ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Benzetimin en önemli faydalarından birisi, uygulamaya koymadan önce alternatifleri karşılaştırmanın mümkün olmasıdır. Alternatifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alternatif üretim planları Malzeme taşıma konfigürasyonları Stok politikaları vb. Olabilir Karşılaştırma için uygun istatistiksel metotların kullanımı gerekir. Çünkü, her alternatif tasarımı bir kere çalıştırarak elde edilen çıktılarla bir karara varmak hatalı bir yaklaşımdır. Aşağıdaki örnek tek bir deneme ile sonuca varmanın hatalı olduğunu göstermektedir.

ÖRNEK: Bir banka ATM istasyonu kurmayı planlıyor. Banka yöneticileri, ÖRNEK: Bir banka ATM istasyonu kurmayı planlıyor. Banka yöneticileri, iki alternatif ile karşı karşıyadır. 1. Alternatif: 1 adet A makinesi almak. Bu makine diğer makineden 2 kat daha hızlı ancak fiyatı da diğer makinenin 2 katı. 2. Alternatif: 2 adet B makinesi almak. Her B makinesinin hızı ve maliyeti A makinesinin yarısı kadardır. Her iki makinenin maliyeti de banka için aynı olduğundan dolayı yöneticiler en iyi servis veren alternatifi seçeceklerdir. Bu durumda, M/M/1 ile M/M/2 kuyruk sistemlerinin karşılaştırılması söz konusudur. A 1. Alternatif B 2. Alternatif Müşteri Varış Oranı: (Poisson Dağılımı) A için servis zamanı: (Üstel dağılım) B için servis zamanı:

Performans Ölçüsü; ilk 100 müşterinin kuyrukta ortalama bekleme zamanı Her alternatif için 100 bağımsız deneme yapılarak kuyrukta ortalama bekleme zamanı tahmin edilmiştir. dA(100) = 1. alternatifin kuyrukta ortalama bekleme zamanı dB(100) = 2. alternatifin kuyrukta ortalama bekleme zamanı Teorik olarak her iki alternatif için kuyrukta ortalama bekleme zamanı hesaplandığında; dA(100) = 4.13 dB(100) = 3.70 2 Alternatifin seçilmesi gerektiği görünmektedir . 100 bağımsız denemenin her birisinde tahmin edilir. karşılaştırılarak minimum seçilir. Ancak yanlış bir yöntemdir.

Deney   Seçilen 1 3.8 4.6 A (Yanlış) 2 3.17 8.37 3 3.96 4.18 4 1.91 5.77 5 1.71 2.23 6 6.16 4.72 B (Doğru) 7 5.67 1.39 …  98 8.4 9.39 99 7.7 1.54 100 4.64 1.17 Yapılan 100 denemenin 48 inde 2. Alternatif seçilmiştir. Bu durumda analist yanlış karar verecektir. Görüldüğü gibi benzetim çıktı verisi stokastik olduğundan dolayı, tek bir deney sonucuna göre iki sistemin karşılaştırılması güvenilir bir yaklaşım değildir.

Amaç; için bir güven aralığını oluşturmaktır. İki Sistemin Performans Ölçüleri Arasındaki Farklılık için Güven Aralığı i=1, 2 için; Xi1, Xi2, … , Xin : i. sistemden elde edilen n adet bağımsız özdeş dağılmış örnekler olsun : i. sistem için performans ölçüsünün beklenen değeridir. Amaç; için bir güven aralığını oluşturmaktır.

için Güven Aralığı (a) (n=) n1=n2 ise; (deney sayısı her iki sistemde eşit) (X1j’ler X2j’ler ile bağımlı olabilir) j = 1, 2, …, n için; Zj = X1j - X2j ‘ yi tanımlamak üzere X1j ve X2j eşleştirilir. Zj = X1j - X2j → Zj = X11 - X21 Zj = X12 - X22 Zj = X1n - X2n X1j ve X2j’ler bağımsız rassal değişken olduğundan Zj’ler de bağımsız özdeş dağılmış rassal değişkenlerdir. için güven aralığı oluşturalım

Amaç ilgilenilen performans ölçüsünün minimizasyonu ise (maliyet, kuyrukta ortalama bekleme zamanı gibi); Güven Aralığı “0” ’ı kapsıyorsa GA=[-,+] ; İlgilenilen her iki sistemin birbirinden farklı olmadığını gösterir. ( ) Güven aralığı pozitif bir aralık ise GA=[+,+] ; İki sistem birbirinden farklıdır. 1. sistem, 2. sisteme göre daha büyük bir ortalamaya sahiptir. Bu nedenle 2. sistem tercih edilir. ( ) Güven aralığı negatif bir aralık ise GA=[-,-] ; İki sistem birbirinden farklıdır. 1. sistem, 2. sisteme göre daha küçük bir ortalamaya sahiptir. Bu nedenle 1. sistem tercih edilir. ( )

Xij : i. politikanın j. tekrarlamadaki aylık ortalama toplam maliyeti ÖRNEK: (s,S) stok sisteminde iki politika karşılaştırılmak isteniyor. Amaç, ilk 120 aylık çalışma periyodunda beklenen ortalama maliyeti minimize eden politikayı seçmektir. 1. politika (s,S) = (20,40), 2. politika (s,S) = (20,80). Her politika için bağımsız 5’er deneme yapılarak aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. j X1j  X2j   Zj 1 126.97 118.21 8.76 2 124.31 120.22 4.09 3 126.68 122.45 4.23 4 122.66 122.68 0.02 5 127.23 119.4 7.83 Xij : i. politikanın j. tekrarlamadaki aylık ortalama toplam maliyeti % 90 güvenlik düzeyinde

Güven aralığı pozitiftir Güven aralığı pozitiftir. Amacımız maliyeti minimize eden politikayı seçmek olduğundan II. Politika seçilir. Not:  Zj ‘ler bağımsız olmak zorundadır. Ancak X1j ‘lerin X2j ‘lerden bağımsız olması gerekmez. Zj = X1j - X2j j=1,2,…, n için X1j ‘lerin X2j ‘lerden bağımlı olduğu düşünülürse; Var (Zj)= Var (X1j) + Var (X2j) -2 Cov (X1j,X2j) 2 Cov (X1j,X2j) > 0 olduğundan dolayı Var (Zj) azalır. Bu durumda ise elde edilen güven aralığı küçülür. Güven aralığının küçük olması verilecek kararın daha hassas olmasını sağlar.

b ) Bu yaklaşımda; için güven aralığını oluşturmada her iki sistemden elde edilen gözlemlerin eleştirilmesi gerekmez. Ancak X1j‘lerin X2j‘lerden bağımsız olmalıdır. Durum: Her zaman geçerli değildir. olarak kabul edilir.

Serbestlik derecesinin tahmini; güvenlik düzeyinde güven aralığı; (Welch Yaklaşımı)

ÖRNEK: Stok sistemi için verilen örnekte denemeler bağımsız olarak yapıldığı için Welch yaklaşımı kullanılarak 2 politikanın farklı olup olmadığı belirlenebilir. %90 güvenlik düzeyinde GA=[2.66, 7.30] 2.politika seçilir.

2. Durum: kabul edilirse; Aynı zamanda X1j ‘ler X2j ‘lerden bağımsızdır. için güvenlik düzeyinde güven aralığı;

ÖRNEK: Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Alternatif I 14 11 13 12 11.6 1.9 Alternatif II 15 16 13.3 2.7 a ) Sistem için düşünülen iki alternatif var. Her alternatif için düzenlenen benzetim programı 10 kez çalıştırılarak yukarıda verilen ortalama beklemeler elde edilmiştir. Alternatif sistemlerin benzetim programları bağımsız olarak çalıştırılmıştır. - İki sistemin ortalama beklemelerini karşılaştırmak üzere 0.90 güvenlik düzeyinde güven aralığını oluşturunuz. - Yaklaşık 0.15 göreli hassalık için yapılması gereken gözlem sayısını bulunuz. b ) Alternatif I’in aynı kaldığı Alternatif II için yeni sonuçların elde edildiği düşünülerek (Burada Alternatif I ve Alternatif II’nin çalıştırılması benzer deney şartları altında gerçekleştiriliyor) Alternatif II’nin yeni sonuçları aşağıda verilmektedir.

Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Var ( )  Alternatif II 16 15 14 13 13.3 2.7 iki sistemin ortalama beklemelerini karşılaştırmak için 0.90 güvenlik düzeyi için güvenlik aralığını oluşturunuz. 0.15 göreli hassasiyeti elde etmek için gerekli deneme sayısını belirleyiniz. a) i) Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Var(I-II)  Zj = X1j - X2j -1 -6 -7 -3 -4 -1.7 10.9 (I-II)2 36 49 16

% 90 güvenlik düzeyinde GA; GA=[-,+] olduğundan dolayı (yani “0” ı kapsadığından) her iki sistem birbirinden farklı değildir

ii) n > n0 olduğundan 564-10=554 adet ek deneme yapılması gerekir. n* > n0 olduğundan 457-10=447

GA=[-,-] olduğundan dolayı ’dır. 1. Alternatif seçilir. b ) Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -4 -1 -3 -1.7 3.34 16 59 i) GA=[-,-] olduğundan dolayı ’dır. 1. Alternatif seçilir.

ii) n > n0 olduğundan 173-10=163 adet ek deneme yapılması gerekir. C ) a ve b sonuçlarına göre farklı sonuçlar elde etmenin sebepleri nedir? Verilen datayı kullanarak açıklayınız. a) b) Aynı deney şartları ile pozitif korelasyon elde edildiğinden daha küçük varyans elde edilmiştir.

VARYANS AZALTMA TEKNİKLERİ Stokastik Sistemlerin Benzetiminde, Rassal Girdiler → Rassal Çıktılar üretir ▽ Sonuçların analizi için uygun istatistiksel metod kullanımı gerektirir. Güçlü bir istatistiksel analiz için çıktıların tahmininde yüksek hassasiyete ihtiyaç duyulur. Bu hassasiyeti artırmanın bir yolu örnek büyüklüğünü (deneme sayısını) artırmaktır. Ancak bu da zaman ve para demektir. Alternatif Yaklaşım: VAT dir. VAT: İlgilenilen performans ölçüsünün tahmini değerini bozmaksızın varyansını daha az benzetim koşumuyla azaltmaktır.

VARYANS AZALTMA TEKNİKLERİ i) Ortak (Genel) Rassal Sayılar (Common Random Numbers) ii) Karşıt Değişkenler (Antithetic Variates) GENEL RASSAL SAYILAR Alternatif sistemlerin karşılaştırılmasında kullanılır. Temel fikir; “benzer deney koşulları” altında alternatif sistemleri karşılaştırmaktır. Benzetimde “deneysel koşullar”, benzetim süresince kullanılan rassal değişkenler ile elde edilir. Bu teknikte, “benzer deney koşulları”; her bir alternatif sistemin benzetiminde aynı U(0,1) rassal sayıları kullanılarak elde edilir. (Pozitif ilişki oluşturulur.)

ÖRNEK: İki sistem karşılaştırılacak. Xij : i. sistemin j. denemesindeki performans ölçüsünün tahmini Amacımız; Her sistem için n deneme yapılırsa; için yansız tahminci in varyansı; X1j ve X2j pozitif ilişkili ise; Cov(X1j, X2j) >0 olacağından varyansı azalır.

ÖRNEK: İki sistemin karşılaştırılması. Varışlar arası zaman üretimi için her denemede aynı başlangıç genel rassal sayıları kullanılır. Benzer deney şartları demek; bu olayın düzenlenmesi anlamına gelir.

KARŞIT DEĞİŞKENLER: Bu metot, bir sistemin benzetimi için kullanılır. Denemeler arasında korelasyon oluşturulmaya çalışılır. Ancak, bu negatif korelasyondur. Negatif korelasyonun elde edilmesi için, her bir deneme iki kere yapılır. Her bir denemenin birincisinde herhangi bir rassal değişkeni üretmek için Uk rassal sayısı kullanılıyor ise, ikinci denemenin de aynı rassal değişkeni üretmek için 1-Uk rassal sayısı kullanılır.