Sayı sistemleri Dijital elektroniğin öğrenilmesi için ilk olarak sayı sistemlerini çok iyi bir şekilde bilmesi gerekir. Sayı sistemleri Dijital Elektroniğin temelidir. Dijital eletronikte dört çeşit sayı sistemi kullanılmaktadır. Bunlar : a) - Desimal Sayı Sistemi b) - Binary Sayı Sistemi c) - Oktal Sayı Sistemi d) - Hexadesimal Sayı Sistemi 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sayı sistemleri ve kodlar (Number systems and codes) Octal(base 8) Decimal(base 10) Binary(base 2) Hexadecimal (base16) 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Örnekler Onluk sayılar (Decimal numbers) Taban 10 (base 10) 36.210 9810 Onaltılık sayılar (Hexadecimal number) Taban 16 (base 16) 3F216 İkilik sayılar (Binary number) Taban 2 (base 2) 10112 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Positional system Her bir digit pozisyonuna bağlı bir ağırlık taşır. 346.17463.71 Aynı rakamlardan oluşsa da. Ağırlık vs Pozisyon 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Onluk Sayı Sistemi Günlük yaşantımızda kullandığımız sayı sistemi ondalık (decimal) sayı sistemidir. Ayrıca 10 tabanlı sistem olarak da adlandırılır ve bu sistemde on tane sembol kullanılır. Taban : 10 Semboller : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ondalık sayı sisteminin genel biçimi ve terminolojisi aşağıda verilmiştir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Decimal Positional System (Base 10 or radix 10) decimal point … 104 103 102 101 100 . 10-1 10-2 tenths position ones position tens position hundredth position hundreds position 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Onluk Sayı Sistemi 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

İkili Sayı Sistemi İkili (Binary) sayı sistemi, sayısal elektronik sistemlerinde yaygın olarak kullanılır. Günlük yaşantımızda kullandığımız ondalık sayı sisteminden iki yönlü dönüşüm yapılarak kullanılır. Bu sistemde, Boole cebrinde doğru ve yanlışı belirtmek üzere iki tane sembol kullanılır. Taban : 2 Semboller : 0,1 İkili sayı sisteminin genel biçimi ve terminolojisi aşağıda verilmiştir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Binary Positional System (Base 2 or radix 2) binary point … 24 23 22 21 20 . 2-1 2-2 halves position ones position twos position quarters position fours position 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

İkili Sayı Sistemi 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Örnek Onlu sayılara örnek İkili sayılara örnek 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

İkili sayıların Onlu sayılara Çevirimi (Binary to Decimal Conversion) What is 1101012 in decimal? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

n 2n 20=1 1 21=1 2 22=4 3 23=8 4 24=16 5 25=32 6 26=64 7 27=128 n 2n 8 28=256 9 29=512 10 210=1024 11 211=2048 12 212=4096 20 220=1M 30 230=1G 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Decimal-To-Binary Conversions(method 1) Onluk sayılar 2’nin kuvvetlerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

(Method 2)Flowchart for Repeated Division Tekrarlı Bölme metodu 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Example for Repeated Division Bölüm (quotient) Kalan (remainder) 50/2 = 25 0 LSB 25/2 = 12 1 12/2 = 6 0 6/2 = 3 0 3/2 = 1 1 1/2 = 0 1 MSB 5010=1100102 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Example for Repeated Division quotient remainder 346/2 173 0 173/2 86 1 86/2 43 0 43/2 21 1 21/2 10 1 10/2 5 0 5/2 2 1 2/2 1 0 1/2 0 1 34610=1010110102 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizli Sayı Sistemi Sekizli (Octal) sayı sistemi, sayısal elektronik sistemlerinde ses ve müzik uygulamalarında yaygın olarak kullanılır. Müzikte kullanılan notalara (do re mi fa sol la si do) karşı gelmek üzere sekiz sembol kullanılır. Günlük yaşantımızda kullandığımız ondalık sayı sisteminden iki yönlü dönüşüm yapılarak kullanılır. Taban : 8 Semboller : 0,1,2,3,4,5,6,7 Sekizli sayı sisteminin genel biçimi ve terminolojisi aşağıda verilmiştir : 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizli Sayı Sistemi 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizli sayıların Onlu sayılara Çevirimi (Octal-to-Decimal Conversion) 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Decimal-to-Octal Conversion Convert 26610 to Octal quotient remainder 266/8 = 33 2 LSB 33/8 = 4 1 4/8 = 0 4 MSB 26610=4128 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizli sayıların İkili sayılara Çevirimi (Octal-to-Binary Conversion) Convert 4728 to binary 4 7 2    100 111 010 Convert 54318 to binary 5 4 3 1     101 100 011 001 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Binary-to-Octal Conversion Convert 1001110102 to octal Convert 110101102 to octal 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Onaltılık Sayı Sistemi Onaltılık (Hexadecimal, Hex) sayı sistemi, sayısal elektronik sistemlerinde mikroişlemci temelli uygulamalarda yaygın olarak kullanılır. Günlük yaşantımızda kullandığımız ondalık sayı sisteminden iki yönlü dönüşüm yapılarak kullanılır. Bu sistemde, ondalık sayı sisteminde kullanılan sembollere ek olarak, dokuzdan büyük değerlere karşılık İngiliz alfabesinin ilk beş harfi ile birlikte on altı tane sembol kullanılır. Taban : 16 Semboller : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Onaltılık sayı sisteminin genel biçimi ve terminolojisi aşağıda verilmiştir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Onaltılık Sayı Sistemi 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizli sayıların Onaltılık sayılara Çevirimi (Octal-to-hex Conversion) Convert B2F16 to octal B2F16=1011 0010 1111 {convert to binary} =101 100 101 111 {group into three-bit groupings} = 5 4 5 78 {Convert to octal} 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Aritmetik İşlemler İkili sayılar ile dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme), özelliklede toplama ve çıkarma işlemleri sayısal elektronik sistemlerin programlanmasında sıkça kullanılan işlemlerdir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Sekizlik ve Onaltılık sayı sistemlerinde işlemler 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Toplama / Çıkarma İşlemi İkili sayılar ile yapılan toplama işlemi, işleme giren sayıların karşılıklı bitleri bit bit toplanır ve oluşması halinde eldenin bir sonraki toplamaya eklenmesi şeklinde yapılır. Bu toplama işleminde işleme giren sayılar, 2’ye tümleyen işaretli değerler ise doğal olarak sayıların işareti dikkate alınarak doğru sonuç elde edilir. Çıkarma işlemi ise, toplama işlemine giren ikinci sayının işareti değiştirilerek gerçekleştirilir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Kodlar Sayısal Kodlar İkili sayıların sıralamasını değiştirmek veya bunlara fiziksel anlam yüklemek gibi özellikler katılmasıyla elde edilen sayı gruplarına, yapılan kodlama ile ilgili bir ad verilir. Tablo çok kullanılan bazı ikili kodlanmış ondalık kodları göstermektedir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Kodlar Bir 7-parçalı göstergenin harfli kodlaması Çok kullanılan ikili kodlar 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Kodlar Alfa Nümerik Kodlar Fiziksel dünyada bilgi iletişimde kullanılan semboller yalnız sayıları içermez. Bunlara ek olarak büyük ve küçük harfler, noktalama ve özel işaretler de kullanılır. Uluslararası, ulusal özelliklere göre değişen alfa nümerik kodlar kullanılır.Tablo 128 sembolden oluşan ASCII ( AMERICAN STANDARD CODE for INFORMATION INTERCHANGE, Bilgi Değişimi için Standart Amerikan Kodu) alfa nümerik kodudur. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Kodlar Alfa Nümerik Kodlar IBM uyumlu bilgisayarlarda EBCDIC (EXTENDED BCD INTERCHANGE CODE, Bilgi Değişimi için Genişletilmiş BCD Kodu) karakter kod tabloları kullanılır. Bu gelişmiş karakter kodu, ASCII koduna ek olarak fazladan 128 tane daha karakter kodu içerir ve bilginin yanında değişik uluslara göre özel karakterleri değişir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

İkili Kodlanmış Ondalık Sayı Sistemi İkili kodlanmış ondalık (Binary Coded Decimal, BCD) sayı sistemi, ikili sayıların ondalık karşılıklarının fiziksel dış dünyada gösterilmesini sağlamak üzere sayısal elektronik sistemlerinde yaygın olarak kullanılır. Günlük yaşantımızda kullandığımız ondalık sayı sisteminden iki yönlü dönüşüm yapılarak kullanılır. Bu sistemde, ikili sayı sisteminde olduğu gibi 2 tane sembol kullanılır. Semboller 0, 1 BCD sayı sisteminin genel biçimi ve terminolojisi aşağıda verilmiştir. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

İkili Kodlanmış Ondalık Sayı Sistemi Ondalık sistemden BCD sisteme dönüşüm, her bir ondalık basamak ayrı ayrı 4-bit ikili sayıya dönüştürülerek yapılır. BCD sistemden ikili sisteme dönüşüm için sayı önce ondalık nokta referans alınarak 4-bit gruplara ayrılır ve her bir 4-bit ikili sayı bağımsız olarak ondalık sayıya dönüştürülür. Sonra ondalık sayı ikili sayıya dönüştürülerek BCD sistemden ikili sisteme dönüşüm yapılır. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

2-5 BCD Code If each digit of a decimal number is represented by its binary equivalent, the result is a code called binary-code-decimal(BCD). 8 7 4 (decimal)    1000 0111 0100 (BCD) 9 4 3 (decimal)    1001 0100 0011 (BCD) 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Example Convert 0110100000111001(BCD) to its decimal equivalent. Convert the BCD number 011111000001 to its decimal equivalent. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Comparison of BCD and Binary A straight binary code takes the complete decimal number and represents it in binary. A BCD code converts each decimal digit to binary individually. 13710=100010012 (binary) 13710=0001 0011 0111 (BCD) BCD uses more bits, easier to convert to and from decimal. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Review Questions Represent the decimal value 178 by its straight binary equivalent. Then encode the same decimal number using BCD. How many bits are required to represent an eight-digit decimal number in BCD? What is an advantage of encoding a decimal number in BCD as compared with straight binary? What is a disadvantage? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

2-6 Putting it ALL together(TBA) 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

2-7 The byte A string of 8 bits is called a byte. How many bytes are in a 32-bit string? What is the largest decimal value that can be represented in binary using two bytes? How many bytes are needed to represent the decimal value 846,569 in BCD? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Review Questions How many bytes are needed to represent 23510 in binary? What is the largest decimal value that can be represented in BCD using two bytes? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

2-9 Parity method for error detection Whenever information is transmitted from one device to another device, there is a possibility that errors can occur such that the receiver does not receive the identical information that was sent by the transmitter. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Parity Bit A parity bit is an extra bit that is attached to a code group that is being transferred from one location to another. Even-parity The value of the parity bit is chosen so that the total number of 1s in the code group(including the parity bit) is an even number. 1 1 0 0 0 0 1 1  Added parity bit Odd-parity The parity bit is chosen so that the total number of 1s(including the parity bit) is an odd number. The parity bit is issued to detect any single-bit errors during the transmission of a code from one location to another. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Example Computers often communicate with other remote computers over the telephone lines. For example, this is how some communication over the internet takes place. When one computer is transmitting a message to another, the information is usually encoded in ASCII.What actual bit strings would a computer transmit to send the message HELLO, using ASCII with even parity? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Review Questions Attach an odd-parity bit to the ASCII code for the $ symbol, and express the result in hexadecimal. Attach an even-parity bit to the BCD code for decimal 69. Why can’t the parity method detect a double error in transmitted data? 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Summary The octal and hexadecimal number systems are used in digital systems and computers as efficient ways of representing binary quantities. In conversion between octal and binary, one octal digit corresponds to three bits. In conversions between hex and binary, each hex digit corresponds to four bits. The repeated-division method is used to convert decimal numbers to binary, octal or hexadecimal. Using an N-bit binary number, we can represent decimal values from 0 to 2N-1. The BCD code for a decimal number is formed by converting each digit of the decimal number to its four-bit binary equivalent. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA

Summary(cont.) A byte is a string of eight bits. An alphanumeric code is one that uses groups of bits to represent all of the various characters and functions that are part of a typical computer’s keyboard. The ASCII code is the most widely used alphanumeric code. The parity method for error detection attaches a special parity bit to each transmitted group of bits. 16.11.2018 Öğr.Grv. L. Özlem KARACA