2. HAFTA SAYI SİSTEMLERİ GENEL MATEMATİK Prof. Dr. Bülent KARAKAŞ yuzem.yyu.edu.tr

SAYI SİSTEMLERİ

Sayı kavramı insanlık tarihiyle birliktelik gösterir ve matematiğin en temel kavramıdır. Yapısal olarak vereceğimiz ilk sayı grubu doğal sayılar ve sayma sayılarıdır. 1,2,3,4,…. olarak bildiğimiz ve küme notasyonu ile ℕ ={1,2,3,4,5,…..} olarak gösterdiğimiz küme sayma sayıları kümesidir. Bu kümeye sıfır elemanını katarak doğal sayılar denilen 𝕊={0,1,2,3,4,5,….} kümesi elde edilir. Sayma sayıları varlıkları ve sıfır olmamayı göstermektedir. Eksikliği gösteren ve negatif sayılar denilen sayıları da katarak tam sayılar elde edilir. Böylece tam sayılar kümesi ℤ={….,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…….} şeklinde ifade edilebilir.

İki tamsayının (sıfır ile bölme hariç) bölümü ile elde edilen sayılara da kesirli veya rasyonel sayılar denir. Böylece rasyonel sayılar kümesini de ℚ={ 𝑎 𝑏 /𝑎,𝑏∈ℤ, 𝑏≠0} şeklinde yazabiliriz. Son alarak a/b şeklinde yazılamayan var var olan sayıları da ekleyelim. Bu tür sayılar irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar olarak bilinir. Mesela karesi 2 olan sayı bir rasyonel sayıdır. Başka bir ifadeyle 2 , 3 , 𝜋 sayıları sonsuz açılımlı olan ama a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. ℚ ∗ ={𝑎,𝑏 ∈ℚ 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑘 ü𝑧𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑏 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑦𝑎𝑧ı𝑙𝑎𝑚𝑎𝑦𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑦ı𝑙𝑎𝑟} Görüldüğü gibi kümeler teorisindeki alt küme olmaya göre ℕ⊂ 𝕊 ⊂ℤ ⊂ℚ dir. ℚ∪ ℚ ∗ bileşke cümlesine, bir anlamda evrensel kümeye, reel sayılar kümesi denir ve ℝ ile gösterilir.

𝕊 ℤ ℚ ℚ ∗

Reel sayılar cümlesi analitik doğru ile birebir eşleme içindedir Reel sayılar cümlesi analitik doğru ile birebir eşleme içindedir. Çoğu uygulamada reel eksen olarak adlandırılan bu doğru üstünde işlemler gösterilir.   Reel sayı ekseninin alt cümleleri aralık olarak isimlendirilir. Her aralık başlangıç ve bitiş noktaları ile verilir ve bu uç noktaların aralığa dahil olup olmadığı belirtilir. ARALIKLAR: 𝑎 , 𝑏 𝜖ℝ reel sayıları arasında kalan reel sayılardan oluşan alt kümeye a-b aralığı denir ve a ve b’nin aralığa ait olma veya olmama durumuna göre şöyle tanımlanır.

Gösterimi İsimlendirme Tanımı (a,b) Açık aralık {𝑥∈ℝ, 𝑎<𝑥<𝑏} (a,b] Soldan açık, sağdan kapalı {𝑥∈ℝ, 𝑎<𝑥≤𝑏} [a,b) Sağdan kapalı soldan açık {𝑥∈ℝ, 𝑎≤𝑥<𝑏} [a,b] Kapalı aralık {𝑥∈ℝ, 𝑎≤𝑥≤𝑏} Sınırsız aralıklar: uç değerlerden biri veya ikisi sonsuz olan aralığa sınırsız aralık denir. Sınırsız aralıklar şunlardır, Gösterimi İsimlendirme Tanımı (a,∞) Soldan a ile sınırlı sınırsız açık aralık {𝑥/𝑥∈ℝ, 𝑎<𝑥} [a,∞] Soldan a ile sınırlı sınırsız kapalı aralık {𝑥/𝑥∈ℝ, 𝑎≤𝑥} (-∞,b) Sağdan b ile sınırlı sınırsız açık aralık {𝑥/ 𝑥∈ℝ , 𝑥<𝑏} (∞,𝑏] Bağdan b ile sınırlı sınırsız kapalı aralık {𝑥/𝑥∈ℝ, 𝑥≤𝑏}

Kolayca bulabileceğimiz bazı örnekleri verelim. 3 125 =5 çünkü, 5 8 =125   4 16 =2, çünkü 2 4 =16 2 64 =8, 8 2 =64

ÖZELLİKLER: Köklü ifadelere ait temel özellikler şöyledir: 𝑛 𝑚 𝑏 = 𝑛.𝑚 𝑏 𝑛 𝑏 = 𝑏 1/𝑛 𝑛 𝑏 𝑚 𝑏 = 𝑛−𝑚 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 = 𝑛 𝑎 𝑏

ÖRNEKLER UYARILAR 3 2 64 = 6 64 =2 3 54 3 2 = 3 54 2 = 3 27 =3   3 2 64 = 6 64 =2 3 54 3 2 = 3 54 2 = 3 27 =3 UYARILAR Negatif sayıların çift mertebeden kökü yoktur. Negatif tek sayıların tek mertebeden kökü vardır . Bir b sayısının n.inci mertebeden kökü a ise bu iddianın doğruluğu a nın n.inci mertebeden kuvveti b hesaplanarak bulunur.