BİRİM UYUMU: Kâğıt üzerinde formüllerle işlemler yaparken hata yapılmış olabilir. Bu hataları teşhis etmeyi çoğu zaman kolaylaştıran bir yöntem “birim.

Slides:



Advertisements
Benzer bir sunumlar
Seramik Dental İmplantlar
Advertisements

BİYOGAZ HAZIRLAYANLAR : HAKAN DEMİRTAŞ
BÖLÜM 5 . KÜTLE BERNOULLI ENERJI DENKLEMİ
HAZIRLAYANLAR AYHAN ÇINLAR YUNUS BAYIR
Yeniliği Benimseyen Kategorilerinin Bütüncül ve Analitik Düşünme Açısından Farklılıkları: Akıllı Telefonlar için Bir İnceleme Prof. Dr. Bahtışen KAVAK,
Doç. Dr. Hatice Bakkaloğlu Ankara Üniversitesi
Newton’un Hareket Yasaları
19. VE 20. YÜZYILDA BİLİM.
Enerji Kaynakları-Bölüm 7
AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ BÖLÜM 8 . BORULARDA AKIŞ.
İŞGÜCÜ PİYASASININ ANALİZİ
BRÜLÖR GAZ KONTROL HATTI (GAS TRAİN)
SES DONANIMLARI Ayşegül UFUK Saide TOSYALI
İŞLETİM SİSTEMİ İşletim Sistemi Nedir İşletim Sisteminin Görevleri
Tıbbi ve Aromatik Bitkilerin Hayvansal Üretimde Kullanımı
MUHASEBE YÖNETMELİĞİ KONFERANSI
Bu sitenin konusu kıyamete kadar hiç bitmeyecek
DUYUŞ VE DUYUŞSAL EĞİTİMİN TANIMI
ÇOCUKLARDA BRONŞİOLİT VE PNÖMONİ
Alien hand syndrome following corpus callosum infarction: A case report and review of the literature Department of Neurology and Radiology, Yantai Yuhuangding.
Parallel Dağılmış İşlemci (Parallel Distributed Processing)
TANJANT Q_MATRİS Aleyna ŞEN M. Hamza OYNAK DANIŞMAN : Gökhan KUZUOĞLU.
ADRESLEME YÖNTEMLERİ.
Diksiyon Ödevi Konu:Doğru ve etkili konuşmada
AZE201 ERKEN ÇOCUKLUKTA ÖZEL EĞİTİM (EÇÖE)
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ KARATAŞ TURİZM İŞLETMECİLİĞİ VE OTELCİLİK
EĞİTİMDE YENİ YÖNELİMLER
BAĞIMLILIK SÜRECİ Prof Dr Süheyla Ünal.
FACEBOOK KULLANIM DÜZEYİNİN TRAVMA SONRASI STRES BOZUKLUĞU, DEPRESYON VE SOSYODEMOGRAFİK DEĞİŞKENLER İLE İLİŞKİSİ  Psk. Asra Babayiğit.
BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ NEDİR?
PSİKO-SEKSÜEL (RUHSAL) PSİKO-SOSYAL
Sinir Dokusu Biyokimyası
Can, H. (1997). Organizasyon ve Yönetim.
Bölüm 9 OPERASYONEL MÜKEMMELİYETİ VE MÜŞTERİ YAKINLAŞMASINI BAŞARMA: KURUMSAL UYGULAMALAR VIDEO ÖRNEK OLAYLARI Örnek Olay 1: Sinosteel ERP Uygulamalarıyla.
ERGENLİKTE MADDE KULLANIMI
Şeyda GÜL, Fatih YAZICI, Mustafa SÖZBİLİR
MOL HESAPLARINDA KULLANILACAK BAZI KAVRAMLAR:
AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 3. BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ
GAZLAR Yrd. Doç. Dr. Ahmet Emin ÖZTÜRK. GAZLAR Yrd. Doç. Dr. Ahmet Emin ÖZTÜRK.
Engellerin farkında mıyız?
CEZA MUHAKEMESİ HUKUKU
DİSİPLİN HUKUKU.
İZMİR.
ACİL YARDIM ve AFET YÖNETİMİ ÖĞRENCİLERİNİN KARAR VERME DÜZEYLERİ
Yazar:ZEYNEP CEREN YEŞİLYURT Danışman: YRD. DOÇ. DR
TEMEL MAKROEKONOMİ SORUNLARI VE POLİTİKA ARAÇLARI
IMPLEMENTATION OF SOME STOCK CONTROL METHODS USED IN BUSINESS LOGISTICS ON DISASTER LOGISTICS: T.R. THE PRIME MINISTRY DISASTER AND EMERGENCY MANAGEMENT.
Mikrodalga Sistemleri EEM 448
Örnekler Programlama Dillerine Giriş
Modülasyon Neden Gereklidir?
A416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1.
4.BÖLÜM ÇAĞDAŞ BÜYÜME MODELLERİ
Ayçiçeği Neden Stratejik Ürün Olmalı?
Aydınlanma Işığın doğası ile ilgili bilgilerin tarihsel süreç içindeki değişimini farkeder. a. Dalga ve tanecik teorisinden bahsedilir,
Final Öncesi.
Sayısal Haberleşme.
ULUSLARARASI FİNANS.
Elektrik Enerjisi Üretimi, Dağılımı ve Depolanması
İÇ ORGANLARIN YAPISI VE İŞLEYİŞİ
DENK KUVVET SİSTEMLERİ
Dil Materyalleri ve Çalışmaları Doç. Dr. Müdriye YILDIZ BIÇAKÇI
Sosyal Bilimler Enstitüsü
Anlamsal Web, Anlamsal Web Dilleri ve Araçları
Hazırlayan; Görkem Baygın Yabancı Dil / M Şubesi 21 Maddede İngiliz Dili Edebiyatı Okumak Ne Demektir?
FURKAN EĞİTİM VAKFI TEFSİR USULÜNE GİRİŞ
BİN AYDAN DAHA HAYIRLI GECE KADİR GECESİ
Tarımsal nüfus ve tarımda istihdam
AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 3. BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ
Emir ÖZTÜRK T.Ü. F.B.E. Bilg. Müh. A.B.D. Y.L. Semineri
Sunum transkripti:

BİRİM UYUMU: Kâğıt üzerinde formüllerle işlemler yaparken hata yapılmış olabilir. Bu hataları teşhis etmeyi çoğu zaman kolaylaştıran bir yöntem “birim doğrulama”dır. Bu, yaygın olarak “elmayla armut toplanmaz” ilkesi olarak bilinir. Kâğıt üstündeki hesaplamaları sona yakın aşamalara kadar sayılar yerine sembollerle yapmak, bu yöntemle hata bulma kolaylığı avantajı sağlayabilir. Sayıları birimleriyle yazmak da bu avantajı devam ettirir. Fakat çoğu insan bunu sıkıcı bulur ve birimi sadece sonuçlara yazmakla yetinir; öyle yapınca da bu avantajı kaybeder. Birim uyumunda başlıca kurallar şunlardır: ● Eşitliklerde ve eşitsizliklerde, her iki taraftaki her bir toplam (çıkartmalar dahil) terimi aynı birimlere sahip olmalıdır. ● Her bir toplam terimi içinde çarpılan veya bölünen terimler varsa bunlar birimleriyle birlikte çarpılır veya bölünür. Gerekli sadeleştirmeler sonucunda o toplam teriminin bütününün birimi bulunur. ● Birimini bilmediğimiz katsayı gibi bazı terimlerin birimlerini aynı uyum çerçevesinde anlayabiliriz. Örnek 1: Net kuvvet = Yay kuvveti + yerçekimi + sürtünme kuvveti Kuvvet birimi N, kütle (m) birimi kg, konum (x) birimi m, hız (v) birimi m/s, yerçekimi ivmesi (g) birimi m/s2 olduğunu biliyoruz. Demek ki yay sabiti (k) birimi N/m ve sürtünme katsayısı (b) birimi N/(m/s) = N.s/m ’dir. Aynı zamanda bilmeyip merak eden, kuvvet biriminin N = kg.m/s2 olduğunu buradan anlayabilir.

● Benzer şekilde polinom katsayılarının birimlerine de dikkat edilmelidir. Örnek 2: ve x ’in birimi m ise c’nin birimi m3, b’nin birimi m2 ve a’nın birimi m’dir. ● Aynı boyutta oldukları halde birimleri birbirinin birimsiz bir katı olan terimler formüllerde toplanabilir; ancak sayısal işlem yaparken aynı birime getirilerek toplanmalıdır. Kiloohm ile ohm, miliamper ile amper, derece ile radyan, kalori ile joule çiftleri gibi. ● Farklı türde oldukları halde aynı boyutta olan birimler de toplanabilir. Meselâ tork birimi Nm ile enerji birimi joule farklı anlamlarda olsalar da birisi kuvvet × kuvvet kolu, diğeri ise kuvvet × yol olduğundan aynı boyuttadırlar ve formüllerde toplanabilirler. ● Derece, radyan, adet, çift, düzine, mol gibi bazı birimler aslında birimsizdirler. Birimsizlik de bir birim sayılabilir; yani birimsizler kendi aralarında toplanabilir, başka birimlilerle toplanamaz. Ama sayısal olarak toplarken aynı türe getirmek gerekir. ● Üstel (eksponansiyel) (ex , 10x veya 2x gibi) ve temel trigonometrik (sin(x), tan(x) gibi) fonksiyonların argümanları (örneklerdeki x’e karşılık gelen kısımları) birimsizdir. Bunun yerinde çarpılan veya bölünen terimler varsa birimleri mutlaka sadeleşerek birimsiz türlerden birine dönüşebilmelidir. Örnek 3: e-𝞷𝟂t ifadesinde sönüm oranı 𝛏 birimsiz, 𝛚 rad/s, t ise s birimli olup üçünün çarpımı radyan birimsizdir. Örnek 4: cos(2πt/T) ifadesinde t ile T, s birimli olup oranları birimsizdir. 2π ise radyan alınsa bile cos içindeki ifade birimsiz türdendir.

● Türev alınınca, hangi değişkene göre türev alındıysa o değişkenin birimine bölüm olur. Örnek 5: Endüktans (L) birimini (H) bildiğimiz diğer birimler cinsinden bulalım: Endüktansın akım (iL) gerilim (vL) ilişkisinden faydalanalım: t zaman değişkenine (s) göre türev alındığı için volt = L . amper/saniye Buradan L endüktansının birimi volt.saniye/amper bulunur. Volt/amper = ohm olduğundan endüktansın birimi H = Ωs . ● İntegral alınınca, hangi değişkene göre integral alındıysa o değişkenin birimiyle çarpım olur. Örnek 6: Kapasitans (C) birimini (F) bildiğimiz diğer birimler cinsinden bulalım: Kapasitansın akım (iC) gerilim (vC) ilişkisinden faydalanalım: t zaman değişkeni (s) ile aynı birimli τ değişkenine göre integral alındığı için volt = amper.saniye / C Buradan C kapasitansının birimi amper.saniye/volt bulunur. Volt/amper = ohm olduğundan kapasitansın birimi F = s/Ω . ● Ayrık bir değişkene göre alınan toplamda ise birim değişmez. Örnek 7: İster karmaşık ister gerçel olsun, Fourier seri katsayıları ck, a0, ak, bk sinyalin kendisiyle (x) aynı birimlidir.

● Laplace ve sürekli fonksiyonların Fourier dönüşümü, fonksiyonun üstel yani birimsiz bir terimle çarpımının, bağımsız değişkene (genellikle zamana) göre integrali olduğu için fonksiyon birimi ile bağımsız değişken biriminin çarpımı birimindedir. Yani genellikle s ile çarpılmış birimli olur. ℒ Örnek 9: Örnek 8: volt volt.saniye volt volt.saniye ● Laplace dönüşümü bağımsız değişkeni s’nin birimi, e üzerinde t ile çarpım halinde bulunmasından anlaşılabileceği gibi 1/saniye yani s-1’dir. rad/s diye de düşünülebilir. Fourier dönüşümü bağımsız değişkeni ω’nın birimi de rad/s’dir. Tabii burada ilk sinyalin bağımsız değişkeni zamandan başka ise s yerine o bağımsız değişkenin birimi gelir. ● Z-dönüşümü bağımsız değişkeni z, farklı kuvvetlerinin toplanmasından anlaşılabileceği gibi birimsizdir. ● Z-dönüşümü ve ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT), ilk sinyal ile aynı birimlidir; çünkü ilk sinyalin birimsiz terimlerle çarpılıp toplamı alınmışlarıdır. ● Ayrık Fourier dönüşümü (DFT) de ilk sinyal ile aynı birimlidir. Her ne kadar formülünde fazladan periyoda bölüm olsa da, bu periyot doğrudan fiziksel zaman değil, zaman adımının birimsiz katsayısı cinsinden periyottaki nokta adedidir. Hızlı Fourier dönüşümü FFT de sonuç olarak DFT ile aynıdır; sadece hesabı hızlandırılmıştır. ● Aynı sebepten dolayı ayrık sinyallerin n veya k gibi bağımsız değişkenleri, fiziksel zaman adımının katsayısı olup birimsizdir.

● Aslında "elma ile armut toplanmaz" sözü eksiktir. Doğrusu "elma ile armut skaler toplanmaz". Vektörel veya matrisel olarak pekâlâ toplanabilir. Yani elmaların kendi aralarında, armutların kendi aralarında toplanıp bu iki toplamın ayrı ayrı dikkate alındığı şekilde elma armut karışımı gruplar toplanabilir. Vektörler veya matrislerin her bileşeni farklı birimli olabilir ve toplanırlarken karşılıklı pozisyondaki terimler arasında uyum aranır. ● Aslında "elma ile armut skaler toplanmaz" sözünün de geçici istisnaları vardır. Bu istisnâi durumlarda, meselâ nadir bazı matris işlemlerinde, birim uyumunu bozan toplamlar anlamlı bir kullanım aşamasına gelmeden sadeleşerek yok olurlar. 5+ 3 elma+3 armut 1 elma+1 armut =5+3 Meselâ gibi. ● Sıfır yutan eleman diye birimini yazmamak yaygın bir alışkanlıktır. Bunu kolaylık amacıyla yapsak da titiz yorumlama gerektiğinde sıfırların da birimli olduğu unutulmamalıdır. Meselâ 0 ohm ile 0 siemens tam zıt fiziksel anlamlara karşılık gelir. ● Kontrol gibi yazılım uygulamalarında doğal olarak sayı ve değişken işlemlerini birimsiz olarak yaparız. Fakat bunların birimlerini yorum yaparken hatırlamalı, hatta yazılımın bazı yerlerine yorum olarak yazmalıyız. En basit misal, zamanı saniye ya da dakika olarak kullanmaya göre o değişkenler çok farklı sayısal değer alacaktır.

Sonuç olarak birimler hayatı zorlaştırmak için değil kolaylaştırmak için kullanılır. Hata bulmaya yardımcı olması sadece ilave bir faydadır. Fiziksel büyüklükler, birimleri doğru kullanmakla anlam kazanır. Birimleri yanlış kullanmak, insanları aldatmaya çalışanların sıkça başvurduğu bir yoldur. "Öyle bir ısıtma sistemi yaptım ki şu kadar liraya saatte şu kadar kW üretiyorum" gibi. Bu yüzden birimleri doğru kullanmayanlara temkinli bakılmalı ve birimleri doğru kullanmaya özen gösterilmelidir.