MAT – 101 Temel Matematik Mustafa Sezer PEHLİVAN * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

II. DERECEDEN DENKLEMLER II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈𝑅 𝑣𝑒 𝑎≠0 olmak üzere 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemde a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e ise bilinmeyen denir. Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin kökleri, kök bulma işlemine ise denklemin çözümü denir. Mustafa Sezer PEHLİVAN

II Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Durumları 1 ) 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denkleminde c=0 ise 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥=0 𝑥(𝑎𝑥+𝑏)=0 𝑥 1 =0 𝑣𝑒 𝑥 2 = −𝑏 𝑎 Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 2 𝑥 2 −6𝑥=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK: 2 𝑥 2 −6𝑥=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2 𝑥 2 −6𝑥=0 𝑥(2𝑥−6)=0 𝑥 1 =0 𝑣𝑒 𝑥 2 = −(−6) 2 =3 Ç.K.={0,3} Mustafa Sezer PEHLİVAN

𝑥 1 =− −𝑐 𝑎 ve 𝑥 2 = −𝑐 𝑎 2) 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denkleminde b=0 ise 𝑎𝑥 2 +𝑐=0 𝑥 2 = −𝑐 𝑎 𝑥 1 =− −𝑐 𝑎 ve 𝑥 2 = −𝑐 𝑎 Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 𝑥 2 −4=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK: 𝑥 2 −4=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 𝑥 2 −4=0 𝑥 2 =4 𝑥 1 =− 4 =−2 ve 𝑥 2 = 4 =2 Ç.K.={-2,2} Mustafa Sezer PEHLİVAN

𝑥 2 +9=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz 𝑥 2 +9=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 𝑥 2 +9=0 𝑥 2 =−9 Denklem sisteminin reel kökü yoktur. Ç.K.= Mustafa Sezer PEHLİVAN

3) 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denkleminde b=0 ve c=0 ise 𝑎𝑥 2 =0 𝑥 2 = 0 𝑎 𝑥 2 =0 𝑥 1 = 𝑥 2 =0 Ç.K.={0} Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: −5 𝑥 2 =0 ise denklemin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK: −5 𝑥 2 =0 ise denklemin çözüm kümesini bulunuz. −5 𝑥 2 =0 𝑥 2 =0 𝑥 1 = 𝑥 2 =0 Ç.K.={0} Mustafa Sezer PEHLİVAN

4) 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 durumu II. Dereceden Denklem Sisteminin çözüm yöntemleri; a) Çarpanlara Ayırma Yöntemi b) Diskriminant Yöntemi Mustafa Sezer PEHLİVAN

Çarpanlara Ayırma Yöntemi Çarpanlara ayırma yönteminde; 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denklemi için, öyle iki sayı bulunmalıdır ki bulunan sayıların; çarpımı c’yi, toplamı da b’yi versin. (𝑎=1için) 𝑎≠1 için a’nın ve c’nin çarpanları bulunur. Bu çarpanlardan b elde ediliyorsa ikili olarak parantez içinde yazılır. Parantezler sıfıra eşitlenerek denklemin kökleri bulunur. Mustafa Sezer PEHLİVAN

𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Denklemi için birbirinden farklı 𝑥 1 ve 𝑥 2 belirlenebiliyorsa denklemin çözüm kümesi çarpanlara ayırma yöntemi ile bulunabilir. 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denklemi çarpanlarına ayrılır ve denklem sisteminin çözüm kümesi; Ç.K.={ 𝑥 1 , 𝑥 2 } olur. Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 𝑥 2 −5𝑥+6=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK: 𝑥 2 −5𝑥+6=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Denklem sisteminin köklerinin çarpımı 6 ve kökler toplamı -5 olacak şekilde iki sayı bulalım. 6= −2 .(−3) ve −5= −2 +(−3) denklemin çarpımı ve toplamı elde edildiğinden çözüm kümesi bulunan sayıların ters işaretlisi olacağından 𝑥 1 =− −2 =2 𝑥 2 =− −3 =3 Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 2𝑥 2 −2𝑥−4=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK: 2𝑥 2 −2𝑥−4=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2x −4 x 1 −2x (2x − 4).(x + 1) = 0 𝑥 1 = 4 2 =2 𝑥 2 = −1 1 =−1

Diskriminant Yöntemi 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 denkleminin çarpanları kolayca ayrılamıyor veya çarpanlarına ayırmak mümkün değil ise ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesi diskriminant yöntemi ile hesaplanır. Diskriminant ∆= 𝑏 2 −4.𝑎.𝑐 formülü ile hesaplanır. Mustafa Sezer PEHLİVAN

𝑥 1 = −𝑏− ∆ 2𝑎 ve 𝑥 2 = −𝑏+ ∆ 2𝑎 𝑥 1 , 𝑥 2 = −𝑏± 𝑏 2 −4.𝑎.𝑐 2.𝑎 Denklemin çözüm kümesi; 𝑥 1 = −𝑏− ∆ 2𝑎 ve 𝑥 2 = −𝑏+ ∆ 2𝑎 formülü ile bulunur. 𝑥 1 , 𝑥 2 = −𝑏± 𝑏 2 −4.𝑎.𝑐 2.𝑎 olarak ifade edilebilir. Mustafa Sezer PEHLİVAN

Diskriminantın değerine göre çözüm kümesi değerleri kısa yol ile bulunabilir. ∆’nın değerine göre; ∆>0 ∆=0 ∆<0 çözüm yöntemi farklı olarak bulunabilir. Mustafa Sezer PEHLİVAN

1) ∆>0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır. Ç.𝐾.= 𝑥 1 , 𝑥 2 = −𝑏± 𝑏 2 −4.𝑎.𝑐 2.𝑎 2) ∆=0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Ç.𝐾.= 𝑥 1 = 𝑥 2 = −𝑏 2𝑎 3) ∆<0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R’de ki çözüm kümesi boş kümedir. Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 𝑥 2 +4𝑥−32=0 denkleminin çözüm kümesini diskriminant yöntemi ile bulunuz. Mustafa Sezer PEHLİVAN

Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 𝑥 2 +10𝑥+25=0 denkleminin çözüm kümesini diskriminant yöntemi ile bulunuz. Mustafa Sezer PEHLİVAN

Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÖRNEK: 6𝑥 2 −4𝑥=−2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Mustafa Sezer PEHLİVAN

II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri İle İlgili Bağıntılar 𝑥 1 + 𝑥 2 = −𝑏 𝑎 𝑥 1 . 𝑥 2 = 𝑐 𝑎 1 𝑥 1 + 1 𝑥 2 = −𝑏 𝑐 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 = 𝑏 2 𝑎 2 − 2𝑐 𝑎

III. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 𝑎≠0 ve 𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑=0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. III. Dereceden denklemin kökleri 𝑥 1 , 𝑥 2 ve 𝑥 3 olarak tanımlanır.

III. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri İle İlgili Bağıntılar 𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑=0 denkleminin kökleri 𝑥 1 , 𝑥 2 ve 𝑥 3 olsun. Buna göre, 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = −𝑏 𝑎 𝑥 1 . 𝑥 2 + 𝑥 1 .𝑥 3 + 𝑥 2 .𝑥 3 = 𝑐 𝑎 𝑥 1 . 𝑥 2 . 𝑥 3 = −𝑑 𝑎

1) 3x – 5 = 2(x+1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç. K 1) 3x – 5 = 2(x+1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K.= {7} 2) (a-3) x+b = 2x – 3 denklemi tüm reel sayılar için sağlandığına göre a+b toplamının değeri kaçtır? 3) denklemini sağlayan x değeri kaçtır? x = 7 Mustafa Sezer PEHLİVAN

4) (2a–3) x + 7 = 5x + 6 denkleminin çözümsüz olması için a ve b ne olmalıdır? a = 4 b ≠ 0 5) 𝑛−2 𝑥 3 + 𝑥 𝑚 2 −7 +𝑚+3=0 ifadesi x’e bağlı ikinci dereceden denklem olduğuna göre, m+n kaç olabilir? n = 2, m = ± 3 −1 n + m = 2 ± 3 5 Mustafa Sezer PEHLİVAN

6) 𝑘≠3 olmak üzere 𝑥 2 +𝑘𝑥+3=0 ve 𝑥 2 +3𝑥+𝑘=0 denklemlerinin bir kökü eşit olduğuna göre k kaçtır? 𝑘=−4 7) m negatif bir tamsayıdır. 2𝑥 2 −𝑚𝑥+8=0 denkleminin çakışık kökü vardır. Buna göre m kaçtır? 𝑚=−8 Mustafa Sezer PEHLİVAN

8) 2𝑥 2 −2𝑥−3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç. K 8) 2𝑥 2 −2𝑥−3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K.= 1− 7 2 1+ 7 2 9) 3(𝑥−2) 4 − 2−𝑥 2 =𝑥+ 𝑥 4 − 5 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K.=𝑅 Mustafa Sezer PEHLİVAN

10) 9 x −4. 3 x +3=0 denkleminin köklerini bulunuz 10) 9 x −4 .3 x +3=0 denkleminin köklerini bulunuz. 𝑥 1 =0 ve 𝑥 2 =1 11) 𝑚𝑥 2 +3= 𝑥−1 3 +2 denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m kaçtır? 𝑚= 2 3 Mustafa Sezer PEHLİVAN

*: Ders notları, ilk hafta verilen kaynaklar üzerinden öğrencilerin yararlanması amacıyla hazırlanmıştır. Mustafa Sezer PEHLİVAN Mustafa Sezer PEHLİVAN