşırı Belirlenme Hali>M-1 değişken içermiyorsa 3.Eksik Belirlenme Hali< M-1 değişken içermiyorsa

ÖRNEK P,Q = içsel değişkenlerdir. Modelde dışsal değişken yoktur. K = 0 (modelde dışsal değişken yoktur) k = 0 (talep fonksiyonunda dışsal değişken yoktur) m = 2 (talep fonksiyonunda iki içsel değişken vardır) Talep fonksiyonu eksik belirlenmiştir.

Ya da; Modelde M=2 denklem vardır. Talep fonksiyonunun belirlenebilmesi için modeldeki en az M-1=2-1=1 Değişkeni içermemesi gerekir. Oysa ki talep fonksiyonu modeldeki tüm değişkenleri içeriyor.(P,Q) Arz fonksiyonu eksik belirlenmiştir, çözülemez.

Boy şartı sağlandıktan sonra rank şartı araştırılmalıdır. 2.Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Boy şartı belirlenmenin ilk şartı olup gerekli bir şarttır,ancak tek başına yeterli değildir. Boy şartı sağlandıktan sonra rank şartı araştırılmalıdır. Boy şartı sağlanmamış ise rank şartına ayrıca bakmaya gerek yoktur. Boy şartı sağlanmış olsa bir denklem eksik belirlenmiş olabilir.

Rank Şartı M denklemli ve M içsel değişkenli bir modelde bir denklemin belirlenmesi için: bu denklemde bulunmayan fakat modelin diğer denklemlerinde yer alan (içsel veya dışsal) değişkenlerin katsayılarından (M-1)(M-1) boyunda en az bir sıfırdan farklı determinant oluşturulabilmelidir. Ya da diğer bir ifadeyle; modelin bir denkleminin belirlenebilmesi için, bu denklemden dışlanan içsel veya dışsal tüm değişkenlerin katsayılarından oluşan matrisin rankı M-1’e eşit olmalıdır.

Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Yapısal model, sadece u terimleri denklemlerin sağında kalacak şekilde düzenlenir. C=b0+b1Y+u Y=C+I Bu yapısal modelin sadece ilk denkleminin belirlenme durumu araştırılacaktır. İkinci denklem özdeşlik olup, belirlenmenin araştırılmasına gerek yoktur. C-b0-b1Y = u Y-C-I = 0

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi Satırlarda Adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; sütunlarda ise değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu (=YKT) oluşturulur Tablo 1. Denklemler Değişkenler C Y I 1.Denklem 2.Denklem 1 -1 -b1 C-b0-b1Y = u Y-C-I = 0

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi Tablo1.YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. C Y I 1 -b1 1.d 2.d -1 -1 1 -1 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 A=[-1] |A| = |-1|0  Rank şartı gerçekleşmiştir. Bu durumda A matrisinin rankı r(A)=M-1=1’dir.

K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiş Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiş K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiş olduğundan ve rank şartı da sağlandığından TÜKETİM FONKSİYONU TAM BELİRLENMİŞTİR. K-k=m-1 1=1

K-k=m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem tam belirlenmiştir( Boy şartı da rank şartı da gerçekleşmiştir.) K-k>m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem aşırı belirlenmiştir( Boy şartının da rank şartının da gerçekleşmesi) K-k  m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarının hepsi sıfıra eşitse ise denklem belirlenmemiştir( Boy şartının gerçekleşmesi fakat rank şartının gerçekleşmemesi) K-k<m-1 ise yapısal denklem eksik belirlenmiş veya belirlenmemiştir.

ÖRNEK Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+u2 Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Q-a0-a1P-a2I=u1 (1.Denklem) Q-b0-b1P=u2 (2.Denklem)

Adım 2: Tablo1.YKT nin Düzenlenmesi Satırlarda adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; Sütunlarda da değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu düzenlenir. Denklemler Değişkenler Q P I 1.Denklem 2.Denklem 1 -a1 -b1 -a2

Adım 3: Tablo2. BADT’nin Düzenlenmesi YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. Q P I -a2 1.d 2.d 1 -a1 -b1 -a2 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: Tablo 2.BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-a2|0 Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

ÖRNEK Talep: Q=a0+a1P+a2I+u1 Arz: Q=b0+b1P+b2T+u2 Adım 1: Yapısal modelin yeniden yazılması Q-a0-a1P-a2I=u1 (1.Denklem) Q-b0-b1P-b1T=u2 (2.Denklem) Adım 2: YKT ‘nin Düzenlenmesi Denklemler Değişkenler Q P I T 1.Denklem 2.Denklem 1 -a1 -a2 0 1 -b1 0 -b2

Adım 3. BADT’nin Düzenlenmesi Q P I T 1.d 2.d 1 -a1 -b1 -a2 -b2 -b2 Tablo 1.YKT Tablo 2.BADT

Adım 4: M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-b2|0 Adım 5: Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I: MATRİSSİZ ÇÖZÜM: DOLAYLI EKKY 2 AŞAMALI EKKY SINIRLI BİLGİ İLE EÇBY

Eşanlı denklemli modelin her hangi bir denklemi Basit EKKY ile çözüldüğünde sapmalı, tutarsız tahminler elde edilir. Geri Dönüşlü Modellerde ise Basit EKKY uygulanabilmektedir. Bu nedenle eşanlı denklemli modellerin çözümü için farklı yöntemler geliştirilmiştir: Dolaylı EKKY 2 Aşamalı EKKY 3 Aşamalı EKKY gibi…

M denklemli M içsel değişkenli yapısal model : Y1=a12Y2+a13Y3+…a1MYM+b11X1+b12X2+…+b1kXk+u1 Y2=a21Y1+a23Y3+…a2MYM+b21X1+b22X2+…+b2kXk+u2 Y3=a31Y1+a32Y2+…a3MYM+b31X1+b32X2+…+b3kXk+u3         YM=aM1Y1+aM2Y2+…aMMYM-1+bM1X1+bM2X2+…+bMkXk+uM Denklemlerini tahmin edebilmek için iki yaklaşımdan biri kabul edilir: Sınırlı bilgi yöntemleri Tam bilgi yöntemleri

Sınırlı bilgi yöntemleri(=Tek denklem yöntemleri) Eşanlı denklem sistemlerinin her denklemi, diğer denklemlerden bağımsız şekilde, ferdi olarak tahmin edilir. Tam bilgi yöntemleri(=sistem yöntemleri) Yapısal denklemlerin tamamı aynı anda çözülür.

Sınırlı bilgi yöntemleri Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi (=DEKKY) İki Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi (=2AEKKY) Sınırlı Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi (=SBEÇBY) Tam bilgi yöntemleri Üç Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi (3AEKKY) Tam Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi (=TBEÇBY)

Tam bilgi yöntemlerinin dezavantajları: Hesaplamalar fazla ve karmaşıktır Parametrelere göre doğrusal olmayan çözümler vermektedir Spesifikasyon hatası  sınırlı bilgiye dayalı yöntemler daha kullanışlıdır

Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi (=DEKKY) Eşanlı modelin yapısal denklemlerini tek tek çözmeye imkan sağlayan tek denklem yöntemidir. Tam belirlenmiş yapısal denklemlerin tahmininde kullanılır. Daraltılmış biçim katsayılarının EKK tahminlerinden yapısal model katsayılarının tahminini elde etmeye dayanır.

Dolaylı EKKY’nin varsayımları Yapısal denklem tam belirlenmelidir. Daraltılmış denklem hata terimi (v) için; Stokastiktir E(vi)=0 Varyansı eşittir Otokorelasyonsuzdur Normal dağılır E(viXj)=0 Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olmamalıdır

Dolaylı En Küçük Kareler Yöntemi Adım 1: Daraltılmış biçim denklemleri elde edilir. Daraltılmış katsayılarla () yapısal katsayılar (a,b,c…) arasındaki bağlantılar elde edilir. Adım 2: Daraltılmış biçim denklemleri ayrı ayrı Basit EKKY ile tahmin edilir. Adım 3: Daraltılmış katsayılar ile yapısal katsayılar arasındaki bağlantılardan yapısal katsayılar hesaplanır.

Uygulama 1: Gelir Belirleyici Keynezyen Model Yıl Ct Yt=Ct+It It 1987 9 10 1 1988 12 2 1989 16 4 1990 14 17 3 1991 15 20 5

Gelir Belirleyici Keynezyen Model Tüketim fonksiyonu tam belirlendiğine göre Dolaylı EKKY ile tahmin ediniz. Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi:

Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini

Yıl Ct Yt=Ct+It It ct yt ıt ctıt ı2 ytıt 1987 9 10 1 -3 -5 -2 6 4 1988 12 2 -1 3 1989 16 1990 14 17 1991 15 20 5 60 75 24

Yapısal Model katsayılarının elde edilmesi:

Yapısal Modelin Tahmini (DEKKYModeli) Marjinal Tüketim Eğilimi Tüketim Modeli Daraltılmış BiçimTahmini Kısa Dönem Yatırım Çarpanları

Uygulama 2: Bir Malın Arz-Talep Fonksiyonu Q=Denge arz ve talep miktarı (içsel değişken) P=Malın fiyatı (içsel değişken) I=Tüketicilerin geliri (dışsal değişken) T=Teknoloji seviyesi (dışsal değişken) a1<0 a2>0 b1>0 Her iki denklemde tam belirlenmiştir. Talep ve arz denklemlerini Dolaylı EKKY ile tahminleyiniz.

1.Daraltılmış biçim denklemlerinin elde edilişi: P=1+ 2I+  3T+v1 Q= 4+ 5I+ 6 T+v2

2.Daraltılmış biçim denklemlerinin Basit EKKY ile tahmini: Daraltılmış BiçimTahmini

3.Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini:

3.Daraltılmış biçim katsayılarından yapısal katsayıların tahmini: Dolaylı EKK tahminleri: Basit EKK tahminleri:

Dolaylı EKKY Tahmincilerinin Özellikleri Tutarlı ve asimtotik etkindirler, fakat küçük örneklerde sapmalıdırlar. Yapısal Model Daraltılmış Denklemler P=1+ 2I+v1 Q= 3+ 4I+v2

AŞIRI BELİRLENMİŞ BİR DENKLEMİN TAHMİNİ: İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (=2 AEKKY)

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (=2AEKKY Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişkeni bağımlı değişken olarak alan daraltılmış denklem Basit EKKY ile tahminlenir ve bağımlı değişkenin tahmin değerleri hesaplanır. Tahmin edilecek yapısal denklemin sağında yer alan içsel değişken Yi yerine, değişkeni ikame edilerek elde edilen dönüştürülmüş yapısal denkleme Basit EKKY uygulanır.

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Varsayımları: Tahmin edilecek yapısal denklemin hata terimi u’nun bilinen varsayımları sağlaması gerekir. Daraltılmış biçim hata terimi v bilinen varsayımları sağlamalıdır. Dışsal değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olmamalıdır. Dışsal değişkenler bakımından model doğru kurulmuş varsayılmaktadır. Örnek büyüklüğünün yapısal modeldeki dışsal değişken sayısından büyük olması gerekir.

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Adım 1: Yapısal denklemin sağındaki içsel değişken(ler) ile tüm dışsal değişkenler arasındaki daraltılmış regresyon denklem(ler)i Basit EKKY ile tahmin edilir. Yi: İçsel Değişken X: Dışsal Değişken olmak üzere Yi=ai1Y1+ai2Y2+…+aiMYM+bİ1X1+…+biKXK+ui =Genel i.yapısal denklem (tahmin edilecek orijinal yapısal denklem)

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Daraltılmış denklemleri Basit EKKY ile ayrı ayrı tahminlenir ve Yi nin tahmin değerleri hesaplanır:

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Stokastik kısım Stokastik olmayan sabit X’lerin doğrusal bileşeni

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Adım 2: İlk adımda hesaplanan değişkenleri yapısal denklemdeki orijinal Y değişkenleri yerine ALET değişken olarak ikame edilir.

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Bu dönüşümlü yapısal denkleme Basit EKKY uygulanarak yapısal parametreler a, b’lerin 2 AEKK tahminleri hesaplanmış olur. ve u* asimtotik olarak ilişkisizdir. Oysa orijinal yapısal denklemde Y’lerle ui’ler ilişkilidir.

Uygulama 1: Gelir Belirleyici Keynezyen Model Yıl Ct Yt=Ct+It It 1987 9 10 1 1988 12 2 1989 16 4 1990 14 17 3 1991 15 20 5

ADIM 1: Tahmin edilecek orijinal yapısal denklem: C=b0+b1Y+u Denklemin sağında sadece bir tane Y içsel değişkeni vardır, Bu nedenle Basit EKKY ile tahmin edilecek olan daraltılmış denklem şöyledir:

ADIM 2 : İlk aşamada oluşturulan değişkeni orjinal yapısal denklemdeki Y yerine alet değişken olarak alınır.

2.AEKK TAHMİNCİLERİNİN STANDART HATALARININ TAHMİNİ 2.AEKKY’nin ikinci aşamasında dönüşümlü yapısal model:

Aradaki fark: Y

Alet Değişken Yöntemi Tek denklem yöntemidir. Aşırı belirlenmiş denklemlerin çözümünde daha uygundur. Tahmin edilecek denklemin sağındaki içsel değişken yerine uygun bir dışsal değişken ikame edilir. Böylece denklemdeki u hata terimi ile ilişkili içsel değişken ortadan kalkar ve yerine u ile ilişkisi olmayan bir dışsal değişken alet değişken olarak alınır.

ADIM 1 ADY Yapısal denklemin sağında yer alan değişken(ler)in yerine geçecek uygun alet değişken(ler) bulunur. Seçilen alet değişken, yapısal denklemde yerine geçeceği içsel değişkenle kuvvetli ilişkili olmalıdır. Alet değişkenin yapısal denklemdeki dışsal değişkenlerle arasında zayıf ilişki olmalıdır. Yapısal denklemde birden fazla alet değişken varsa, bunlar arasında zayıf ilişki olmalıdır.

ADIM 2. ADY Yapısal denklemi ortalamadan sapmalara göre yazarak sabit terimini ortadan kaldırırız. Her iki tarafı alet değişkeninin ortalamasından farkı ile (ve varsa dışsal değişkenlerin ortalamalarından farkı ile) çarpıp, n gözlem için toplarız. Yapısal denklemin bilinmeyen sayısı kadar denklem Basit EKKY ile tahminlenir.

ÖRNEK 1 ADY ADIM 1. Tüketim fonksiyonunda Y içsel değişkendir, dışsal değişken yoktur. Y ile u arasında ilişki olduğundan Basit EKKY varsayımları sağlanmamaktadır. Y yerine geçecek bir alet değişken modelin dışsal değişkenleri arasından seçilir. C, I, Y = içsel değişkenler Z1,Z2,K = dışsal değişkenler olduğundan Y yerine Z1 değişkenini alet değişken olarak alabiliriz.

Tüketim fonksiyonunu ortalamadan sapmalara göre tekrar yazalım: ADY ADIM 2. Tüketim fonksiyonunu ortalamadan sapmalara göre tekrar yazalım: c=b1y+u1 Denklemin her iki tarafını z1 ile çarpıp n gözlem için toplayalım:

ÖRNEK 2 ADY ADIM 1. İki bağımsız değişkenli ikinci modeli ele alıp ADY ile çözelim. Y içsel değişkendir, Z1dışsal değişkendir.Y ile u2 arasında ilişki olduğundan Basit EKKY varsayımları sağlanmamaktadır. Y yerine geçecek bir alet değişken modelin dışsal değişkenleri arasından seçilir. Y=f(Z1,Z2,K ) Daraltılmış kalıptan tahmin edilen değişkenini alet değişken olarak alabiliriz.

Yukarıdaki yapısal denklemi ortalamadan farklara göre yazalım: ADY ADIM 2. Yukarıdaki yapısal denklemi ortalamadan farklara göre yazalım: EKK varsayımı sağlanmamaktadır ve sapma söz konusudur. Bundan kurtulmak için Y yerine dışsal değişkenini alet değişken olarak alıyoruz.

Buradan alet değişken tahmincileri elde edilir.

2AEKKY ve Alet Değişken Yöntemi (Karşılaştırma) ADIM 1. Y=f(Z1,Z2,K) daraltılmış modeli tahmin edilir. Buradan dışsal değişkenlerin değerleri yerine konularak ler hesaplanır. ADIM 2. değişkeni (alet değişkeni) Regresyon denkleminde Y yerine ikame edilir.

Dönüşümlü yapısal denklem : Basit EKKY uygulanarak hesaplanan tahminler 2 AEKKY tahminleri olur. Ortalamadan sapmalara göre :

ADY tahminleri ile 2AEKKY tahminlerini karşılaştıralım. Alet değişken ADY 2AEKKY ADY de normal denklemlerin oluşturulmasında fark vardır.

İki Aşamalı EKKY Tahminlerinin Özellikleri 2 AEKKY büyük örnekler için daha uygundur, küçük örneklerde sapmalı tahminler verir. 2 AEKKY tahminleri tutarlıdır. 2 AEKKY tahminleri asimtotik etkindirler. Tam belirlenmiş denklemlerde DEKK ile aynı sonuçları verir. Aşırı belirlenmiş denklemler için idealdir. Hesaplanması kolay ve iyi sonuçlar verir. Dışsal değişkenin çok olduğu durumlarda örnek hacminin fazla olması gereklidir. Spesifikasyon hatalarına karşı hassastır. Daraltılmış kalıp denklemlerinin belirlikik katsayıları yüksekse Basit EKK ve 2AEKK tahminleri birbirine yakın çıkmaktadır.

Eşanlılık Testi Eşanlılık testi, bir açıklayıcı değişkenin (içsel) hata terimi ile ilişkili olup olamadığının testidir. İlişkili ise eşanlılık sorunu vardır. Hausman Model Kurma Testi Talep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1) Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2) I:Gelir R:Servet Eğer eşanlılık sorunu yoksa (Yani P ile Q karşılıklı bağımsızsa), Pt ile u2t ilişkisiz olur. Eğer eşanlılık varsa Pt ile u2t ilişkilidir.

Eşanlılık Testi Talep Fonk. :Qt=a0+a1Pt+a2It+a3Rt+u1t (1) Arz Fonk. :Qt=b0+b1Pt+u2t (2) Daraltılmış biçim denklemleri: Pt=π0+π1It+π2Rt+v1 (3) Qt=π3+π4It+π5Rt+v2 (4) 1.Adım: Pt nin Rt ile It ye göre regresyonu hesaplanıp ler bulunur. EKKY tahmini (5)

Eşanlılık Sınaması 2.Adım: Qt nin Pt ile ne göre regresyonu hesaplanır: [(5), (2) de yerine konulur] Ho:Eşanlılık yoktur. H1:Eşanlılık vardır. 3.Adım: v-tah’nin katsayısına t testi uygulanır. Sonuç anlamlı çıkarsa eşanlılık olmadığı hipotezi reddedilir. H0:Eşanlılık yok H1:Eşanlılık var

Örnek :Kamu Harcamaları Modeli EXP : Merkezi ve yerel yönetimlerin kamu harcaması AID : Federal yardım düzeyi INC : Eyalet geliri POP : Eyalet nüfusu PS : İlk ve ortaöğretimdeki çocuk sayısı INC , POP , PS : Dışsal değişkenlerdir. ! EXP ve AID arasında eşanlılık çıkma olasılığı vardır…

AID’nin INC , POP , PS’ye göre daraltılmış kalıp regresyonu hesaplanır. AID=f(INC,POP,PS) Daraltılmış biçim regresyonundan hata terimlerinin tahminleri hesaplanır. EXP’nin AID , INC , POP’ye göre regresyonu hesaplanır: %5 anlamlılık düzeyinde katsayısı istatistiksel bakımdan anlamlı değildir, dolayısıyla bu düzeyde, eşanlılık sorunu yoktur.

Dışsallık Testi Y1,Y2,Y3 gibi üç değişkenli, üç denklemli bir model ve X1, X2, X3 gibi dışsal değişkenler bulunsun. Y1i=b0+b2Y2i+b3Y3i+a1X1i+u1i 1.Adım: Y2 ve Y3 için daraltılmış kalıp denklemlerinden Y2i-tah ve Y3i -tah elde edilir. 2. Adım: Aşağıdaki denklem tahmin edilir. 3.Adım: l2=l3=0 hipotezi test edilir. Eğer bu hipotez reddedilirse Y2 ve Y3 içsel sayılır.

H0: l2=l3=0 değişkenler dışsaldır H1: Katsayılardan en az bir tanesi sıfırdan farklıdır. Değişkenler içseldir. Birden fazla katsayının testini Wald F testiyle, tek bir katsayının t testi ile araştırılması gerekmektedir.