Ölçme Değerlendirmede İstatistiksel İşlemler

VERİLERİN DÜZENLENMESİ Puanlar: 31, 20, 56, 31, 17, 50, 29, 47, 46, 44, 21, 43, 27, 42, 34, 40, 22, 39, 38, 38, 37, 32, 27, 37, 36, 59, 36, 17, 35, 33, 42, 32, 31, 30, 30, 29, 28, 35, 52, 38, 27, 36, 25, 34, 24, 36, 50, 22, 43, 32, 21, 37. Puanlar: 59, 56, 52, 50, 50, 47, 46, 44, 43, 43, 42, 42, 40, 39, 38, 38, 38, 37, 37, 37, 36, 36, 36, 36, 35, 35, 34, 34, 33, 32, 32, 32, 31, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 28, 27, 27, 27, 25, 24, 22, 22, 21, 21, 20, 17, 17.

˜ Verilerin Gruplandırılması 3 Genişlik . Aralık Ölçüsü = Gruplandırma Sayısı Aralık Ölçüsü = . 52 - 17 . 15 Aralık Ölçüsü = = 2,8 3 ˜ * Gruplandırma sayısı çalışmayı yapan kişi tarafından belirlenir.

Puanlar f 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ƩN= 52

MERKEZİ EĞİLİM (YIĞILMA) ÖLÇÜLERİ * Aritmetik Ortalama * Ortanca (Medyan) * Mod (Tepe Değer) * Geometrik Ortalama * Harmonik Ortalama * Karesel Ortalama * Logaritmik Ortalama

_________________________ Aritmetik Ortalama Gruplandırılmamış Veriler Ʃ X ___________________________ N Aritmetik Ortalama Puanlar toplamı Eleman sayısı = = 26 _________________________ 5 3, 4, 8, 5, 6 = 5,2 =

Aritmetik Ortalama Aritmetik Ortalama = N Ʃf * X = Gruplandırılmış Veriler Aritmetik Ortalama Toplam frekans x Puan aralığı orta noktası Eleman sayısı = Ʃf * X _____________________________________________________________ N o =

N 1795 52 34,52 Puanlar f X f * X Aritmetik Ortalama Ʃf * X = = = 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 58 55 52 49 46 43 40 37 34 31 28 25 22 19 16 58 55 52 98 92 215 80 370 70 248 168 50 88 19 32 Ʃf * X _____________________________________________________________ N o = 1795 _____________________________________________________________ 52 = 34,52 = ƩX= 52 Ʃf.X = 1795 o

) . değer ) . değer Ortanca - Medyan Ortanca Ortn Ortn = Sıradaki ( 2 ) . değer 3, 4, 8, 5, 6 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki ( ) . değer Ortn 5 + 1 2 Ortn 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki 3. değer

) . değer Ortanca - Medyan Ortn Ortn = Sıradaki ( 1, 2, 3, 5, 7, 8 Veri Sayısı Çift 3, 5, 2, 1, 8, 7 1, 2, 3, 5, 7, 8 = Sıradaki ( 6 + 1 2 ) . değer Ortn 1, 2, 3, 5, 7, 8 Ortn = Sıradaki 3,5. değer Ortn = 4

Ortanca - Medyan ) ( . a Gruplandırılmış Veriler Puanlar f N/2 – f f Ortn = As + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn As = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın alt sınırı f = Alt sınırın altındaki frekans toplamı f = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın frekansı yf = Yığılmalı frekans a = Aralık katsayısı a ortn 23 ƩN= 52

Ortanca - Medyan ( ) ( ) ( ) Puanlar f . a . 3 . 3 Gruplandırılmış Veriler Puanlar f N/2 – f f . a ( ) Ortn = As + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn 52/2 – 23 5 ( ) . 3 Ortn = 32,5 + 3 5 ( ) . 3 Ortn = 32,5 + Ortn = 34,3 ƩN= 52

Mod – Tepe Değer * Bir dağılımda frekansı en fazla olan değerdir. Gruplandırılmamış Veriler 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 10 Mod = 6

Mod – Tepe Değer Puanlar f Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn Gruplandırılmış Veriler Puanlar f Mod Aralığı = 36 – 38 Kaba Mod = 37 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn 36 – 38 10 = 34,52 Ortn = 34,3 Gerçek Mod = 3*34,52 - 2*34,3 Gerçek Mod = 34,96 ƩN= 52

DAĞILIM EĞRİLERİ Normal Dağılım Sola Çarpık Dağılım Sağa Çarpık Dağılım

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Normal Dağılım

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Sola Çarpık Dağılım

DAĞILIM EĞRİLERİ Mod Ortn Sağa Çarpık Dağılım

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ * Genişlik (Ranj) * Çeyrek Sapma * Ortalama Sapma * Standart Sapma

Genişlik (Ranj) * G = X - X G = 59 - 17 = 42 * Genişlik (Ranj) = En Yüksek Puan - En Düşük Puan * G = X - X EY ED G = 59 - 17 = 42 * Genişlikle ilgili hesaplamalar tam sağlıklı değildir. Uçlardan biri veya ikisi değişirse, sonucu fazlasıyla etkiler. Fazla hassas bir ölçümü yoktur.

S = √ Standart Sapma ( S, s.s. ) ƩX = Ʃ (X - ) Veriler Gruplandırılmamış S = √ 2 ƩX = Ʃ (X - ) ƩX N 2 2 5, 6, 7, 8, 9 X 5, 6, 7, 8, 9 7, 7, 7, 7, 7 N = 5 ƩX = 35 = 7 Fark -2 -1 0 1 2 2 ƩX 4 1 0 1 4 2 ƩX = 10 S = √ 10 / 5 S = √ 2 S = 1,41

) ) Standart Sapma ( S, s.s. ) S = a * √ Ʃf (x ) S = 3* √ 539 - ( - ( Veriler Gruplandırılmış ⃓ Puanlar f X f*(x ) ⃓ 2 - ( ) 2 S = a * √ Ʃf (x ) N 2 ⃓ ⃓ Ʃ f x N 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 49 36 25 32 18 20 2 5 54 100 98 Ʃfx = (-87) – 44 = - 43 ⃓ 44 - ( ) S = 3* √ 539 52 2 -43 52 -87 S = 9,33 N= 52 539

Normal Dağılım DAĞILIM EĞRİLERİ -3 -2 -1 Ortn Mod % 34,13 % 34,13 % 13,59 % 13,59 % 2,15 % 2,15 -3 -2 -1 +1 +2 +3 Ortn Mod Normal Dağılım

STANDART PUANLAR * Z Puanı * T Puanı

s.s. Z T DAĞILIM EĞRİLERİ -3 -2 -1 0 1 2 3 20 30 40 50 60 70 80 -3 -2 % 34,13 % 34,13 % 13,59 % 13,59 % 2,15 % 2,15 s.s. -3 -2 -1 +1 +2 +3 Z -3 -2 -1 0 1 2 3 T 20 30 40 50 60 70 80

Z Puanı . X – . s.s. Z = Puan – Aritmetik Ort. Standart Sapma Z =

Z Puanı Z = . X – . s.s. . 45 – 33 . 9 Ali’nin Matematik Dersi X = = s.s. = Z = Z = 1,33 Ali’nin İngilizce Dersi X = = s.s. = 72 72– 75 . 6 Z = -0,50 Z =

Matematik Dersi İngilizce Dersi

T Puanı ) ( T = X - . 50 + s.s. T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * Z T = 63,3

Çarpıklık 3 ( Ortalama - Ortanca) Çarpıklık Değeri = Standart Sapma İşlemde çıkan değer eksi ( - ) ise sola çarpık artı ( + ) ise sağa çarpıktır. Değer 0,10’dan küçükse, hafif düzeyde zor, 0,10 -0,25 arasındaysa orta düzeyde zor, 0,25’ten büyükse çok zordur.

Yayılganlık / Bağıl Değişkenlik Katsayısı . Standart Sapma . Aritmetik Ortalama Yayılganlık Katsayısı = 100 * Bir sınıfın, boy ortalaması 165 cm., s.s. = 15 cm. ağırlık ortalaması 65 kg., s.s. = 5 kg.dır. . 15 . 165 . 5 . 65 Y. K. = 100 Y. K. = 100 * * Boy Ağırlık Y. K. = 9.09 Y. K. = 7.69 Boy Ağırlık Bağıl değişkenlik katsayısı 19 ve daha küçükse, dağılım HOMOJEN 20 – 25 arasında “ NORMAL 26 ve yukarısında “ HETEROJEN

r = r = r = r = r KORELASYON - 1.00 ≤ r ≤ 1.00 İlişki, bağıntı. Korelasyon işlemlerinde bir grup içindeki iki konudan söz edilebilir. Farklı gruplardaki konulara ilişkin konular ele alınmaz. r = r = r = r = r xy yx 12 21 - 1.00 ≤ r ≤ 1.00

R = 1.00 (Mükemmel ve olumlu bir ilişki vardır.) KORELASYON y Bireyler x y . A 10 8 B 9 7 C 8 6 D 7 5 E 6 4 8 7 6 5 4 2 x 6 7 8 9 10 r = 1.00 R = 1.00 (Mükemmel ve olumlu bir ilişki vardır.)

R = - 1.00 (Mükemmel, ancak olumsuz ve ters KORELASYON y Bireyler x y . A 10 2 B 9 3 C 8 4 D 7 5 E 6 6 6 5 4 3 2 x 6 7 8 9 10 r = - 1.00 R = - 1.00 (Mükemmel, ancak olumsuz ve ters bir ilişki vardır.)

KORELASYON Bireyler x y . r = 0.30 y x A 8 9 B 7 5 C 6 7 D 5 8 E 4 6 6 2 x 6 7 8 9 10 r = 0.30

KORELASYON y y 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 x x 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 y y 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 x x 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10