EE-301 Sayısal Tasarım Ders Notları 3. Hafta Ders Öğretim Üyeleri Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

İkili Lojik İkili lojik, iki ayrık değer alan değişkenler ve lojik anlamdaki işlemlerle ilgilenir. Değişkenlerin aldığı iki değere doğru ve yanlış, evet ve hayır gibi farklı isimler verilir. Bu değişkenleri bit cinsinden düşünmek ve 1 ve ya 0 değeri atamak gerekir. İkili lojik, ikili bilgi üzerindeki işlemlerin matematiksel olarak anlatılmasında kullanılır. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

İkili Lojik İkili lojikte yalnız ve yalnız 1 ve 0 değerleri alabilecek olan her bir değişkene A, B, c, x, y, z vb. gibi alfabe harfleri atanır. Üç temel lojik işlem vardır: VE, VEYA, DEĞİL VE: Bu işlem bir noktayla veya hiçbir işlemci işareti konulmadan temsil edilir: x . y = z veya xy = z ‘x VE y eşittir z’ şeklinde okunur. VE lojik işlem, yalnız ve yalnız x = 1 ve y = 1 olduğunda z = 1 değerini alır. Diğer durumlarda z = 0 olur. VEYA: Bu işlem + işareti ile temsil edilir: x + y = z ‘x VEYA y eşittir z’ şeklinde okunur. x = 1 veya y = 1 ise ya da x ve y’nin her ikisi de 1’e eşitse z = 1 değerini alır. Hem x hem de y 0’a eşitse z = 0 olur. DEĞİL: Bu işlem bir üssü işaretiyle ya da bir üst çizgiyle temsil edilir. Örneğin: x’ = z veya x = z. ‘x’in değili z’ye eşittir’ şeklinde okunur. z, x’in tersi anlamını taşır. x = 1 ise z = 0, x = 0 ise z = 1 olur. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

İkili Lojik VE ve VEYA işlemleri sırasıyla çarpma ve toplama işlemlerine benzer. Fakat buradaki çarpma ve toplama ikili aritmetikten farklıdır. Aritmetik bir değişken birçok haneden oluşabilen bir sayı iken lojik bir değişken sadece 1 veya 0 değerini alır. Örneğin ikili aritmetikte 1 + 1 = 10 olur. Okunuşu: ‘bir artı bir ikiye eşittir’. Fakat ikili lojikte 1 + 1 = 1 olur. Okunuşu: ‘bir veya bir bire eşittir’. x veya y değerlerinin her bir kombinasyonu için lojik işlemin tanımıyla belirlenmiş bir z değeri vardır. Bu tanımlar doğruluk tablosu kullanılarak düzenli bir şekilde listelenebilir. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Doğruluk Tablosu Doğruluk tablosu değişkenlerin alabileceği değerlerle işlemin sonucu arasındaki ilişkiyi gösteren bir tablodur. Örneğin, x ve y değişkenli VE ve VEYA işlemlerine ilişkin doğruluk tabloları değişkenlerin ikili olarak tüm olası değerlerinin listelenmesiyle elde edilir. Her bir kombinasyon için işlem sonucu ayrı bir sütun halinde listelenir. Doğruluk tabloları oluşturulurken, giriş değişken sayısına göre durum ifadesi ortaya çıkar. ‘n’ tane değişken için 2n değişik durum oluşur. Örneğin; 2 değişkenli bir ifade için 22 = 4 değişik durum, 3 değişkenli bir ifade için 23 = 8 değişik durum elde edilir. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Anahtarlama Devreleri İkili değişkenlerin kullanımı ve ikili lojik uygulamaları basit anahtarlama devreleri ile temsil edilebilir. Seri anahtarlar – lojik VE Paralel anahtarlar – lojik VEYA Çıkışa paralel anahtar – lojik DEĞİL EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

İkili İşaretler Lojik kapılar bir çıkış sinyali üretmek için bir veya daha fazla giriş sinyali üzerinde işlem yapan elektronik devrelerdir. Gerilim veya akım gibi elektrik sinyalleri analog sinyallerdir ve belirli bir aralıkta, 0-3 V gibi, sürekli değerler alırlar. Fakat sayısal bir sistemde bu gerilimler 0 ve 1 değerleri olarak yorumlanmalıdır. Gerilimle çalıştırılan lojik devrelerde lojik-0 ve lojik-1’e eşit iki değişkenle temsil edilebilen iki farklı gerilim seviyesi vardır. Örneğin, belirli bir sayısal sistem, lojik-0’ı 0 voltluk bir nominal değer, lojik-1’i 3 voltluk bir nominal değer olarak tanımlayabilir. Her bir gerilim seviyesinin nominalden kabul edilebilir bir sapması vardır. İzin verilen bölgeler arasındaki sınır seviyelerle sadece durum geçişleri sırasında karşılaşılır. Lojik 1 için sinyal aralığı Bu limitler arasında geçiş oluşur Lojik 0 için sinyal aralığı EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Lojik Kapılar Hesaplama veya kontrol için istenen herhangi bir bilgi, çeşitli lojik devre kombinasyonları aracılığıyla, her bir işaret bir değişkeni temsil edip bir bilgi biti taşıyacak şekilde ikili işaretler oluşturarak işlenebilir. İki girişli VE kapısı İki girişli VEYA kapısı DEĞİL kapısı (Evirici) Kapı adı verilen bu devreler girişteki lojik koşullar sağlandığında lojik-1 veya lojik-0 işaretlerini oluşturan donanım gruplarıdır. Kapılar = lojik devreleri = anahtarlama devreleri = sayısal devreler EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Lojik Kapılar Lojik kapılar için giriş-çıkış sinyalleri: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Lojik Kapılar VE ve VEYA kapılarının ikiden fazla girişi olabilir EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Boole Cebri, İngiliz matematikçisi olan George Boole'nin 1850 yıllarında Aristonun mantık bilimine sembolik şekil verme isteği sonucunda ortaya çıkmıştır. Geliştirdiği cebir ile sayısal devrelerin analiz ve tasarımı sağlanmaktadır. İkili lojiğin matematik yapısı Boole veya anahtarlama cebri diye bilinir. Bu cebir türü karmaşık sayısal devre ağlarının çalışmasını açıklamaya uygundur. Sayısal devre tasarımcıları Boole cebrini devre diyagramlarını cebirsel ifadelere dönüştürmek veya cebirsel ifadeleri devre diyagramlarına dönüştürmek kullanırlar. Bütün cebirsel yapılarda olduğu gibi Boole Cebri’nde de doğru olarak kabul edilen ve doğruluğu ispatlanabilen önermeler şeklinde temel kurallar dizisi vardır. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Ters eleman Bir değişken ‘0’ ise değili (tersi) ‘1’, değişken ‘1’ ise değili ‘0’ olarak alınır. Bir değişkenin değili, değişken üzerine konan çizgi veya kesme işareti ile belirtilir: A = 0 => A' = 1 , A = 1 => A' = 0 Bir değişkenin değilinin değili (tersinin tersi) kendisine eşittir : (A'' =A) EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Toplama ve Çarpma İşlemleri EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Toplama ve Çarpma İşlemleri EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Sabit kuvvetlilik Boole matematiğinde normal aritmetik işlemlerdeki toplama ve çarpma işlemlerinden farklı olarak kullanılan kurallardan birisi; sabit kuvvetliliktir. A + A = A (A+A+A+........+A = A ) A . A = A (A.A.A.A...........A = A ) Değişim Kanunu Toplama ve çarpma işlemlerinde geçerli olan değişim kanunu aynı şekli ile Boole matematiğinde de geçerlidir. A + B = B + A A . B = B . A EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Birleşme Kanunu Toplama ve Çarpma işlemlerinde geçerli olan değişim kanunu aynı şekli ile Boole matematiğinde de geçerlidir. (A + B) + C = A + (B + C) = A+B+C (A . B) . C = A . (B . C) = A . B . C EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Dağılma Kanunu Gerek ‘toplamanın çarpma’ üzerindeki gerekse de ‘çarpmanın toplama’ üzerindeki dağılma özellikleri olarak tanımlanan kanunlar, aynı şekli ile Boole matematiğinde kullanılmaktadır. A . (B+C) = (A . B) + (A . C) (A+B) . (A+C) = A+ (B . C) İspat: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Yutma Kanunu : Yalnızca Boole cebirinde geçerli olan bir kuraldır. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları A .(A'+B) = A . B Basitleştirme Kanunu Toplama ve Çarpma işlemlerinde Boole matematiğinde geçerli olan bir diğer kural; basitleştirme ve sadeleştirme kuralıdır. A + A' . B = A + B İspat: A .(A'+B) = A . B EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları De Morgan Kanunları ‘VEYADEĞİL’ ve ‘VEDEĞİL’ işlemlerinden faydalanarak uygulanan ve lojik işlemlerde kolaylıklar sağlayan kurallar, ‘De Morgan Kanunları / Kuralları’ olarak isimlendirilir A.B =A'+B' A+B = A'.B' EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Örnek: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Cebri Kuralları Örnek: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Dualite Prensibi Bir Boole ifadesinin duali mantıksal çarpım ve toplamların ve 1 ile 0’ların yer değiştirmesiyle bulunur. 𝑥 𝑦+0 ifadesinin duali 𝑥+ 𝑦∙1 olarak bulunur. 𝑥 ∙1+ 𝑦 ∙𝑧 ifadesinin duali 𝑥 +0 ∙ 𝑦 +𝑧 olarak bulunur. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Fonksiyonlarının Sadeleştirilmesi Sayısal bir devre, cebirsel veya grafiksel yöntemlerden birisi kullanılarak sadeleştirilebilir. Lojik devrelerin sadeleştirilmesinde kullanılan yöntemlerden birisi, temel prensiplere göre doğruluğu kabul edilmiş işlemler, eşitlikler ve kanunlardan oluşan Boole kurallarıdır. Diğer bir deyişle; ‘Boole kuralları’, dijital devrelerin sahip oldukları girişlerin etkilerini açıklamak ve verilen bir lojik eşitliği gerçekleştirilecek en iyi devreyi belirlemek amacıyla lojik ifadeleri sadeleştirmede kullanılabilir. Sadeleştirilen lojik ifadelerden oluşturulacak elektronik devreler, hem daha basit hem de daha ucuz olarak gerçekleştirilebilirler. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Fonksiyonlarının Sadeleştirilmesi Örnek: Sadeleştirme işlemi, ‘B’ parantezine alınarak yapılırsa; A'B + A + AB = B . (A + A') + A = B . 1 + A = A+B Bu sonuç, aynı sonuca farklı şekillerde ulaşılacağına iyi bir örnektir. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Fonksiyonlarının Sadeleştirilmesi Örnek: Örnek: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Boole Fonksiyonlarının Sadeleştirilmesi Örnek: EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

İşlem Önceliği Boole ifadelerin değerlendirilmesinde göz önüne alınan işlem öncelik sırası: Parantez DEĞİL (Tümleyen) VE VEYA Örnek: (x + y)’ = x’y’ İfadenin sol tarafı (x + y)’ olduğundan önce parantezin için değerlendirilip sonucun tümleyeni alınır. İfadenin sağ tarafı x’y’ olduğundan öncelikle x ve y’nin tümleyenleri alınıp sonuç VE’lenir. EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN

Kaynakça M. Morris Mano «Sayısal Tasarım» 2. baskı Hüseyin Ekiz «Mantık Devreleri» 4. baskı Taner Arsan, Rifat Çölkesen «Lojik Devre Tasarımı» 3. baskı EE-301 SAYISAL TASARIM 3.Hafta Doç. Dr. Mehmet DEMİRTAŞ Dr. Öğr. Üyesi Ayşe DEMİRHAN