Çubuk Sonlu Elemanlar Dersi Dönem Sonu Projesi Hazırlayan Barış Ömer Balota Numara 010130139 CRN 12611

İçerik Problemin Tanıtılması Modellerin Açıklanması El ile Çözüm ve Aşamaları Bilgisayar Destekli Çözüm Sonuçlarının Karşılaştırılması

Problem Problemimiz 20 m açıklıklı bir köprü inşasıdır Mal sahipleri mühendisten buna uygun olacak şekilde bir köprü tasarımı yapmasını ister Mühendis 20 m açıklık için iki farklı köprü tasarımı yapmıştır. Ancak mal sahiplerine hazırlanan projeyi sunmadan önce tasarımların performanslarını karşılaştırmak ister Her iki tasarımın da özellikle düşeyde yaptığı yer değiştirmeleri gözlemlemek için tasarımlara uygun olacak şekilde performans deneyleri hazırlar Hazırlanan deneyler sonlu elemanlar yöntemi ile çözülür

Tasarım A

Tasarım B

Tasarımların Gerçek Hayattaki Uygulamaları

Deney Modeli A

Deney Modeli B

A Deney Modelinin Çözümü

Doğrultman Kosinüsleri Koordinatlar Uzunluklar Düğüm Noktası X (m) Y(m) 1 1,73 2 3 4 5 Eleman Numaraları L (m) 1 2 3 4 5 6 7 Ce (e=1,2,…,7) Se (e=1,2,…,7) -0,5 -0,865 1 0,865 i e (eleman) j (𝑥 𝑗 - 𝑥 𝑖 )/L (𝑦 𝑗 - 𝑦 𝑖 )/L L

T ‘Dönüşüm Matrisleri’ T1=T5 -0.5 -0.865 T2=T4=T6 1 Ce Se Te T3=T7 -0.5 0.865

A=0,0079 m^2 E=210 GPa=210*10^6 kN/m^2 L=2 m 𝐸𝐴 𝐿 = 210× 10 6 ×0.0079 2 =829500 𝑘𝑁/𝑚 ki ‘Eleman Rijitlik Matrisleri’ (Tüm elemanların k matrisleri aynıdır) 𝐸𝐴 𝐿 −𝐸𝐴 𝐿 829500 -829500 ke (e=1,2,…,7) k

Ke ‘Genel Koordinat Takımındaki Eleman Rijitlik Matrisleri’ 𝑲=𝑻𝑻×𝒌×𝑻 d1 d2 d3 d4 207375 358758.75 -207375 -358758.75 620652.6375 -620652.6375 d1 d2 d3 d4 K1 d3 d4 d5 d6 829500 -829500 d3 d4 d5 d6 K2

d5 d6 d1 d2 207375 -358758.75 -207375 358758.75 620652.6375 -620652.6375 d5 d6 d1 d2 K3 d1 d2 d7 d8 829500 -829500 d1 d2 d7 d8 K4

d7 d8 d5 d6 207375 358758.75 -207375 -358758.75 620652.6375 -620652.6375 d7 d8 d5 d6 K5 d5 d6 d9 d10 829500 -829500 d5 d6 d9 d10 K6

dönmeler (Q) = 0 olmalıdır. 207375 -358758.75 -207375 358758.75 620652.6375 -620652.6375 d9 d10 d7 d8 K7 Not: İncelenen deney modeli bir kafes sistem olduğu için düğüm noktalarındaki dönmeler (Q) = 0 olmalıdır.

K* ‘Sistem Matrisi’ d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 1244250 -207375 -207375 -358758.75 358758.75 -829500 1241305.275 -620652.6375 1036875 -620652.675 620652.6375 2073750 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 K*

K ‘İndirgenmiş Sistem Matrisi (d3=d4=d9=d10=0) 1244250 -207375 358758.75 -829500 1241305.275 -620652.6375 2073750 -358758.75 d1 d2 d5 d6 d7 d8 K K* matrisinde bu değerlerin bulunduğu satır ve sütunları silersek K matrisini elde ederiz Mesnet noktalarında yer değiştirmeler 0’a eşittir

2. ve 6. Elemanların Yük Matrisleri − 1 2 ×𝑞𝑧×𝐿 −3 𝑓 2 𝑞 =𝑓 6 𝑞 = = F 2 𝑞 =F 6 𝑞 = T t *𝑓 𝑒 𝑞

İndirgenmiş Sistem Yük Matrisi −3 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 0+Ax -3+Ay -6 0+Bx -3+By F 2 𝑞 = F 6 𝑞 = Sistem Yük Matrisi İndirgenmiş Sistem Yük Matrisi -6 F*= F= −3 d3=d4=d9=d10=0 olan elemanlar F* matirisinden silinirse F matrisi elde edilir. Ax, Ay, Bx ve By kuvvetleri, 2. ve 5. düğüm noktalarındaki mesnet tepkileridir.

Sistem Çözümü (yer değiştirmeler) K * = F U

Sistem Çözümü (mesnet tepkileri) -1.72083E-22 -1.20841E-05 -2.09054E-06 0+Ax -3+Ay -6 0+Bx -3+By -1.9286E-05 2.48261E-05 1.734105398 3.000002565 -4.4409E-16 -6.00005433 1.92859E-05 -1.7341054 3.000002338 Ax -1,73 kN Ay 6 kN Bx 1,73 kN By K* * = = = U* F*

Ax -1,73 kN Ay 6 kN Bx 1,73 kN By

Sonuçların Arayüz Programı ile Karşılaştırılması (Rölatif Hata) - 3.266E-03 3.240E-03 5.820E-03 0.003480416 3.156E-03 0.003240352 5.211E-03 0.00324035 0.003156033 3.480E-03 0.00315603 0.00348042 Sonuçlar Arayüz 2D programı ile uyumluluk göstermektedir.

Sonuçların Arayüz Programı ile Karşılaştırılması (Rölatif Hata) Sonuçlar 0’a çok yakın olduğu içi dikkate alınmaz Arayüz Rölatif Hata d1 d2 d5 d6 d7 d8 2.09054E-06 -6.04203E-06 -1.72083E-22 -1.20841E-05 -2.09054E-06 .2103E-05 -.6064E-05 .5737E-13 -.1213E-04 -.2103E-05 5.92E-03 3.62E-03 1.00E+00 3.79E-03

Sistemin Yer Değiştirmiş Durumu

A ve B Tasarımlarının Karşılaştırılması

B Tasarımının Arayüz Modeli

B Tasarımının Yer Değiştirmiş Durumu

Çubukların Orta Noktalarındaki Yer Değiştirmelerinin Karşılaştırılması 3. Düğüm N. 4. Düğüm N. A Tasarımı B Tasarımı .5737E-13 -.4383E-12 -.1213E-04 -.1756E-04 Ux Uy A tasarımı yer değiştirmeler konusunda B tasarımından daha iyi performans göstermiştir.

Kullanılan Malzeme (m^3) Deney Modellerinin Maliyet Hesabı Kullanılan Malzeme (m^3) A Tasarımı B Tasarımı 0,110 0.129 A tasarımı maliyet konusunda B tasarımından daha üstündür Not: Yapılan maliyet hesabında sadece kullanılan malzeme miktarı dikkate alınmış; diğer maliyet kalemleri ihmal edilmiştir.

SONUÇ Yapılan Tercih : A Tasarımı İki farklı tasarımın analizi bize mühendisliğin en temel amaçlarından birini gösterdi. Mühendisler olarak temel amacımız güvenlik ve maliyetin maksimum verimde olduğu noktada mühendislik eserleri üretmektir. Bu noktaya ulaşabildiğimiz kadar ulaşmak için karşılaştırma yöntemini uygulamak doğru bir yöntemdir.

Dinlediğiniz için Teşekkürler 