BENZETİM 12. Ders Benzetimde cıktı Analizi Prof.Dr.Berna Dengiz 12/30/2018

Benzetimde Çıktı Analizi BİR SİSTEMİN ÇIKTI ANALİZİ Çıktı analizi, benzetimden üretilen verilerin (çıktıların) analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki ya da daha fazla alternatif sistem tasarımlarınının performansını karşılaştırmaktır. Girdi değişkenlerinin değerlerini üretmek için rassal sayı üreteçleri kullanıldığından, bir benzetimden elde edilen çıktı da rassal değişkendir. Çünkü farklı başlangıç değerleri kullanılarak elde edilen çıktılar birbirinden farklı olacaktır. Bu nedenle istatistiksel çıktı analizine ihtiyaç duyulur. 12/30/2018

Neden Çıktı Analizi Sistemin performansı  parametresi ile ölçülürse, benzetim deneylerinin sonucunda ’nın tahmini elde edilecektir. Tahmincinin hassasiyeti,  ’nın varyansı (ya da standart hata) ile ölçülebilir. İstatistiksel analizin amacı, bu varyansı tahmin etmek ya da istenilen hassasiyeti sağlamak için gerekli gözlemlerin sayısını belirlemektir. 12/30/2018

BENZETİM TÜRLERİ 12/30/2018

Bitişli Benzetim : İstenilen performans ölçülerinin tahmini değerlerini , önceden belirtilen bir E olayı ortaya çıkıncaya kadar geçen benzetim süresi için tahmin eder. Bu süre (0,TE) aralığı ile gösterilsin; TE ; E olayının ortaya çıktığı zaman olarak dikkate alındığında, TE rassal değişken olabilir. Örneğin; E={beklemeleri tamamlanmış m müşteri} olarak tanımlansın. Örneğin bir kuyruk sisteminde m müşteriye hizmet verilecekse bu sistemin bitiş zamanı, TE ; m. müşterinin hizmet alarak sistemden çıktığı zamandır. 12/30/2018

Örnek 1: Bir banka sisteminin benzetimini ele alalım. Banka sabah 900’da açılmakta ve akşam 500’ de kapanmaktadır. Bu sistemin benzetimi ile, verilen zaman aralığı için, müşteri servisinin kalitesinin tahmin edilmek isteniyor olabilir. E = {benzetim 8 saat için yapılacak } Benzetin için başlangıç koşulu; ”0” anındaki müşteri sayısıdır. 12/30/2018

Örnek 2: Bir uçak üreticisi sipariş üzerine 18 ay içerisinde 100 uçak üretmek zorundadır. Şirket, alternatif üretim modellerinden en düşük maliyetli olanına karar vermek istiyor. Araç olarak her bir üretim modeli ile 100 uçağı üretecek alternatif benzetim modelleri kurulur. Buradaki E olayı E = {100 uçağın üretimi} ve TE zamanı da 100. uçağın üretildiği an olur. 12/30/2018

Örnek3: Bir günde 16 saat (2 vardiya) çalışan bir üretim sistemini dikkate alalım. 16 saat sonunda kalan işler bir sonraki gün kalındığı yerden devam edilerek işlenmektedir. Bu sistemin benzetimi, bir bitişli benzetim olarak dikkate alınabilir mi? E = {16 saatlik üretim} Alınamaz. Çünkü, bu üretim sistemi gerçekte sürekli bir sistemdir. Bir gün için bitiş koşulları bir sonraki gün için başlangıç koşulları olacaktır. 12/30/2018

Örnek 4: Bir ürün satan bir işletme, 120 aylık bir süre içinde aylık stok politikasını belirlemek istiyor olsun. Başlangıç stok düzeyi verildiğinde amaç; aylık beklenen maliyeti enküçük yapacak aylık sipariş miktarını belirlemektir. Bu durumda ; E = { 120 ay için sistemi izlemek } Benzetim , mevcut stok düzeyi ile başlatılır. 12/30/2018

Bitişli olmayan benzetim: İstenilen performans ölçütlerinin tahminini, benzetim zamanının istatistiksel olarak yeterli uzunluğa ulaştığı (sonsuza) durum için tahmin eder. Benzetim çalışma süresini belirleyecek herhangi bir E olayı yoktur. Bu tür benzetim için performans ölçütü , “denge durumu parametresi” olarak adlandırılır. Eğer bu parametre ; y1,y2,,,, stokastik çıktı prosesinin bir karakteristiği ise denge durumu parametresinden söz edilir 12/30/2018

1.durum: Y rassal değişkeni denge durumu dağılımına sahip ise benzetim =E(y) denge durumu ortalamsının tahmini ile ilgilenir. Örnek 5: Bir işletmede yeni bir üretim sistemi kuruluyor olsun. İşletme, işçiler yeni sisteme alıştıktan, işlerini öğrendikten ve mekanik zorluklar ortadan kalktıktan sonra bu sistem için (denge durumunda) bir saatlik ortalama çıktısını belirlemek istiyor. 12/30/2018

Bu sistemle ilgili kabuller Üretim sistemi günde 16 saat, haftada 5 gün çalışmaktadır , Vardiya sonunda ya da başında üretim kaybı ihmal edilmektedir. Günün belirli zamanlarında üretimi kesen bir ara (öğle yemeği gibi) yoktur. Hafta sonu ve 16 saatlik vardiya dışındaki boş zaman (8 saatlik boş zaman) ihmal edilerek sistemin 16 saatlik benzetimi yapılabilir. 12/30/2018

Ni: i. Saatte üretilen parçaların sayısı olsun. N1, N2,… Ni: i. Saatte üretilen parçaların sayısı olsun . N1, N2,….. stokastik prosesi, ilgilenilen N rassal değişkeni ile denge durumu dağılımına sahipse,  =E(N) ortalamanın tahmini ile ilgileniriz. Bir çok gerçek sistem için stokastik proses , denge durumu dağılımına sahip değildir. Çünkü, sistemin karakteristikleri zaman içinde sürekli olarak değişir. Örneğin; bir üretim sisteminde; üretim çizelgeleme kuralları ve fabrika yerleşimi (yani; makinların sayısı ve yerleşimi) zamanla değişebilir. Diğer taraftan, gerçeğin bir özet gösterimi olan benzetim modeli denge durumu dağılımlarına sahip olabilir. Çünkü modelin karakteristiklerinin zaman içinde değişmediği kabul edilir. 12/30/2018

E = {sistem normal duruma gelinceye kadar benzetim} Örnek 5’te işletme; başlangıçtan normal duruma (yani işçiler işlerini öğrenip mekanik problemlerin ortadan kalktığı durum) gelinceye kadar geçen süreyi bilmek isterse, benzetim sonlu bir benzetimdir. Çünkü, benzetimi bitiren bir E olayı vardır. E = {sistem normal duruma gelinceye kadar benzetim} Bu örneklerden görüldüğü gibi bir sistem için benzetim; benzetim çalışmasının amaçlarına bağlı olarak bitişli veya bitişli olmayan benzetim olabilir. 12/30/2018

YIc; i. Çevrimde tanımlanan bir rassal değişken olsun. Denge durumu dağılımına sahip olmayan bir sonsuz benzetim için y1, y2,,,, stokastik prosesini dikkate alalım . Zaman eksenini eşit uzunlukta , çevrim olarak adlandırılan , ardışık zaman aralıklarına böldüğümüzü kabul edelim. Örneğin ; bir üretim sisteminde bir çevrim 8 saatlik bir vardiyanın çalışma zamanı olabilir. YIc; i. Çevrimde tanımlanan bir rassal değişken olsun. Benzetim denemeleri sonucunda Y1c, y2c, ….. Prosesi elde edilir. 12/30/2018

2.durum y1c, y2c,….. C boyutunda bir çevrim prosesinin bir denge durumu dağılımına (Fc) sahip olduğunu kabul edelim. Yc~ Fc . Bu durumda performans ölçütü “denge durumu çevrim parametresi” olarak adlandırılır. c = E(yc) Bir denge durumu çevrim parametresi , y1c, y2c,… çevrim prosesinin denge durumu parametresidir. 12/30/2018

3.durum: Bitişli olmayan benzetim için y1, y2, y3, ….. stokastik prosesin denge durumuna sahip olmadığını kabul edelim. Aynı zamanda uygun bir çevrim tanımlaması olmasın. Yani y1c, y2c,… prosesinin bir denge durumuna sahip bir çevrim tanımlaması olmasın. Bu durum, modelin parametreleri zaman içinde değiştiğinde söz konusudur. 12/30/2018

Örnek Bir telefon şirketinde telefon aramalarının varış oranı haftadan haftaya, yıldan yıla değişiyorsa, denge durumu parametreleri tanımlanamayacaktır. Bu durumda , girdi parametrelerinin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlayan bir veri mevcut değildir. Benzetimi bitirecek bir E olayı vardır. Sonlu benzetim için kullanılan analiz teknikleri , bu tür sistemlerin benzetim çıktılarının analizinde kullanılabilir. 12/30/2018

Örnek 7: Mikrobilgisayarlar için bir montaj hattından ve bir test alanından oluşan bir üretim sistemini dikkate alalım. Her hafta üretilecek bilgisayarların sayısını ve tiplerini tanımlayan 3’er aylık çizelgenin mevcut olduğunu kabul edelim. Bu çizelge, yeni bilgisayarların pazara girmesi ve satışlardaki değişikliklerden dolayı haftadan haftaya değişmektedir. Böyle bir durumda, haftalık ya da aylık çıktılar denge durumu dağılımına sahip olmayacaktır. Her hafta için gerçek ortalama çıktıyı tahmin etmek üzere uzunluğu 3 ay olan sonlu benzetim kullanılır. 12/30/2018

BİTİŞLİ BİR SİSTEM İÇİN ÇIKTI ANALİZİ Bitişli bir sistemin sonlu benzetimi için n bağımsız tekrarlama yaptığımızı varsayalım. Her tekrarlama bir E olayı ile bitirilmekte ve aynı başlangıç koşulu ile başlamaktadır. Tekrarlamaların bağımsızlığı, her tekrarlamada farklı başlangıç değerleri kullanarak sağlanmaktadır. Benzetim çalışmasında bir performans ölçütü ile ilgilenildiğini kabul edelim. J=1,2,3, .... ,n için Xj ; j. Tekrarlamadaki bir rasal değişken (çıktı) olsun. 12/30/2018

j. tekrarlamadaki ortalama beklemedir. N; müşteri sayısıdır. Xj’ler bağımsız özdeş dağılıma sahip rassal değişkenlerdir. M/M/1 kuyruk sistemi için ; j. tekrarlamadaki ortalama beklemedir. N; müşteri sayısıdır. 12/30/2018

Ortalama Tahmini : X; bir benzetim tekrarlamasında tanımlanan rassal değişken olmak üzere; =E(x) ortalama için bir nokta tahminini ve güven aralığını elde edelim. Benzetimin n bağımsız tekrarlamasını yap. x1,x2,....,xn ; bağımsız özdeş dağılmış rassal değişken olsun. Xj: j. tekrarlamasda elde edilen tahmin. Bu durumda ; 12/30/2018

12/30/2018

Örnek : M/M/1 kuyruk sistemi benzetim modelinin 10 deneme (tekrar) sonuçları aşağıda verilmektedir. Bir gün sonunda bir müşterinin ortalama bekleme zamanını tahmin ederek %90 güvenlik düzeyinde güven aralığını elde edin. 12/30/2018

12/30/2018

Örnek: Bir stok sisteminde, 120 aylık planlanan aralıkta beklenen ortalama maliyet için nokta tahmini ve %90 güvenlik düzeyinde güven aralığı oluşturulmak isteniyor. Bunun için 10 bağımsız deneme tekrarı yapılmış ve aşağıdaki maliyetler elde edilmiştir. 12/30/2018

12/30/2018

Belirli Bir Hassaslığın Elde Edilmesi ( Law & Kelton ,1991) n tekrarlamaya dayalı bu metodun bir dezavantajı analistin güven aralığının yarı uzunluğu [ya da ortalamanın hassalığını] kontrol edememesidir. Sabit n değeri için, yarı uzunluk . 12/30/2018

Xj ‘in tahminindeki hatayı ölçmek için 2 yol vardır. Mutlak Hata : ise , ort(x)’in mutlak hatasının  kadar olduğu söylenebilir. 1- güvenlik düzeyinde güven aralığının yarı uzunluğu nun ’ya eşit ya da daha küçük oluncaya kadar tekrarlama yapılırsa; 12/30/2018

Bu durumda, yaklaşık 1-α olasılığı ile , en fazla β kadar mutlak hataya sahip olacaktır (diğer bir anlatımla, %90 güvenlik düzyinde 100 bağımsız güven aralığı oluşturduğumuızda, 100 güven aralığının 90’ında en fazla β kadar mutlak hataya sahip olacaktır. Yaklaşık 10 güven aralığında mutlak hata β’dan büyük olacaktır). 12/30/2018

şartını sağlayan en küçük i değeri olarak alınabilir. n tekrarlamaya dayalı olarak μ için bir güven aralığı oluşturduğumuzu kabul edelim. Tahmin edilen yığın varyansı s2’nin tekrarlama sayısı arttıkça değişmeyeceğini kabul edersek, β mutlak hatayı elde etmek için istenilen toplam tekrarlama sayısı n*a(β) ; (1) şartını sağlayan en küçük i değeri olarak alınabilir. 12/30/2018

şartını sağlayıncaya kadar i’ yi birer birer artırmaktır. Diğer bir yol ise; şartını sağlayıncaya kadar i’ yi birer birer artırmaktır. 12/30/2018

Örnek: 12/30/2018

12/30/2018

Göreli hassasiyet 12/30/2018

Örnek: 5 12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

DENGE DURUMU PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL ANALİZ Bitişli Olmayan Sistemler Başlangıç Yanlılığı Etkisini Azaltmmak İçin Metodlar Benzetime denge durumu koşulunu gösteren bir başlangış koşulu ile başlamak Benzetim modelini başlangıç yanlılığının etkisini ortadan kaldıracak kadar uzun çalıştırmak. Başlangıç periyodunu tahmin etmek ve bu periyotta kaydedilen gözlemleri sildikten sonra denge durumu parametresini tahmin etmek. 12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

Denge Durumu Parametrsini Tahmin Etmek İçin Metotlar Literatürde 5 metot vardır. Tekrarlama / silme metodu (Replication / Deletion) Küme Ortalamaları Metodu Regenerative Metod Otoregressive Metod Standartlaştırılmış Zaman Serileri Metodu. 12/30/2018

1. Tekrarlama Silme Metodu 12/30/2018

12/30/2018

Örnek : Varış oranı saatte 10 müşteri ve ortalama servis zamanının 0.08 saat olduğu M/M/1 kuyruk sisteminde denge durumunda sistemde bekleyen ortalama müşteri sayısı tahmin edilmek isteniyor. sistemin benzetimi 500 saat için yapılacaktır. 12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

Küme Ortalamaları (Batch-Means) Metodu Tekrarlama / silme metodunun bir dezavantajı ; her tekrarlamada başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için L adet verinin silinmesidir. Bu durumda ise harcanan bilgisayar zamanı artmaktadır. 12/30/2018

12/30/2018

Denge durumu parametresi bu kümeler kullanılarak tahmin edilir. Küme ortalamaları metodunda , n adet tekrarlama yapmak yerine benzetim modeli bir kere çok uzun çalıştırılarak başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için l adet gözlem silindikten sonra geri kalan gözlemler kümelere bölünür. Denge durumu parametresi bu kümeler kullanılarak tahmin edilir. 12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

Birden Fazla Performans Ölçüsü 12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018

12/30/2018