Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık Hatırlatma Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi? Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? Kararlılık: Denge durumunda bulunana bir sistem, bu durumda uyarıldığında, sistem tekrar denge durumuna mı döner, yoksa denge durumundan uzaklaşır mı? Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır. Önbilgi Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar. 1

Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı Önbilgiye devam Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı Tanım: 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fonksiyonlar kümesi aralığında lineer olarak bağımsızdır. Biraz daha açık yazarsak Dikkat!! 2

negatif olmayan skaler bir fonksiyon Teorem 1: 1xm boyutlu fonksiyonları aralığında lineer bağımsızdır tersinir nxn matris Tanıt: ‘lerin aralığında lineer bağımsız iken ‘in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: ‘ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun. tekil negatif olmayan skaler bir fonksiyon ‘ler lineer bağımsız değil Varsayıma aykırı tersinir 3

tersinir , ’lerin aralığında lineer bağımsız olduğu gösterilecek. Varsayım: tersinir ancak ‘ler aralığında lineer bağımlı tersinir değil, varsayıma aykırı ‘ler aralığında lineer bağımsız Örnek: fonksiyonlarının [1,2] zaman aralığında lineer bağımsızlığını inceleyiniz. 4

satırları lineer bağımsız değil Lemma 1: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun, sağlayan bir var ise ‘ler aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: varsayım ancak ‘ler aralığında lineer bağımlılar. satırları lineer bağımsız değil varsayımı ile çelişiyor ‘ler aralığında lineer bağımsız olmalı. 5

fonksiyonlarının [0,1] zaman aralığında lineer bağımsızlığını inceleyiniz.

Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi? Tanım: Yönetilebilirlik: 1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem aralığında yönetilebilir. 2) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. Lineer sistemler için : 3) anındaki başlangıç durumunu anındaki herhangi bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. 4) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. başlangıç durumunu durumuna götüren giriş 7

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş 8

Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: ‘ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek anındaki çözüm matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsız olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1’den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz tersinirdir. başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir, 9

‘ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi. Varsayım: sistem yönetilebilir ancak ‘nin satırları lineer bağımlı alırsak

varsayım ile çelişiyor ‘ nin satırları lineer bağımsız

Lemma 1: 1xm boyutlu fonksiyonlarının Hatırlatma Lemma 1: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun sağlayan bir var ise ‘ler aralığında lineer bağımsızdır

yönetilebilirlik matrisi Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi yönetilebilir yönetilebilirlik matrisi Tanıt: Teorem 2 yönetilebilir ‘nin satırları lineer bağımsız Lemma 1 Cayley-Hamilton Teoreminden ‘nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez

sistemi yönetilebilir mi?