TAHMİN (ÖNGÖRÜ) İÇERİĞİ Tahmin Kavramı Tahmin İlkeleri Tahmin Dönemleri Tahmin yöntemleri Sayısal olmayan yöntemler Sayısal yöntemler Tahmin süreci Nedensel modeller Zaman serisi modelleri Tahminin doğruluk derecesinin belirlenmesi 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tahmin Genel Tahmin Tahmin geleceğe ilişkin öngörüde bulunmaktır. Tahmin (Talep)  Planlama  Üretim Süreci Yanlış Tahmin Yüksek Maliyet Tahmin İlkeleri Tahmin mükemmel değildir Değişken sayısının fazlalığı Değişkenlerdeki değişkenlik Öngörülemeyenler Tahmin dönemi uzadıkça değişken sayısı artar, belirsizlik artar Hata vardır, hatanın derecesi belirlenmelidir. İşlemler konusundan bahset 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Dönemlere Göre Tahminler Uzun Dönemli (2-10 yıl) Üretilecek Ürün ve hizmet Kullanılacak teknoloji ve süreç Kapasite düzeyi Kuruluş yeri seçimi Orta Vadeli (1-24 ay) İşgücü büyüklüğü Stok Düzeyi Fazla mesai Optimal üretim Parti büyüklükleri Kısa Vadeli (1-8 hafta) Siparişlerin makinelere tahsisi İşgücünün makinelere veya siparişlere tahsisi Siparişlerin işlem göre sıraları Zaman 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tahmin Türleri Ekonomik Tahminler Teknolojik Tahminler Enflasyon oranları, para arzı, işletme sayısı, döviz kuru vb. Ekonomik Tahminler Teknolojik Tahminler Üretim, kapasite ve üretim programlamasında girdi Finans, pazarlama ve personel planlamasında veri Talep Tahminleri 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tahmin Süreci (Aşamaları) Dönem Yöntem Verilerin Toplanması Tahmin Modelinin Oluşturulması ve Çözümü Modelin Uygunluğunun Test Edilmesi Model Uygun mu? H E 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Sayısal Olmayan Yöntemler Tahmin Yöntemleri Sayısal Olmayan Yöntemler Görüş Toplama Tekniği Delphi Yöntemi (Beyin Fırtınası) Nominal Grup Tekniği Pazar Araştırması Yöntemi Tarihi Analog Yöntemi Sayısal Yöntemler Zaman Serisi Yöntemleri Düzgünleştirme Yöntemleri (Ortalamayı Esas Alan) Hareketli Ortalama /Ağırlıklı Hareketli Ortalama Üstel Düzeltme Yöntemi ve Türevleri Nedensel Yöntemler Regresyon Korelasyon (??) 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Sayısal Olmayan Yöntemler Kullanım Alanları Sayısal Veri Olmadığında Sayısal Verilerin güvenilir Olmadığı Durumda (eksik veri vb. nedenlerle) Geçmiş sayısal Verilerin Gelecekte Devam Edeceği Beklentisi Olmadığında Sayısal Analiz Sonrası Tecrübe ve Deneyimlere dayalı Değerlendirmelerde 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Sayısal Olmayan Yöntemler Görüş Toplama Tekniği Mevcut / potansiyel müşterilerden bilgi alma Yöneticilerden görüş alma Maliyetli Subjektif Delphi Tekniği Uzman grubun görüş birliğinin sağlanması Görüşlerin yazılı olması Fiziksel uzaklık Teknolojik tahmin Nominal Grup Tekniği Uzman grup görüşü Tartışma ortamı Lider olması Pazar Araştırması Anket ve sorulara dayalı Mevcut ve potansiyel müşterilerden bilgi alma Talebi ve talep değişimini belirleme güvenilir değil Tarihi Analog Yöntemi Benzer ürünlerin geçmiş verileri Dizüstü bilgisayar için masaüstü bilgisayar satışları 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

SAYISAL TAHMİN YÖNTEMLERİ Nedensel Regresyon Analizi Zaman Serisi Analizi

Regresyon Analizi Nedensel Regresyon Modeli 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Regresyon Analizi Basit doğrusal regresyon analizinde bir değişkenin (rastsal olan veya rastsal olmayıp matematiksel olabilen değişkenin) verilen değeri yardımıyla diğer değişkenin değerinin hesaplanmasına veya kestirimine yarayan eşitliğin belirlenmesini sağlar. Bu değişkenlerden biri (bağımlı olanı) rastsal değişken, diğeri (bağımsız olanı) ise matematiksel değişkendir. Kestirimi yapılan eşitlik bir doğruyu gösterir. Doğrunun kestirimi gözlem değerleri ile sağlanır. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Regresyon Analizi Anlamı: Regresyon ortalamaya yaklaşma, ortalamaya dönüş anlamındadır. Şekilden anlaşılacağı üzere, regresyon doğrusuyla elde edilen tahmin, bağımlı değişkenin olasılık dağılımının ortalamasına eşittir. y( Satışlar) X (Reklam Har.) X1 X2 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Regresyon Türleri Değişken Sayısına Göre Yapısına Göre Tekli Regresyon Tek bir açıklayıcı değişken Çoklu Regresyon Birden fazla açıklayıcı değişken Değişken Sayısına Göre Doğrusal Regresyon Bağımlı değişkendeki değişimin aynı oranda artması /azalması Doğrusal Olmayan Regresyon Bağımlı değişkendeki değişimin aynı oranda artmaması/azalmaması Bazı doğrusal olmayan modeller doğrusal yapıya dönüştürülerek çözülür. Modelin hangi yapıya uygun olduğunu belirlemede serpme diyagramlarından yararlanılır. Yapısına Göre 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tekli Doğrusal Regresyon Analizi Y= α + β1 X ± Ɛ (deterministik) (stokastik/olasılığa dayalı) Veya bazen Y= β0 + β1 X ± Ɛ Model anakütleye ilişkin oluşturulurken, analizler örneklemeye dayalı olarak yapılır. Örneklem y=a+bx ± e şeklinde gösterilir. y: açıklanan değişken x: Açıklayıcı değişken a ve b: Belirlenmeye çalışılan sabit katsayılardır. e: Modelde dikkate alınamayan tüm bileşenleri içerir. - Dahil edilmeyen değişkenler - Eksik veriler - Yanlış modelleme 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

En Küçük Kareler Yöntemi –EKK (Least Squared Error_LSE) Gözlem değerleri arasındaki ilişkiyi yansıtacak en iyi doğrunun belirlenmesi ve modelin oluşturulması için a ve b parametrelerinin bilinmesi gerekir. a ve b parametrelerinin bulunması için EKK yöntemi kullanılır. Buradaki amaç en küçük hatayı veren doğruyu bulmaktır. Bu doğru aşağıdaki özellikleri taşır: Tüm dikey sapmaların (hataların) toplamı sıfıra eşittir. Tüm dikey sapmaların karelerinin toplamı minimizey1 edilmiştir. y3 y= a+bx Satışlar y1 ^y2 y4 y1^ y2 Reklam Harcamaları 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

En Küçük Kareler Yöntemi –EKK (Least Squared Error_LSE) Buna göre regresyon fonksiyonun a ve b’ye göre kısmi türev alındığında a ve b parametrelerinin formülü bulunur. Bu formüller ile bulunan a ve b parametreleri anakütle regresyon doğrusundaki α (β0) ve β1 parametrelerinin kestirim değeridir. EKK yöntemi ile elde edilen a ve b kestirim değerleri sistematik hata içermeyen (tarafsız) kestiricileridir. Diğer bir deyişle, E(a)= β0 ve E(b)= β1 olur. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Regresyon Örneği Yıllar X (Reklam Satışları) y (Satışlar) xy 2002 18 13000 234000 324 2003 15 12000 180000 225 2004 12 11000 132000 144 2005 10 10000 100000 100 2006 20 14000 280000 400 2007 28 16000 448000 784 2008 35 19000 665000 1225 2009 30 17000 510000 900 2010 260000 2011 25 ? 625 Toplam 188 125000 2809000 4502 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Modelin Yorumlanması a parametresi, X değeri 0 olduğunda Y’nin alacağı değeri gösterir. Örneğimizde hiç reklam harcaması olmasa bile satışlar 6703 birim olacak. b parametresi (regresyon katsayısı), X’de bir birim değişme olduğunda Y’de meydana gelen değişmeyi gösterir. Reklam harcamalarındaki 1 TL’lik artış, satışlarda 344 birim artış sağlayacaktır. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Modelin Tahmin Hatasının Belirlenmesi Tahminin Std. Hatası Hata değerinin (e ) değişkenin standart hatasıdır ve regresyon doğrusu etrafındaki dağılımın bir ölçüsüdür. Ölçü birimlerine duyarlı (kg/ton) Kullanım Alanları Model karşılaştırması Tahmin aralığı Bu formülde yer alan (n-2) değeri ei lerin hesaplanışında birer istatistik olan a ve b değerlerine karşılık bir serbestlik derecesi kaybedileceğinden s.d. N-2 olur. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Aralık Tahminleri Örneklemden elde edilen bilgilerle bulunan a, b ve değerlerinin her biri birer nokta kestirimidir. Bu nokta kestirimleri ve kestirimlerin standart hataları yardımıyla anakütle regresyon doğrusundaki β0, β1, Y ve μy değişkenin değerleri için aralık kestirimi yapılabilir. Anakütle regresyon doğrusunun eğimi için aralık kestirimi Anakütle regresyon doğrusunun kesişimi için aralık kestirimi Verilen X değerine karşılık gelen Y değerinin güven aralığı Verilen X değerine karşılık gelen ortalama Y değerinin güven aralığı 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Determinasyon Katsayısı Bağımlı değişkendeki değişkenliğin bir kısmı bağımsız değişken (regresyon) tarafından açıklanırken bir kısmı da kalıntı değişkeni (hata terimi) tarafından açıklanmaktadır. Determinasyon katsayısı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişken tarafından açıklanabilir kısmını ifade eder. r2= 0,85 bağımlı değişkendeki değişimin 0,85’nin bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösterir. 0 ≤ r2 ≤ 1 dir. R2 nin yetersiz olduğu durumlar Doğrunun eğimindeki büyüklüğü ölçümlemez, Büyük r2 daha iyi model olduğu anlamına gelmez Büyük r2 modelin uygunluğu için gerekli ancak yeterli değildir. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Regresyonda Tuzaklar Regresyon modelleri bazen yanıltıcı olabilir. Aynı R2 ve ANOVA tablosunun altında çok farklı bilgiler olabilir ve bunlar basit grafiklerle ortaya çıkabilir. Grafiklerden problemin doğrusal değil, kuadratik regresyon olarak tanımlanması, uç değerlerin varlığı durumunda modelin geçerliliğinin kaybettiği görülebilir. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Zaman Serisi Analizi Düzey (Ortalama) Belirleme Trend Analizi Mevsimsellik analizi Konjüktürel Analiz 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Zaman Serileri Analizi Talebin zaman içindeki değişim yapısını ortaya koymak Gerekli Koşul Geçmişteki yapının gelecekte de devam edeceği varsayılır Kısıtlılık Temel kısıtlılığı geçmişteki hataların birbirinden bağımsız olduğu varsayımı ihlal edilmekte

Zaman Serisi Bileşenleri Trend Uzun Dönemli (yıllık) talep artışları/azalışları yansıtır ve göreceli yavaştır Bilgisayarlara olan talep sürekli artış eğiliminde Doğrusal ve trendeki değişimin ve hızın farklı olması sonucu doğrusal olmayan trend sözkonusu olabilir. Mevsimsel bileşen Düzenli-kısa dönemli değişmeler Doğal ve sosyo-ekonomik nedenlerle ortaya çıkar Mevsimsellik dalgalanmaların dalga boyu aynı kalır. Örnek: Oteller, havayolları işletmeleri Mevsimsellik aylık, günlük, saatlik şeklinde olabilir Özellikle hizmet işletmelerinde tatil dönemlerini dikkate alan takvim etkisi de belirlenmeli Konjüktürel (Döngüsel) Değişim 1 yıldan daha uzun süreli değişimler Ekonomik, politik, tarımsal faktörlerin etkisi altında Konjüktürel dalgalanmaların periyodu sabit değildir yani dalga uzunlukları eşit değildir. Örnek: 2008 krizi Rastsal Değişim Tüm faktörler dikkate alınsa bile ortaya çıkan değişimler Rastsal değişim gözardı edilerek diğer bileşenlerin varlığı test edilir. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Düzey Belirlemeye Yönelik Zaman Serisi Trend analizi Zaman Serisi Modelleri Düzey Belirlemeye Yönelik Zaman Serisi Trend analizi Mevsimsellik Analizi Trend ve mevsimsellik içeren analiz Zaman Serisi Regresyon Modelleri Trend Bazlı Regresyon Analizi Mevsimsellik İçeren Regresyon Analizi Zaman Serisi Modelleri Nedensel Modeller Yt=f (Yt-1, Yt-2, Yt-3…Tt-i) Yt= f(X1 X2,X3…Xt) Yt , kendi gecikmeli değerlerin bir fonksiyonu Yt, dönemlerin bir fonksiyonu (kendi gecikmeli değerleri bağımsız değişken) (dönemler bağımsız değişken) Her iki yöntemde de geçmişteki ilişkiler sabit kalmaktadır.

Zaman Serisi Analizinin Bileşenlerine Göre Sınıflandırılması Düzeyi (Ortalamayı) Esas Yöntemler Hareketli Ortalama (H.O ) Basit H.O Ağırlıklı H.O. Merkezi H.O. Üstel Düzgünleştirme (Ü.D) Basit Ü.D. Trend Etkisinin Belirlenmesi Doğrusal Trend Yöntemleri Reg. Dayalı trend Holt’un İki Parametreli Ü.D. Kukla Dğş. Reg. Doğrusal Olmayan Trend Yöntemleri Doğrusal Hale Dönüştürme Holt’un Üçlü Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Mevsimsellik Etkisini Belirleme Holt-Winters Üçlü Ü.D. Yöntemi Kukla Değişkenli Reg. Analizi Mevsimsellik indeksine dayalı

Zaman Serisi Analizinin Yöntemlerine Göre Sınıflandırılması Hareketli Ortalama (H.O.) Basit H.O Ağırlıklı H.O. Merkezi Ortalama Üstel Düzgünleştirme (Ü.D.) Basit Ü.D Düzey (ortalama) Trend İçeren Ü.D Mevsimsellik İçeren Ü. D. Ayrıştırma Analizi Düzey Belirleme Trend belirleme Mevsimselliği belirleme Konjüktürü belirleme Çarpımsal ve toplamsal yapı Regresyon Analizi Trend İçeren regresyon analizi Mevsimsellik İçeren Reg. Analizi (Kukla değişkenli regresyon analizi)

Hareketli Ortalama Yöntemleri Zaman Serileri Analizi Hareketli Ortalama Yöntemleri Basit Hareketli Ortalama Ağırlıklı Hareketli Ortalama Merkezi Hareketli Ortalama

Basit Hareketli Ortalama Yöntemi (Moving Averages) Kullanımı Talep daha önceki dönemlerin etkisi altındaysa Parametre n: Dönem Sayısı Talep değişkense n azaltılır +: Kısa dönemli talep değişimlerinin gözlenebilmesi -: Kısa dönemli talep değişimlerinin rastsal değişimle karşılaştırılması Talep düzenliyse n artırılır +: genel görünüme ilişkin bilgi edinebilme -: Kısa dönemli talep değişiklerinin gözden kaçırılması Formülü Değerlendirilmesi Avantajları Hesaplaması ve anlaşılması kolay Kısıtlılıkları Fazla veri gerektirmesi Her döneme eşit ağırlık verilmesi Ağırlandırılmış hareketli ortalama -Subjektif Ft= Geçmiş Dönem/n

Basit Hareketli Ortalama Örneği Aylar (2010) Dönem Gerçekleşen Satışlar n=3 Tahmini Değer Ocak 1 2000   Şubat 2 1350 #YOK Mart 3 1950 Nisan 4 1975 1767 Mayıs 5 3100 1758 Haziran 6 1750 2342 Temmuz 7 1550 2275 Ağustos 8 1300 2133 Eylül 9 2200 1533 Ekim 10 2770 1683 Kasım 11 2350 2090 Aralık 12 2440 Aylar (2010) Dönem Gerçekleşen Satışlar n=5 Tahmini Değer Ocak 1 2000   Şubat 2 1350 #YOK Mart 3 1950 Nisan 4 1975 Mayıs 5 3100 Haziran 6 1750 2075 Temmuz 7 1550 2025 Ağustos 8 1300 2065 Eylül 9 2200 1935 Ekim 10 2770 1980 Kasım 11 2350 1914 Aralık 12 2034

Ağırlıklı Hareketli Ortalama (Weighted Moving Average) D* : Tahmin talep değeri Di : i. Dönemde gerçekleşen satış Wi : ağırlık katsayısı (0 ile 1 arasında) Ağırlıkların verilmesi kuralı, yakın geçmişteki verilerin tahminlemedeki etkisinin daha yüksek olmasını istiyor isek, giderek bir önceki döneme göre daha yüksek ağırlı değerleri göz önüne alınarak hesaplama yaptırılır. Ağırlıklar tecrübe ve sezgiye dayalıdır. Eski datalara verilen önem daha azdır. 29.12.2018 Prof. Dr. Tijen Ertay

Ağırlıklı Hareketli Ortalama Ağırlıklar Periyot 3 Geçen ay 2 iki ay önce 1 üç ay önce 6 ağırlıklar toplamı Gerçek 3-aylık Aylar Satışlar HO January 10 February 12 March 13 April 16 May 19 June 23 July 26 10 12 13 [(3 x 13) + (2 x 12) + (10)]/6 =16 [(3 x 16) + (2 x 13) + (12)]/6 = 141/3 [(3 x 19) + (2 x 16) + (13)]/6 = 17 [(3 x 23) + (2 x 19) + (16)]/6 = 201/2 29.12.2018 Prof. Dr. Tijen Ertay

Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar Tahmini 30 – 25 – 20 – 15 – 10 – 5 – Sales demand | | | | | | | | | | | | J F M A M J J A S O N D Mevcut Satışlar Figure 4.2 Prof. Dr. Tijen Ertay

Merkezi Hareketli Ortalama Merkezi hareketli ortalamanın basit hareketli ortalamadan farkı, kullanılan gözlemlerin seçimindedir. Basit hareketli ortalamada hep geçmiş dönemlere ait veriler kullanılırken, merkezi hareketli ortalamada hem geçmiş hem de gelecek dönemlere ait veriler kullanılır. Örneğin, dönem sayısı 5 iken, merkezsel hareketli ortalama değeri bulunmak isteniyorsa iki dönem önceki, iki dönem sonraki ve o dönemdeki verilerin ortalaması alınmaktadır. 𝐹𝑡= 𝑌 𝑡−2 + 𝑌 𝑡−1 +𝑌 𝑡 +𝑌 𝑡+2 𝑌 𝑡+2 5

Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri Basit Üstel Düzeltme Holt’un Trend Üstel Düzeltme (İkili Üstel Düzeltme) Holt - Winter Mevsimsellik Üstel Düzeltme

Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri Geçmişteki verilere giderek azalan oranda farklı ağırlık verilmesi Bu yöntemlerde sabit parametre tanımları gereklidir. 0 ile 1 arasında değişen bu parametre değerleri geçmiş verilere verilecek ağırlıkların etkisini gösterir.

Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Bu yöntemde önceki veriler üstel ağırlıklandırılmış hareketli ortalamalar kullanılarak hesaplanır. Azalan veya artan trend olmadığında uygundur Bu yöntemde amaç şu andaki düzeyi belirleyerek geleceğe ilişkin tahmin yapmaktır. This is an obvious extension the moving average method. With simple moving average forecasts the mean of the past k observations used as a forecast have equal eights (1/k) for all k data points. With exponential smoothing the idea is that the most recent observations will usually provide the best guide as to the future, so we want a weighting scheme that has decreasing weights as the observations get older

Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Formül, Ft bileşenleriyle beraber aşağıdaki şekilde gösterilirse daha iyi anlaşılır. Ft-1 , Ft-2 bileşenleri olarak gösterilirse formül aşağıdaki şekle dönüşür.

Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Aşağıdaki tablo  = 0.2, 0.4, 0.6için verilmiş ağırlıkları göstermektedir.

Basit Üstel Düzgünleştirme Kullanımı Talep daha çok son dönemin etkisi altındaysa Daha az veriye ihtiyaç duyması Üstel fonksiyona benziyor Parametre α: Düzeltme katsayısı Talep değişkense α artırılır Düzgünleştirme fazla Düşük n ile aynı etkiye sahip Talep düzgünse α azaltılır Düzgünleştirme az Yüksek n ile aynı etkiye sahip 0<α<1 Formülü Geçmiş verilere verilen ağırlıklar gittikçe azalan bir yapıya sahiptir. Yorumu α 0,20 demek gelecek dönemdeki talebin %20 si son dönemden, %80 si diğer geçmiş verilerden etkileniyor demektir.

Üstel Düzgünleştirme Örneği Aylar (2010) Dönem Gerçekleşen Satışlar α=0,1 α=0,5 α=0,9 Ocak 1 2000 #YOK Şubat 2 1350 Mart 3 1950 1935 1675 1415 Nisan 4 1975 1937 1813 1897 Mayıs 5 3100 1940 1894 1967 Haziran 6 1750 2056 2497 2987 Temmuz 7 1550 2026 2123 1874 Ağustos 8 1300 1978 1837 1582 Eylül 9 2200 1910 1568 1328 Ekim 10 2775 1939 1884 2113 Kasım 11 2350 2023 2330 2709 Aralık 12   2340 2386 α=0,5 Üstel Düzgünleştirme

Tahmin Hatasına Dayalı Model Seçimi Aylar (2010) Dönem Gerçekleşen Satışlar n=3 n=5 Tahmini Değer Hata Mutlak Hata Hata Karesi Ocak 1 2000   Şubat 2 1350 #YOK Mart 3 1950 Nisan 4 1975 1767 208 43403 Mayıs 5 3100 1758 1342 1800069 Haziran 6 1750 2342 -592 592 350069 2075 -325 325 105625 Temmuz 7 1550 2275 -725 725 525625 2025 -475 475 225625 Ağustos 8 1300 2133 -833 833 694444 2065 -765 765 585225 Eylül 9 2200 1533 667 444444 1935 265 70225 Ekim 10 2770 1683 1087 1180844 1980 790 624100 Kasım 11 2350 2090 260 67600 1914 436 190096 Aralık 12 2440 2034 Toplam 1413 5713 5106500 -74 3056 1800896 Ortalama 177 714 638313 -12 509 300149

Tahmin Hatasına Dayalı Model Seçimi Aylar (2010) Dönem Gerçekleşen Satışlar α=0,1 α=0,5 α=0,9 Tahmini Değer Hata Mutlak Hata Hata Karesi Ocak 1 2000 #YOK   Şubat 2 1350 -650 650 422500 Mart 3 1950 1935 15 225 1675 275 75625 1415 535 286225 Nisan 4 1975 1937 39 1482 1813 163 26406 1897 79 6162 Mayıs 5 3100 1940 1160 1344788 1894 1206 1455039 1967 1133 1283349 Haziran 6 1750 2056 -306 306 93829 2497 -747 747 557822 2987 -1237 1237 1529464 Temmuz 7 1550 2026 -476 476 226275 2123 -573 573 328831 1874 -324 324 104763 Ağustos 8 1300 1978 -678 678 459840 1837 -537 537 288067 1582 -282 282 79731 Eylül 9 2200 1910 290 83924 1568 632 398970 1328 872 759971 Ekim 10 2775 1939 836 698439 1884 891 793561 2113 662 438477 Kasım 11 2350 2023 327 107030 2330 20 417 2709 -359 359 128725 Aralık 12 2340 2386 Toplam 556 4776 3438332 680 5694 4347237 429 6132 5039368 Ortalama 56 478 343833 68 569 434724 43 613 503937

Holt’un İkili Trend Üstel Düzgünleştirme

Holt’un İkili Trend Üstel Düzeltme Yöntemi Ft=Lt-1+Tt-1 Daha sonraki dönemler için bu yöntemde üç eşitlik ve iki parametre kullanılır. Üstel düzgünleştirilmiş son dönem düzey tahmini: Trend tahmini: M dönem sonrası için tahmin: Lt = t döneminde düzey tahmini  = düzeltme katsayısı (parametresi). yt = t dönemindeki gözlem değeri  = trend tahmini için düzgünleştirme katsayısı bt = t dönemindeki serinin tahmini trend değeri m = gelecekte tahmin edilecek dönem.

Holt’un İkili Trend Üstel Düzeltme Yöntemi Bu yöntemde algoritmayı başlatmak için iki tahmin değerinin belirlenmesi gerekir: Birincisi, düzgünleştirilmiş L1 değeri İkincisi, Trend b1 değeri Bunun için; L1 = y1 ve b1= y2-y1 veya L1=y1 ve b1=0 veya regresyon analizi ile y=a+bx a= düzey değeri, b=trend değeri  ve  ağırlıkları ortalama hata karelerini minimize edecek veya subjektif olarak belirlenen parametreler Büyük ağırlıklar bileşene daha hızlı tepki verilmesini sağlarken, küçük ağırlıklar bileşene daha az tepki verilmesini sağlar

Örnek

Örnek Trend etkisi olduğu için iki başlangıç değerinin belirlenmesi gerekir: Düzgünleştirilmiş ilk düzey değeri, L1 Başlangıç trend değeri, b1. İlk gözlemlenen değer L1 olarak ve başlangıç trend değeri b1 = 0 olarak belirlenebilir  = .3 ve =.1 olduğu varsayılsın.

L2= 0,3*350+0,70*500=455

Tahmin-Gerçekleşen Grafiği

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Üstel düzeltme yönteminin uzantısı. Trend ve mevsimsellik içeren veriler için uygulanabilir. Holt yönteminin uzantısı olarak üç düzeltme parametresine sahip. Ek bir denklem eklenerek mevsimselliğe göre düzeltme (düzgünleştirme) sağlanır.

Çarpımsal ve Toplamsal Model Toplamsal Model: Veriler trenden bağımsız ve mevsimsel hareketlerin büyüklüğü zaman içinde sabit varsayılır Çarpımsal Model: Mevsimsel hareketlerin trende bağlı olarak değiştiği ve trendin bir çarpanı olduğu varsayılmaktadır. Genellikle çarpımsal model tercih edilmektedir. Çarpımsal basit bir logaritmik dönüşümle gerektiğinde toplamsal hale getirilebilir. Ancak bu dönüştürme serideki tüm değerler pozitif ve sıfırdan farklı ise mümkündür.

Zaman Bileşenlerinin Farklı Yapıları

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Winter’s çarpımsal modelinin bileşenleri için gerekli olan üç eşitlik : Üstel düzgünleştirilmiş seriler için: Trend tahmini için: Mevsimsellik tahmini için:

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Bu durumda m dönemi için tahmin: Lt = Serinin düzeyi.  = veri için düzgünleştirme katsayısı. yt = t dönemindeki yeni veya gözlemlenmiş değer  = trend tahmini için düzgünleştirme katsayısı. bt = trend tahmini.  = mevsimsellik tahmini için düzgünleştirme katsayısı. St =mevsimsellik bileşenin tahmini. m = tahmin edilecek gelecek dönem. s = mevsimselliğin uzunluğu (mevsimsellikteki dönem sayısı) = gelecekteki m dönemi için tahmin

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Holt metodunda olduğu gibi , , ve  subjektif olarak belirlenebilir veya ortalama hata karelerini minimize edecek değerler belirlenebilir Tüm üstel düzgünleştirme yöntemlerinde olduğu gibi algoritmanın başlatılabilmesi için tüm bileşenlerin (Lt, bt , St) değerlerinin belirlenmesi gerekir.

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Mevsimsellik endeks için başlangıç değerine karar verebilmek için en az bir dönemlik (örneğin s dönem) verinin kullanılması gerekir Bu nedenle s döneminde düzey ve trend başlangıç değerleri oluşturulmalıdır. Düzeyin başlangıç değeri için: Trendin başlangıç değeri için: Mevsimsellik endeksin başlangıç değeri için:

Winter’s Üçlü Mevsimsel Düzeltme Yöntemi Örneğimizdeki şirket için  = .4,  = .1, ve  = .3 olsun.  düzgünleştirme katsayısı verideki rassallığı elimine ederek düzgünleştirmesini sağlar.  düzgünleştirme katsayısı verideki trendin düzgünleştirilmesini sağlar  düzgünleştirme katsayısı verideki mevsimselliğin düzgünleştirilmesini sağlar Düzgünleştirme serisi için Lt, trend için bt, ve mevsimsellik endeksi için St oluşturulmalıdır.

Örnek

Örnek  = 0.4, = 0.1,  = 0.3

Toplamsal Mevsimsellik Holt’s Winters’ toplamsal mevsimsellik modeli aşağıdaki denklemlerden oluşur: Ls ve bs için başlangıç değerleri çarpımsal modeldeki ile aynıdır Ancak mevsimsellik endeksinin başlangıç değerleri için aşağıdaki eşitlikler kullanılır.

Zaman Serili Regresyon Analizi 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Zaman Serili Regresyon Analizi Trend İçeren Regresyon Analizi Mevsimsellik İçeren (Gölge Değişkenli) Regresyon Analizi 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Trend Analizi Trend fonksiyonu (doğrusu) bütün değerleri hesaplama içine kattığından EKK yöntemiyle belirlenebilir. Ancak klasik regresyonda trend doğrusal bir regresyon değildir. Çünkü bağımlı değişken Y rastsal bir değişken olmayıp tarihsel bir veri birikimidir. Ayrıca, zaman serisindeki bir değer, bir dağılımda yer alan değer olmayıp bir zaman kesitinde gerçekleşmiş ve önceki zaman kesitlerinde gerçekleşen değerlere sıkıca bağımlıdır. Dolayısıyla, zaman serileri arasında bağımsızlık varsayımı geçerli değildir. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Trend Analizi Parametreleri Formülü Kullanımı Uzun dönemli artış/azalış gözlemlendiğinde Regresyon yöntemine benzer Analizde bağımsız değişken daima zamandır. Bağımsız değişken olarak bağımlı değişkenin geçmiş (gecikmiş) değerleri kullanılır. Parametreleri a: Katsayısı b: Eğim Parametreler EKK yöntemiyle belirlenir. Formülü

Doğrusal Trend Doğrusu b = a = y - b x n = dönem sayısı x = = x ortalaması y = = y ortalaması xy - nxy x2 - nx2 x n y y = a + bx a = kesişim b = doğrunun eğimi x = Dönem y = x dönemi için talep tahmini Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

En Küçük Kareler Örneği x(dönem) y(Talep) xy x2 1 73 37 1 2 40 80 4 3 41 123 9 4 37 148 16 5 45 225 25 6 50 300 36 7 43 301 49 8 47 376 64 9 56 504 81 10 52 520 100 11 55 605 121 12 54 648 144 78 557 3867 650 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

En Küçük Kareler … x = = 6.5 78 12 y = = 46.42 557 b = = =1= 1.72 a = y - bx = 46.42 - (1.72)(6.5) = 35.2 3867 - (12)(6.5)(46.42) 650 - 12(6.5)2 xy - nxy x2 - nx2 78 12 557 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

y = 35.2 + 1.72(13) = 57.56 birim Doğrusal trend doğrusu y = 35.2 + 1.72x 13. Dönem tahmini y = 35.2 + 1.72(13) = 57.56 birim 70 – 60 – 50 – 40 – 30 – 20 – 10 – 0 – | | | | | | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Gerçekleşen Talep Period Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Kukla Değişkenli Mevsimsellik Analizi Örnek: İmalat sanayinde firma karlarının (Y) bağımlı değişken, satışların (S) açıklayıcı değişken olduğu bir model 3 aylık verilerle tahmin edilecektir. Ayrıca mevsimlik etkiler için sabit kuklası kullanılacaktır: Yt = β0 + β1St + β2D2 + β3D3 + β4D4 + et Kuklalar şu şekilde tanımlanmıştır: D2: İkinci çeyrekte 1, diğerlerinde 0 değerini alır. D3: Üçüncü çeyrekte 1, diğerlerinde 0 değerini alır. D4: Dördüncü çeyrekte 1, diğerlerinde 0 değerini alır. Üçer Aylar Kar (milyon) Satışlar D2 D3 D4 2010-I 10503 114862 II 12092 123968 1 III 10834 121454 IV 12201 131917 2011-I 12245 129911 14001 140976 12213 137828 12820 145465

Kukla Değişkenli Mevsimsellik Analizi Regresyon Analizi Sonuçları Kart = b1+b2D2+b3D3+b4D4+b5(satış)t+et Bu modelde ortalama kar düzeyleri Birinci çeyrekte: β0 + β1St, İkinci çeyrekte: (β0 + β2) + β1St, Üçüncü çeyrekte: (β0 + β3) + β1St Dördüncü çeyrekte: (β0 + β4) + β1St’dir. Referans kategori birinci çeyrektir. Diğer mevsimlerin etkileri birinci çeyreğe göre tanımlanır. Değişken Katsayı Std. Hata t İstatistik P (olasılık) c 6688 1711 3,90 0,0009 D2 1322 638 2,071 0,0521 D3 -217 632 -0,344 0,7343 D4 183 654 0,281 0,7817 Satış 0,038 0,011 3,33 0,0035

Kukla Değişkenli Mevsimsellik Analizi Örneğe eğim kuklaları da ekleyelim: Kt = β0 + β1St + β2D2 + β3D3 + β4D4 + β5(D2*St) + β6(D3*St) + β7(D4*St) + et Bu modelde ortalama kar düzeyleri B irinci çeyrekte β0 + β1St, İkinci çeyrekte (β0 + β2) + (β1+ β5)St, Üçüncü çeyrekte (β0 + β3) + (β1+ β6)St Dördüncü çeyrekte (β0 + β4) + (β1+ β7)St’dir.

Trend Analizi Mevsimlik Analizi Konjüktürel Analiz AYRIŞTIRMA ANALİZİ Trend Analizi Mevsimlik Analizi Konjüktürel Analiz 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Trend Analizi Trendin varlığı, yapısı ve etkisi belirlenir Grafiksel yöntem Yarı ortalamalar yöntemi: Veri ikiye bölünür ve bu veri setinin ortalaması alınır. Bu ortalamalar bir noktayı temsil eder ve iki noktadan bir doğru geçer kuralından iki ortalama nokta birleştirilir. EKK yöntemi 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Mevsimsellik Dalgalanma ve Mevsimlik Dalgalandırmadan Arındırma Mevsimsellik dalgalanmasının belirlenebilmesi için serinin aylık veya üçer aylık olması gerekir ve genellikle hareketli ortalamaya oran yöntemi kullanılır. Aylık verilerde 12’li, üçer aylık verilerde dörtlü hareketli ortalamalar hesaplanır. Aylık verilerde hesaplanan 12’li hareketli ortalama değerleri (12+1)/2=6,5 uncu değerlere karşılık geleceğinden 12’li hareketli ortalama değerlerinin de tekrar ikili hareketli ortalamaları hesaplanarak merkezlenir. Bunun sonucu ilk hareketli ortalama değeri 7.aya karşılık gelir. Her ayın gözlenen değeri, karşılık gelen hareketli ortalama değerine bölünüp 100 ile çarpıldığında hareketli ortalamaların oranların yüzdeleri bulunmuş olur. Endeks yüzde değer olduğundan 12 ayın toplam değeri 1200 olmak zorundadır. Bundan farklı çıkması durumunda düzeltme çarpanı kullanılmalıdır. Aylık veriler için düzeltme çarpanı= 1200/(Ay ortalamaları toplamı) Üç aylık için düzeltme çarpanı=400/(Dönem ortalamaları toplamı) Gözlem değerleri mevsim endeksine bölünüp 100 ile çarpıldığında veriler mevsimlik etkiden arındırılmış olur. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Konjüktürel ve Rassal Etkinin Belirlenmesi Yıllık verilerden düzenlenmiş zaman serilerinde trend ve konjüktürel dalgalanmalar gözlemlenebilmektedir. Çünkü mevsimlik ve düzensiz dalgalanmalar kısa dönemdeki (aylık veya üçer aylık) veriler olursa gözlemlenebilirler. Dolayısıyla yıllık veriler için, Y=T*C eşitliği yazılabilir. Bu eşitlikte her iki taraf T’ye bölünürse, Y/T= T*C/C=C olur. Böylece yıllık serinin gözlenen değerleri (bulunulan trend fonksiyonundan) kestirilen değerlere bölünerek konjüktürel etki görülebilir. Burada konjüktürün değişmediği varsayımı yapılmaktadır. Ekonomide dönüm noktaları olduğunda bu durum firma üzerindeki etkisi ayrıca incelenmelidir. Eğer aylık verilerden oluşan çok uzun bir seri varsa, serinin dört bileşeni de görülebilir. Bu durumda konjüktürü bulmada önce seri değerleri T*S değerlerine bölünerek, Y/T*S=T*S*C*I / T*S =C*I bulunarak konjüktür ve düzensiz hareketler açığa çıkarılır. 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tahmin Modellerinin Değerlendirilmesi 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ

Tahmin Hatasının Belirlenmesi Tahmin Hatası= Gerçekleşen (Xt) -Tahmini Değer (Ft) Ortalama Mutlak Sapma (MAE) Ortalama Hata Karesi (MSE) U Theil Katsayısı= Hata değerlerine farklı ağırlık veriyor. Amaç Hata boyutunun belirlenmesi Yöntemlerin karşılaştırılması Rassal hatalardan kaynaklanan değişimler dışındaki tüm hatalar belirlenmeli ve düzeltilmelidir.

Tahmin Hatasının İzlenmesi 1. İzleme Sinyali: Talepteki değişimleri dikkate almak için. İzleme Sinyali= Bir tahminin gerçek değerlere ne kadar yaklaştığını gösterir. 2 ile 5 arasında olduğu sürece sorun olmadığı düşünülüyor. Tüm hata dikkate alınıyor. 2. Kontrol Şemaları Tahmin hatalarının belirli sınırlar içinde kalması istenir. Bireysel hatalar da görülebiliyor. (Xt - Ft) MAD

İzleme Sinyali 1 37 37.00 – – – 2 40 37.00 3.00 3.00 3.00 3 41 37.90 3.10 6.10 3.05 4 37 38.83 -1.83 4.27 2.64 5 45 38.28 6.72 10.99 3.66 6 50 40.29 9.69 20.68 4.87 7 43 43.20 -0.20 20.48 4.09 8 47 43.14 3.86 24.34 4.06 9 56 44.30 11.70 36.04 5.01 10 52 47.81 4.19 40.23 4.92 11 55 49.06 5.94 46.17 5.02 12 54 50.84 3.15 49.32 4.85 Talep Tahmin Hata E = Dönem (Xt) Ft Xt - Ft (Xt - Ft) MAD – 1.00 2.00 1.62 3.00 4.25 5.01 6.00 7.19 8.18 9.20 10.17 İzleme Sinyali Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

İzleme Sinyali 3 – 2 – 1 – 0 – Üstel Düzeltme Katsayısı( = 0.30) -1 – -2 – -3 – Doğrusal Trend Doğrusu İzleme Sinyali(MAD) | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Period Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

İstatistiksel Kontrol Şemaları  = (Dt - Ft)2 n - 1 Kullanılarak hata tahminin istatistiksel kontrol limitleri belirlenir. - Kontrol limitleri  3 aralığına göre oluşturulur. Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

İstatistiksel Kontrol Şemaları Hatalar 18.39 – 12.24 – 6.12 – 0 – -6.12 – -12.24 – -18.39 – | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Period UCL = +3 LCL = -3 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Tahmin Yönteminin Seçimi Tahmin Dönemi Kısa ve Orta Dönemli Tahminler Hareketli Ortalama Üstel Düzeltme Uzun Dönemli Tahminler Delphi Nedensel Modeller Verilerin Mevcudiyeti Arzulanan doğruluk derecesi Tahminin önemine ve işletmenin esnekliğine bağlı Veri toplama, analiz ve değerlendirme maliyeti Nitelikli personel Sayısal Modellerden Elde Edilen Sonuçların Sayısal olmayan Yöntemlerle Gözden Geçirilmesi

Talebin Yaşam Eğrisine Göre Yöntemler Talep Promosyonlar, Fiyatlandırma, üretim programları, stok yönetimi (ekonometrik modeller, Pazar anketleri, zaman serileri) Durağanlık Tesis genişletme, Pazar stratejileri, üretim planı (regresyon, Pazar anketleri, zaman serileri) Büyüme Ürün dizaynı, tesis büyüklüğü, dağıtım pazarlama yöntemleri (Pazar araştırması, anketler, Delphi) Gir iş ve Gelişme Zaman Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ 29.12.2018

KAYNAKÇA Prof. Dr. Üzeyme doğan Argun Karacabey, Halil Sarıaslan, Sayısal Yöntemler Sevinç Üreten, Stratejik Kararlar İsmail Hakkı Armutlulu 29.12.2018 Yrd. Doç. Dr. Ayşe YILDIZ