PASCAL ÜÇGENİ

PASCAL ÜÇGENİ(TARİHÇE) Adını ünlü Fransız matematikçi Blaise Pascal‘dan alan binom katsayılarını içeren üçgene benzeyen yapısından ötürü bu adla çağrılan ünlü bir matematiksel sayı dizisidir. Pascal’dan önce İranlı, Hindistanlı ve Çinli matematikçiler tarafından da kullanılan bu ünlü sayı dizisini bulan Ömer Hayyam‘dır. Bu nedenle Hayyam Üçgeni olarak da adlandıranlar var. Ömer Hayyam

Pascal üçgeni simetrisi ve gizli ilişkileriyle ünlüdür Pascal üçgeni simetrisi ve gizli ilişkileriyle ünlüdür. 1653'te Blaise Pascal da böyle düşünmüş olmalı ki tüm ilişkileri tek bir kağıda yazmasının mümkün olmayacağını belirtmişti. Pascal üçgeninin matematiğin pek çok konusunda tekrar tekrar karşımıza çıkıyor oluşu, ona adeta matematiksel bir kutsallık kazandırmıştır.Aslında kökleri de Pascal'dan çok öncesine dayanır. Bu üçgen 13.yüzyılda yaşamış Çinli bilginler tarafından biliniyordu. Blaise Pascal

Pascal üçgenini oluşturmaya tepesinden başlarız Pascal üçgenini oluşturmaya tepesinden başlarız. İlk satıra 1, ikinci satıra ilk 1 'in sağ ve sol altına gelecek şekilde yine 1 yazarız. Bunun altındaki tüm satırlar da her zaman 1 ile başlayıp 1 ile biter. Aradaki sayılar ise sağ ve sol üstlerindeki iki sayının toplamıdır. Örneğin 5. satırdaki 6'yı elde etmek için, üstündeki iki adet 3'ü toplarız. İngiliz matematikçi G.H. Hardy, “Bir matematikçi“ "bir ressam veya şaire benzer; desenler örnektir işi." Pascal üçgenindeyse desenden bol şey yoktur. G.H. Hardy

Pascal Üçgenindeki Bazı Örüntüler ve Özellikler Literatüre girdiği adla çağıracağımız Pascal üçgeni gerçekten gizemli özeliklere sahiptir. Bu özeliklerin bir kısmının elde edilişini birer zeka oyunu olarak görebiliriz. Ama onlar, oyun olmanın ötesinde cebir, geometri, olasılık, kaos gibi birbirleriyle ilişkisiz görünen bilim dallarında beklenmedik sonuçlar yaratmaktadır. Bu yazıda Pascal Üçgenini kuracak ve basit bazı özeliklerini söyleyeceğiz.

1)11’İN KUVVETİ VE PASCAL ÜÇGENİ 1 sayısı önemlidir ama peki ya 11? O da ilginçtir ve ayrıca 11x11=121,11x11x11=1331 ve 11x11x11x11=14641 de öyle. Bunları alt alta yazarsak: 11 121 1331 14641 elde ederiz.Bunlar Pascal üçgeninin ilk satırlarıdır.

Peki bunlar nerede karşımıza çıkar? 11’in sıfırıncı kuvveti 1’i de listenin tepesine ekleyip ardından noktaları atalım ve rakamların arasına boşluk koyalım.Örneğin 14.641’i şöyle yazalım:1 4 6 4 1. 115 için 1 5 10 10 5 1 satırının nasıl 161051 haline dönüştürüldüğünü aşağıdaki resimde görebilirsiniz.

2)Diyagonaller(Çaprazlar) Pascal üçgeninde sayılara diyagonal (çapraz) olarak bakarsak ortaya yine sayı örüntüleri çıkar. Sayma sayıları, üçgensel sayılar… gibi.

3)Simetri Ortada bir ayna varmış gibi düşünüldüğünde soldaki sayıların, sağdaki sayıların simetriği olduğu görülebilir.

4)Satırların Toplamı Satırların toplamı her zaman çift ve 2’nin kuvvetidir.

5) Kareler İkinci çaprazdaki sayıların kareleri, üçüncü çaprazda bulunan bu sayının hemen yanındaki ve altındaki sayının toplamına eşittir. 42=6+10 52=10+15 gibi.

6)Fibonacci Sayıları Ünlü sayı dizisi Fibonacci de Pascal üçgeninde bulunabilir.

7)Sierpinski Üçgeni Pascal üçgeninde tek ve çift sayıları farklı renklerle gösterirsek ortaya Sierpinski Üçgeni denilen ünlü örüntü çıkar.

CEBİRLE PASGAL ÜÇGENİ İÇ İÇE Yatay satırlar, sırasıyla, ilköğretim aritmetik derslerinde gördüğünüz (x+y) iki terimlisinin kuvvetlerinin açılımındaki katsayılardır. Kuvvet Binom Açılımı Pascal Üçgeni (x+y)0 = 1 1 (x+y)1 = 1x + 1y 1, 1 2 (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 1, 2, 1 3 (x + y)3 = 1x3 + 3x2 y+ 3xy2 + 1y3 1, 3, 3, 1  4 (x + y)4 = 1x4 + 4x3 y+ 6x2 y2+ 4xy3 + 1y4 1, 4, 6, 4, 1

PASCAL KOMBİNASYONLARI Pascal sayıları bazı sayma sorularının cevaplanmasında kullanılır. 4 kişinin olduğu bir odadan 2 kişilik bir grubu kaç şekilde seçebiliriz sorusunu bu konuyu anlattığımda daha rahat çözebiliriz.

PASCAL KOMBİNASYONLARI

PASCAL KOMBİNASYONLARI Pascal üçgenindeki sayıların dizilimi kombinasyon ile bire bir ilişkilidir. Mesela Pascal üçgeninin 4. satırını alalım sayılar 1-4-6-4-1 şeklidedir ki bunlar 4'ün tüm kombinasyonlarını(0'dan 4'e) temsil ederler. 1 - > C(4,0) 4 - > C(4,1) 6 - > C(4,2) 4 - > C(4,3) 1 - > C(4,4) Her satırında bu böyledir. 6. satırda 6'nın kombinasyonları, 12. satırda 12'nin kombinasyonları bulunur.

Genel olarak C(n,r) = C(n,n-r) olur ki bu da Pascal üçgeninin simetrik olmasının doğal bir sonucudur. ÖRNEK: C(8,1)=C(8,7) C(12,3)=C(12,9)

0 ve 1’ler

SİERPİNSKİ ÜÇGENİ

Bu fraktal Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski'nin adını taşır Bu fraktal Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski'nin adını taşır. Eşkenar üçgenin içinden küçük üçgenler çıkartılarak elde edilir. Bu işlemi tekrarlamaya devam edersek Sierpinski üçgenini elde ederiz.

İŞARET EKLEMEK: (-1+x)'in kuvvetlerine, yani (-1+x)’n e karşılık gelen Pascal üçgenini oluşturabiliriz. Bu durumda üçgen, dikey çizgiye göre tam simetrik olmaz. Topladığımızda ise 2'nin kuvvetlerinden birini değil, O elde ederiz. Ama burada asıl ilginç olan köşegenlerdir. Güneybatı köşegeni olan 1, -1, 1, -1, 1, -1, l, -1, 1, -1, ... şu açılımın katsayılarına karşılık gelir:

Bu sonraki köşegendeki terimler ise şu açılımın katsayılarına karşılık gelir:

Gottfried Leibniz Alman Matematikçi ve Filozof olan Gottfried Leibniz üçgen biçimine sahip çok sayıda sayı kümesi keşfetmiştir.

Leibniz Harmonik üçgeni

Özellikleri: Dış köşegeni ünlü harmonik serisinden oluşmaktadır. 1+ 1 /2 +1/3+1/4+1/5+1/6+1/7… İkinci köşegen ise leibniz serisinden oluşmaktadır. Leibniz sayıları dikey eksene göre simetriktir. Pascal üçgeninde üstteki iki sayının toplamı altı verirken, leibnizde alttaki iki sayının toplamı üstü verir

Leibniz ve pascal arasindaki ilişki : B(n,r) × C(n,r) = 1 / n+1 Burada n’inci satırın r’ince leibniz sayısını B(n,r) şeklinde gösterebiliriz. Pascal matematiğin farklı konuları arasında bağlayıcı bir kemik gibidir. Örneğin modern geometri ve cebir. Pascal üçgeni matematiğin özünde yatan ve konuları daha derinlemesine anlayabilmemizi sağlayan uyum ve düzen peşindeki sonu gelmez arayışın harika örneğidir.

Sorularımız: 1)Pascal üçgeni ile leibniz harmonik üçgeni arasındaki fark nedir? cevap: Pascalda üstteki iki sayının toplamı alttaki sayıyı verirken, Leibnizde alttaki iki sayının toplamı üstü verir. 2) Pascal üçgeninde 1 önemlidir peki ya 11 in önemi nedir ?  cevap:  Pascal üçgenindeki her satırdaki sayılar 11 in katlarıdır.

Elfin BAYKAL Cansu TUNÇER Merve ÇAKMAK Büşra AKYILDIZ Büşra Nur ÜNAL HAZIRLAYANLAR Elfin BAYKAL Cansu TUNÇER Merve ÇAKMAK Büşra AKYILDIZ Büşra Nur ÜNAL