İSPAT

Matematikçiler iddialarının doğruluğunu ispatlayarak göstermeye çalışır. Saf matematiğin itici gücü, demir gibi sağlam mantıksal argüman arayışıdır. Bilinen veya varsayılanlardan yola çıkarak ilerleyen mantık zincirleri ile varılan sonuçlar, matematik hazinesinin birer parçası haline gelir.

İspat bazen hiç de kolay olmayabilir; araştırma yapa yapa ve yanlış yollara sapa sapa varılan ispatlar, bir matematikçinin hayatının ana uğraşıdır. Başarılı bir ispat, kendisini sanılardan, parlak fikirlerden veya ilk tahminlerden ayıran,matematiğin kesinlik mührünü taşır. Bir ispatta hatasızlık ve şeffaflığın yanında zarafet de aranan bir özelliktir. Ayrıca bunlara içgörüyü de ekleyebiliriz: iyi bir ispat, "bizi daha bilge kılar".

İSPAT NEDİR ? Matematiksel bir sonuç duyduğunuzda buna inanır mısınız? İnanmanız için ne gibi bir özelliğe sahip olması gerekir? Kabul ettiğiniz fikirlerden yola çıkarak mantıksal açıdan geçerli argümanlarla sonuca ulaşması etkili olabilir. İşte matematikçilerin ispattan kastettikleri de budur. İspatın geçerli olup olmamasına bağlı olarak ikna olur veya şüphe duymaya devam edersiniz.

Matematiksel ispatta kullanılan başlıca teknikler şunlardır:

Karşı-örnek gösterme =49 Bu aslında bir şeyin doğru olduğunu değil, yanlış olduğunu ispatlama yöntemidir. Diyelim ki birisi size her sayının karesinin çift olduğunu söyledi. Bunu bazı sayılar da hemen deneyebilirsiniz. Örneğin 6x6=36 olsa da bir gülle bahar olmaz diyerek aramaya devam etmeliyiz. Sonuçta iddia bunun her sayı için geçerli olduğuydu. Örneğin 9'u denediğimizde; 9x9-81 eder ki tek sayıdır. Bu da demektir ki her sayının karesi çift değildir. Sadece tek bir karşı-örnek bile orijinal iddiayı çürütmeye yeter. "Tüm kuğular beyazdır" iddiasını çürütmek için tek bir siyah kuğunun varlığı yeter. Teorem olma hevesindeki bir önermeyi tek bir karşı-örnek bularak yıkmak, matematiğin keyiflerinden biridir. =49

Bununsa en düz yolu doğrudan ispattır. Eğer karşı-örnek bulmakta başarısız olursak, belki önerme gerçekten de doğrudur. O zaman oyunun kuralları değişir. Bu durumda matematikçi bir ispat yapmak zorundadır. Bununsa en düz yolu doğrudan ispattır.

Doğrudan İspat

8x8 = 64 Bu yöntemde önceden gösterilmiş ya da kabul edilmiş doğrulardan yola çıkarak mantık silsilesiyle yeni doğruya ulaşmaya çalışırız. Bunu yapabilirsek yeni bir teoreme kavuşmuş oluruz. Bir sayının kendisiyle çarpılınca sonucun çift olacağını ispatlamamız artık mümkün değil, çünkü çürüttük zaten 6'nın karesi çift sayıydı , 9'unki ise tek. İddiamızı şu şekilde güncelleyelim zaman: Bir çift sayının karesi her zaman çifttir. 8x8 = 64

Yine ilk yapmamız gereken birkaç çift sayı deneyerek karşı-örnek bulabilecek miyiz diye bakmak olmalı. Bu sefer karşı -örnek yok gibi gözüküyor. Peki ama bunu ispatlamak için nereden işe başlayacağız? Çift sayıya n diyerek başlamak mümkün olsa da, burada daha somut bir örnek üzerinden gidelim. 6 sayısını ele alalım. Çift sayılar ikinin katı olan sayılardır. Örneğin 6-2x3 diye yazabiliriz. 6x6-6+6+6+6+6+6 olduğundan, 6x6=2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 yazabiliriz. Ortak paranteze alırsak: 6x6-2x(3+3+3+3+3+3) Demek ki 6x6, 2'nin katıdır ve dolayısıyla çift sayıdır. Fakat bu çıkarımda 6'ya özgü bir ayrıcalık yok; n = 2xk yazarak da aynı sonucu elde edebiliriz: n x n = 2 x (k + k + k + ... + k)

Dolaylı İspat

Bu yöntemde sonucun yanlış olduğunu varsayar ve mantıksal çıkarımlarla ilk varsayımla çelişen bir durum elde ederiz. Gelin bir önceki sonucu bu yöntemle ispatlayalım. Diyelim ki n çift ama nxn tek sayı. nxn'i n tane n'in toplamı olarak yazabiliriz: nxn = n + n + n + ... + n. Ama o zaman n çift olamaz (çünkü olsaydı nxn de çift olurdu). Dolayısıyla n tek olmalıdır ki bu da ilk varsayımımızla çelişir. NxN

Bu aslında dolaylı ispatın yumuşak hali Bu aslında dolaylı ispatın yumuşak hali. Tam donanımlı haline olmayana ergi (veya saçmaya indirgeme) diyoruz. Bu Antik Yunanların bayıldığı bir yöntemdi. Atina akademisinde Sokrates ve Platon, karşılarındaki kişini n söylediklerinden bir çelişki doğurarak söylediklerinin yanlış olduğunu göstermekten çok hoşlanırlardı. 2'nin karekökünün irrasyonel olduğunun klasik ispatında, 2'nin karekökünün rasyonel olduğunu varsayar ve çelişkili bir duruma varırız.

Tümevarım Yöntemi

İspatın Zorlukları

İspatlar çeşit çeşittir. Bazıları ders kitaplarında olduğu gibi kısa ve çabuktur, Bazılarıysa binlerce sayfayı bulabilir. Bu gibi Durumlarda tüm söylenenlere çok az kişi hakim olabilir.

Bir de daha temelde yatan meseleler vardır Bir de daha temelde yatan meseleler vardır. Örneğin küçük bir matematikçi grubu, olmayana ergi yönteminin varlığa ilişkin kullanılmasından rahatsız. Eğer bir denklemin çözümünün olmaması bir çelişkiye yol açıyorsa, bu bir çözümün olduğunu ispatlamak için yeterli midir? Onlara göre elle tutulur bir çözüme nasıl varılacağı hakkında hiçbir ipucu vermeyen bu mantık bir tür hokkabazlıktan başka bir şey değil. Bu ispat yönteminin "sayısal anlam" sağlamaktan aciz olduğunu savunan bu kişilere "yapılandırmacı" denir. Olmayana ergi yöntemini matematiksel cephaneliğin ana silahlarından biri olarak görenlere dudak bükerler. Geleneksel matematikçi ise böyle bir ispat yöntemini dışlamanın bir elinizi arkaya bağlamakla aynı şey olduğunu, dahası bu yöntemle ispatlanan sonuçları çıkardığımızda matematik kiliminin kevgire döneceğini söylerler.

Hazırlayan Samet KARACAOĞLU Sunanlar Talha AKTAŞ Sefa ŞAHİN Cihat ARAZ

KAYNAKÇA Matematik Fikri